淺談概率中的研究性學習

董華 趙翔華

【摘要】本文通過對幾道例題的分析，展示了分解法在求期望和方差中的作用，并引導學生進行研究性學習從而培養學生的探索精神和創新能力.

【關鍵詞】分解;數學期望; 方差

【基金項目】曲阜師范大學教改項目

大學的課堂與中學的課堂有著本質的差別，中學學習主要是學生從教師已梳理好的、系統的知識體系中去汲取，而大學學習不僅是為了掌握知識點，更是為了培養學生的學習能力.研究性的學習能夠充分調動學生學習的積極性并使其主動參與課堂教學，有助于培養學生獨立思考的能力，提高學生分析問題、解決問題的能力.培養具有探索創新精神的大學生正是新時代大學的使命.因此，大學課堂開展研究性學習非常必要.

數學期望和方差是隨機變量的兩個重要的數字特征.數學期望是消除隨機性的主要手段，方差則刻畫了隨機變量的取值在數學期望周圍的“波動”程度.數學期望與方差在金融、保險、醫學、工農業生產中都有廣泛的應用，因此如何求數學期望和方差就是一個重要的問題了.通常情況下，我們求隨機變量的數學期望和方差主要是利用定義和性質.有些問題中隨機變量的分布很難求，有些問題中雖然隨機變量的分布不難求但是用定義法求期望和方差需要大量的、繁雜的數學計算.因此，僅靠定義法求數學期望和方差不是一個高效的辦法.在一些比較復雜的問題中，如果能夠結合數學期望的線性性質并合理利用一些分解變量的小技巧就能夠使求數學期望的問題變得簡單，方差問題也是如此.對于一些初學者來說，學會一個事半功倍的方法有助于他們快速解決一類問題，更有助于他們在日后的學習中增強信心，發散思維繼而解決更多的難題.本著研究性學習的初衷，本文我們通過幾個求數學期望和方差的例子展示概率中研究性學習的教學過程，帶領學生探索求數學期望和方差的方法，希望學生能夠學會舉一反三，培養學生勇于探索的精神.

巧妙利用隨機變量的分解法求數學期望和方差在文獻[1]中已有探索.下面首先回顧一下這道例題：

例1[2] 設隨機變量X～b（n，p），試求X的數學期望和方差.

解 設X1，X2，…，Xn為相互獨立的隨機變量，且Xi都服從0-1分布b（1，p），則

E（Xi）=p，Var（Xi）=p（1-p）且X=∑ni=1Xi～b（n，p）.

由數學期望和方差的性質得

E（X）=∑ni=1E（Xi）=np，

Var（X）=∑ni=1Var（Xi）=np（1-p）.

例1將隨機變量X～b（n，p）分解為n個獨立同分布的0-1分布的隨機變量的和，然后再利用數學期望的線性性就可以方便地求得隨機變量X的期望.通過觀察我們發現，例1在利用分解的方式求數學期望和方差的過程中并不需要“同分布”這一性質，所以我們可以把例1中的分解方法運用到一些可以分解為相互獨立的0-1分布隨機變量和的問題.

例2[2] 設進行n次獨立隨機試驗，事件A在第k次試驗中發生的概率記為pk，求事件A在n次試驗中出現的總次數X的數學期望與方差.

解 令Xk=1，第k次試驗中事件A發生，0，第k次試驗中事件A不發生，

則X1，X2，…，Xn相互獨立且X=∑nk=1Xk.

令pk=P（Xk=1），則E（Xk）=pk，Var（Xk）=pk（1-pk）.

所以E（X）=∑nk=1E（Xk）=∑nk=1pk，

Var（X）=∑nk=1Var（Xk）=∑nk=1pk（1-pk）.

顯然，當pk=p時，例題2就是例題1.那是不是只有在隨機變量X能分解為n個獨立的0-1分布隨機變量X1，X2，…，Xn 的和時我們才能用前面的分解法求數學期望和方差呢？答案當然是否定的，我們看下面的例子：

例3 把m個球隨機地放進 n個盒子，X表示空盒子數.求X的數學期望和方差.

解 令Ak表示第k（k=1，2，…，n）個盒子是空的，則

X=∑nk=1IAk且P（Ak）=n-1nm，P（AkAj）=n-2nm.

由期望的線性性可得X的數學期望為E（X）=∑nk=1E（IAk）=n1-1nm.

而E（X2）[ZK（]=E（∑nk=1IAk）2=E∑nk=1∑nj=1E（IAkAj）

=∑k≠jE（IAkAj）+∑nk=1E（IAk）

=n（n-1）1-2nm+n1-1nm，[ZK）]

因此，X的方差為

Var（X）=E（X2）-（E（X））2=n（n-1）1-2nm+n1-1nm-n21-1n2m.

這里的空盒子數就可以理解為空盒子出現的“次數”，每個盒子或“是空盒子”或“不是空盒子”，所以對每個盒子而言，“空盒子”出現次數或是“0”或是“1”，并且各個盒子之間是不是空盒子不是獨立的.因此，分解法對于隨機變量能分解為不獨立的隨機變量和的問題也是適用的.

在教學過程中，用例1作為引子，引導學生放寬題設條件，依次引入例2（獨立不同分布）和例3（不獨立但可以同分布）.讓學生在分析中自己去發現、去總結.不難看出，例1～3都是把一個表示“總次數”的隨機變量分解成幾個0-1分布隨機變量和的方式求數學期望和方差的.那么是不是只有表示“總次數”的隨機變量能分解為0-1分布隨機變量和的形式才能用分解法來求期望和方差呢？當然不是！我們看下面的例4.

例4[3] 流水作業線上生產的每個產品為不合格品的概率為p，當生產出k個不合格品時即停工檢修一次.求在兩次檢修之間產品總數的數學期望.

解 設X表示兩次檢修之間的產品總數，生產到第X1件產品出現第一件不合格品，從第i-1 件不合格品出現后再生產Xi件產品出現第i 件不合格品.因此，X=X1+…+Xn，且Xi～Geo（p）.

由題意可知Xi（i=1，2，…，n）相互獨立，因此，由期望和方差的性質分別可得 E（X）=∑ni=1E（Xi）=np，Var（X）=∑ni=1Var（Xi）=n（1-p）p2.

例4中通過將隨機變量分解為許多獨立同分布的幾何隨機變量的和來求隨機變量的期望，說明分解法對分解出來的隨機變量的類型是沒有要求的.實際上，許多具有可加性的分布都是可以反過來通過分解法求期望的，比如負二項分布、卡方分布、伽馬分布等.

例1～4都是通過將隨機變量經過一次分解來解題的，實際上分解是可以多次進行的.下面的游程數問題是個比較綜合的問題，需要經過多次分解.

例5[4] 設n個1和m個0隨機地排成一個序列，一共有（m+n）！[]m！n！種可能的排列法，每種排列法都是等可能的.在一個序列中，連在一起的1構成“1”的游程.例如，n=6，m=4，6個1和4 個0構成如下的一個排列：1，1，1，0，1，1，0，0，1，0，其中第一組3個1構成一個“1”的游程，在這個序列中一共有3個“1”的游程.求n個1和m個0隨機地排成一個序列時游程個數的期望.

解 令Ai 表示一個1的游程開始于第i個位置，排列中“1”的游程個數記為R（1），“0”的游程個數記為R（0）.由題意可知，R（1）=∑m+ni=1IAi.經計算可知：

P（A1）=nm+n，

對于1

E（IAi）=P（Ai）=mm+n·nm+n-1.

因此，

E（R（1））[ZK（]=∑m+ni=1E（IAi）

=nm+n+（m+n-1）mn（m+n）（m+n-1）

=nm+n+mnm+n.[ZK）]

類似地，

E（R（0））=∑m+ni=1E（IAi）=mm+n+mnm+n.

所以，游程個數的數學期望為E[R（1）+R（0）]=1+2mnm+n.

例5先按照游程是由“0”還是由“1”形成的進行了第一次分解，然后再按照每個游程開始的具體位置進行了第二次分解.

在例1的基礎上，引導學生不斷提出問題，然后逐步放寬限制，最終把例1的分解思想推廣到一些更一般的情況，這個過程也體現了分解法在不同模型中的應用.引導學生對比這幾道例題的共同之處，做出總結，從而掌握一類解決問題的方法.這個學習過程調動了學生學習的積極性，激發了學生的求知欲，培養了學生的創新能力.

【參考文獻】

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]鄧集賢，楊維權，司徒榮，等.概率論及數理統計（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]魏宗舒.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]Sheldon M.Ross.概率論基礎教程（原書第9版）[M].童行偉，梁寶生，譯.北京：機械工業出版社，2014.