解析幾何中一類“角度問題”的突破策略

李桂峰

【摘要】在研究直線與圓錐曲線位置關系的問題中，經常遇到涉及角度的問題，通常我們可以考慮先將其轉化為熟悉的三角函數或者斜率等知識進行求解.

【關鍵詞】解析幾何;角度

【課題名稱】基于數學建模核心素養為導向的高中數學教學案例研究

【立項編號】JYYB-2018022

一、問題辨析

（2015高考四川，理20）如圖所示，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是22，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當直線l平行與x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為22.

（1）求橢圓E的方程.

（2）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

解：（1）橢圓E的方程為x24+y22=1（過程略）.

（2）由橢圓的對稱性可知，若存在這樣的定點Q，則點Q必在y軸上，可設Q點的坐標為（0，y0）.

當直線l與x軸垂直時，設直線l與橢圓相交于M，N兩點.

則M（0，2），N（0，-2），

由|QM||QN|=|PM||PN|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，解得y0=1或y0=2.

所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標只可能為Q（0，2）.

下面證明：對任意的直線l，均有|QA||QB|=|PA||PB|.

當直線l的斜率不存在時，由上可知，結論成立.

當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+1，A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）.

聯立x24+y22=1y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0.

其判別式Δ=16k2+8（2k2+1）>0，

所以，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.

解法一：（進一步利用橢圓的對稱性，作點B的對稱點將問題轉化，將目標關系|QA||QB|=|PA||PB|，借助對稱、共線條件，利用斜率進行求解，轉化為坐標的比值問題）

因此1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k.

易知，點B關于y軸對稱的點的坐標為B′（-x2，y2）.

又因為kQA=y1-2x1=k-1x1，kQB'=y2-2-x2=-k+1x2=k-1x1.

所以kQA=kQB'，即Q，A，B三點共線，

所以|QA||QB|=|QA|QB'=x1x2.

又因為P，A，B三點共線，所以有|PA||PB|=x1x2，

因此有|QA||QB|=|PA||PB|總成立，

故存在與點P不同的定點Q（2，0），使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.

若能注意到“是否存在與點P不同的定點Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立”的本質是y軸即∠AQB的角平分線，進而轉化為∠AQO=∠BQO，然后轉化為kQA+kQB進行求解，可大大減小學生的思維量和運算量，對學生而言，是比較容易接受的一種方法.

解法二：kQA=y1-2x1=kx1-1x1，kQB=y2-2x2=kx2-1x2，

因為kQA+kQB=kx1-1x1+kx2-1x2=2kx1x2-（x1+x2）x1x2=2k-22k2+1--4k2k2+1-22k2+1=0.

所以y軸平分∠AQB，由角平分線定理有|QA||QB|=|PA||PB|.

二、拓展結論

通過對此題的研究，我們得到了橢圓涉及該類型的一般性質，同時可以推廣到一般的圓錐曲線，得到如下性質：

性質1：已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），點P（0，m），Q（0，n）是y軸上的兩個定點，且滿足mn=b2，過點P的直線l交橢圓于A，B兩點，設直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=0.

性質2：已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），點P（0，m），Q（0，n）是y軸上的兩個定點，且滿足mn=-b2，過點P的直線l交雙曲線于A，B兩點，設直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=0.

性質3：已知圓x2+y2=r2（r>0），點P（0，m），Q（0，n）是y軸上的兩個定點，且滿足mn=r2，過點P的直線l交圓于A，B兩點，設直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=0.

性質4：已知拋物線x2=2py（p>0），點P（0，m），Q（0，n）是y軸上的兩個定點，且滿足m+n=0，過點P的直線l交橢圓于A，B兩點，設直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=0.

上述性質都是考慮定點在y軸上的情形，其實，定點在x軸上也是有類似或相關的性質，這里略.

三、強化運用

1.（人教A版選修4習題改編）橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是53，定點M（2，0），橢圓短軸的端點是B1，B2，且MB1⊥MB2.

（1）求橢圓C的方程.

（2）設過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點，試問：x軸上是否存在定點，使PM平分∠APB？若存在，求出點P的坐標;若不存在，說明理由.

2.（2016福建省高一數學競賽15）如圖所示，圓O的圓心在坐標原點，過點P（0，1）的動直線l與圓O相交于A，B兩點.當直線l平行于x軸時，直線l被圓O截得的線段長為23.

（1）求圓O的方程.

（2）在平面直角坐標系xOy內，是否存在與點P不同的定點Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

3.（2015高考新課標1，理20）在直角坐標系xOy中，曲線C：y=x24與直線l：y=kx+a（a>0）交于M，N兩點.

（1）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程.

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

4.（2015高考北京，理19）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，點P（0，1）和點A（m，n）（m≠0）都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M.

（1）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）.

（2）設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N.問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標;若不存在，說明理由.

5.（2015高考湖北，理14）如圖所示，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2.

（1）圓C的標準方程為.

（2）過點A任意作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，

下列三個結論：

① |NA||NB|=|MA||MB|;

② |NB||NA|-|MA||MB|=2;③ |NB||NA|+|MA||MB|=22.

其中正確結論的序號是：.（寫出所有正確結論的序號）

四、歸納總結

圓錐曲線是高考的重點內容，且相對比較穩定，題目綜合性較強.直線與圓錐曲線的位置關系問題是重要考點，常以探究存在性問題的形式出現，因為解題方法的原因，有不少教師將其歸結為“角度問題”.具體解題時，一般是先假設所求要素是存在的，設出點的坐標、直線方程，代入圓錐曲線方程，歸結為關于x的一元二次方程，并利用交點坐標以及根與系數關系，將交點的橫坐標之和與積用一元二次方程的系數表示出來，依據題中已知條件，聯系待求的結論，選擇合適的方法進行解答.在解答過程中，往往需要運用轉化的思想，比如解析幾何中涉及角度問題，通常可以將問題轉化為我們較為熟悉的三角函數，或者斜率等知識進行求解.

【參考文獻】

[1]孟慶杰.從特殊到一般探索一道高考橢圓試題[J].數理化學習（高中版）.2020（5）.

[2]黃旭東.再談2015年四川高考理科第20題的拓展延伸[J].數理化學習.2016（7）.

[3]徐小琴，趙思林.2015年高考數學四川卷理科20題探究[J].數學教學通訊.2016（5）.