建構不等式突破橢圓、雙曲線離心率取值范圍問題

于周好

【摘要】歷屆高考數學試卷中，離心率問題都是考查的重點、熱點問題，在解決離心率問題過程中，體現了數學的核心素養、函數與方程、化歸與轉化思想，包括數學邏輯推理、數學運算中全字母的運算、平面幾何圖形的直觀想象等方面.

【關鍵詞】離心率定義;平面幾何圖形中的不等式關系、題目中的不等信息、題目中所給參數的目標指向性

突破橢圓、雙曲線離心率取值范圍，關鍵在于如何找到不等式關系，構造關于a，b，c的不等式，從而得到關于離心率的不等式，進而求其范圍.本文就解決本類問題常用的處理方法和技巧加以歸納總結：

一、橢圓、雙曲線的離心率是高中數學解析幾何章節中重要的內容之一，是描繪幾何圖形的重要參數，其曲線的第二定義即采用曲線的離心率的方式定義的.每年的全國各地高考卷中均有涉及，是重點也是難點.求離心率的問題中，如何求橢圓、雙曲線離心率的取值范圍？第一重要的方法是定義式：求出基本量a，c或者a，b，借助定義式橢圓e=ca=1-b2a2，雙曲線e=ca=1+b2a2;或者結合題目所給的條件列出關于a，b，c的不等式，結合橢圓中的關系式a2=b2+c2，雙曲線中的c2=a2+b2將不等式轉化為a，c或者是a，b的齊次式，不等式兩邊分別除以a的齊次方，解不等式即可得離心率的取值范圍.

采用直接定義法求橢圓、雙曲線的離心率，一般為基礎題型，要求學生對概念應理解到位.

例1 （2019全國卷改編）若橢圓的方程為x2+3y2=n（n>0），則橢圓的離心率為.

解析 將橢圓化為標準式x2+y213=n（n>0），得到a2=1，b2=13，直接使用公式及其變式e=ca=1-b2a2=1-13=63.

點評 此題比2019年全國理科一卷中的第16題稍有深度，在概念理解、公式運用方面要靈活.

借助題目中的不等信息，發掘題目本身隱含的構造不等式的條件，或者是題干中直接給出的不等關系，或者是圖形中的不等關系.解題分析時應當做出符合題意的示意圖，理清圓錐曲線的點（頂點、焦點）、線（漸近線）、軸（長軸、短軸、實軸）、距（特殊點到特殊線的距離），列出它們之間的不等關系式.在解決問題過程中，也經常直接使用橢圓和雙曲線中的常用結論.

例2 正方形ABCD的四個頂點都在橢圓上x2a2+y2b2=1（a>b>0），若橢圓的焦點在正方形的內部，則橢圓的離心率的取值范圍是.

解析 設正方形的邊長為2m，∵橢圓的焦點在正方形的內部，∴m>c，又∵正方形ABCD的四個頂點都在橢圓x2a2+y2b2=1上，∴m2a2+m2b2=1≥c2a2+c2b2=e2+e21-e2，∴e4-3e2+1≥0，e2≤3-52=（5-1）2[]4，

又∵0

點評 將題干中的語言文字“橢圓焦點在正方形內部”“正方形的頂點在曲線上”轉化為數學符號語言，列出不等式和方程m>c，兩者結合得到關于離心率e的不等式.注意橢圓離心率的范圍是（0，1）解得即可.難點在于學生不能設出點坐標，得到點的坐標在橢圓上，列出m2a2+m2b2=1≥c2a2+c2b2.本題中即使不作圖，腦海中也應該有示意圖.

例3 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點為F1，F2，在雙曲線上存在點P滿足2|PF1+PF2|≤|F1F2|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是.

解析 因為OP為△PF1F2的邊 F1F2的中線，可知 PO=12（PF1+PF2），雙曲線上存在點P滿足2|PF1+PF2|≤|F1F2|，則4|PO|≤2c，由|PO|≥a，可知4a≤2c，則e≥2.

點評 數形結合的思想貫穿高中數學始終，根據平面圖形的關系求解圓錐曲線的離心率取值范圍的問題也不例外.如此題中橢圓-a≤x0≤a，-b≤y0≤b，雙曲線半實軸長中|x0|≥a，結合三角形中線所在向量的結論，同時初高中平面幾何知識的結論都可能涉及.把條件2|PF1+PF2|≤|F1F2|轉化為特殊線段PO與半實軸長a的關系，從而得到e的不等式.

理解題目中所給參數的意義、目標指向性，結合題設條件和圓錐曲線定義中的等式關系條件，建立參數為自變量，離心率為因變量表示的函數關系式，通過對此函數求值域，即得到曲線離心率的范圍.因為此題中有關鍵詞“焦點”，學生在分析此題時很容易往橢圓定義方向思考.

例4 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點N關于原點的對稱點為M，F為右焦點，若NF⊥MF，設∠NMF=α，且α∈π12，π4，該橢圓離心率e的取值范圍是.

圖1解析 設左焦點為F1，連接NF1MF為矩形，∴NF1=2csin α，MF=2ccos α，∵NF=MF1由橢圓的定義知NF1+NF=2a即2csin α+2ccos α=2a，即ca=1sin α+cos α=12sinα+π4，

∵α∈π12，π4，∴62≤2sinα+π4≤2∴22≤ca≤63.

答案為22≤e≤63.

點評 本題的關鍵在于“焦點”聯想定義，把握橢圓的定義，動點到兩焦點距離之和是2a，建立等式關系式，構造離心率的表達式ca=1sin α+cos α，此題中是把解析幾何與三角函數知識結合，把離心率e表示為角α的函數，結合題目中所給角的范圍，利用所構造的三角函數值域求解離心率的范圍.難點在于構造定義式中的兩邊如何與題干中的角α建立聯系，屬于跨越知識板塊類的問題.

例5 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F1，經過原點的直線與C交于M，N兩點，若∠MF1N≥120°，則橢圓的離心率的取值范圍為.

解析 如圖所示，設橢圓的右焦點為F2，連接MF1，MF2，NF1，NF2.

圖2顯然四邊形MF1NF2為平行四邊形，∴∠MF1N+∠F1NF2=180°，∠MF1N≥120°，∴∠F1NF2≤60°，由條件知，當N在短軸端點B2時，∠F1B2F2最大，此時在直角三角形B2OF2中，∠OB2F2=30°，由圖形知OF2=c，OB2=b，∴B2F2=a，

∴e=ca=OF2B2F2=sin∠OB2F2=sin 30°=12，當點N不在B2時，欲使得∠F1NF2≤60°仍成立，橢圓的短軸應更高，即橢圓越圓，其離心率就越接近0，所以答案是0

點評 審題過程中畫出基本圖形，在此題中顯得尤為重要.在本題中解決問題的切入點是利用已知的角度關系建立不等式，結合橢圓圖形中的特殊位置（頂點）、特殊關系，取其特殊情況下的端點值，以運動的觀點觀察當點N不在短軸的端點處時，離心率越小，體現了轉化與化歸思想.易錯之處是把最終離心率的范圍判斷錯誤，取成12

二、感 悟

通過以上題型的分析可知，橢圓、雙曲線的離心率與之聯系的知識點特別多，某一個看似簡單的選擇、填空中求離心率問題，實際上可能是三四個知識點的融合，方法靈活多變，對于提高學生的思維能力和綜合運用知識的能力都有很大的幫助.學生在平時學習中，需要通過必要的練習進行方法和思路的探尋，培養對題目中不等關系靈敏的感知和轉化能力.建構不等式突破橢圓、雙曲線離心率取值范圍問題的方法還有三角形的三邊關系、直線與曲線位置關系中的二次方程判別式、點與曲線的位置關系等建立不等式.