一道錯誤試題的分析與探究

王平

【摘要】本文通過剖析一道題目錯誤的期末試題，找出了其中出錯的原因，并進一步對題目條件做了合理的探究和更正.

【關鍵詞】試題;探究;更正

在完成八年級上學期期末試卷后，比對答案時發現試卷最后一題有一小題的標準答案與筆者的答案有出入.仔細研究后，發現過程都是正確的，而讓人困惑的是，同一道題，用不同的解答方法，竟然得到不同的答案，這讓筆者產生了一探究竟的想法.

試題：（江北區八年級上學期期末考試26題）已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點A，B分別是x軸和y軸上的動點.

（1）如圖1，若點C的橫坐標為-4，求點B的坐標;

（2）如圖2，BC交x軸于點D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標為3，A（2+22，0），求點D的坐標.

標準答案：（1）如圖3，過C作CM⊥y軸于M，則CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90°，∴∠CBM=90°-∠ABO=∠BAO.又∵AB=BC，∠BMC=∠AOB=90°，∴△BMC≌△AOB（AAS），∴OB=CM=4，∴B（0，-4）.

（2）如圖4，過C作CM⊥x軸于M，交AB的延長線于N，則∠AMC=∠AMN=90°，CM=3.∵AD平分∠CAB，∴∠CAM=∠NAM.又∵AM=AM，∴△AMC≌△AMN（ASA）.∴MN=CM=3，∴CN=6.∵CM⊥x軸，∠ABC=90°，

∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，∴∠NCB=90°-∠CDM=90°-∠BDA=∠BAD.又∵AB=BC，∴△CBN≌△ABD（ASA），∴AD=CN=6.∵A（2+22，0），∴D（22-4，0）.

對于第（2）問筆者采取了類似第（1）問的加輔助線方法.解答過程如下：

（2）解：如圖5，作CM⊥y軸于M，設AC交y軸于P，由（1）得△BCM≌△ABO，∴CM=BO，AO=MB.∵點C的縱坐標為3，A（2+22，0），∴MO=3，MB=AO=2+22.

∴CM=BO=MB-MO=22-1.∵CM⊥y軸，x軸⊥y軸，

∴CM∥x軸，∴DOCM=BOBM，即DO22-1=22-12+22.

∴DO=132-172，∴D-132-172，0.

此時筆者發現，用不同的方法得到了與標準答案截然不同的結果，并且利用相似的知識，在解答的過程中并未用到“AD平分∠CAB”這個條件就得出了答案，這顯然是題目條件出現了問題.經過進一步的探討，我們可以發現題目第（2）問給出了三個相互矛盾的條件：“AD平分∠BAC，點C的縱坐標為3，A（2+22，0）”.舉例，當“點C的縱坐標為3，A的坐標為（2+22，0）”時，可以推得AD不平分∠BAC.推理如下：

作CM⊥y軸于M，設AC交y軸于P，則MO=3，AO=2+22，CM=BO=22-1.

∵CM⊥y軸，∴CM∥x軸，∴△PCM～△PAO，∴PMPO=CMAO=22-122+2=5-322.

又∵MO=3，

∴PO=3·27-32=42+18231.

∴BO≠PO.

∴AD不平分∠BAC.

（反證法：如果AD平分∠BAC，由AO⊥BP，可得∠APO=∠ABO，△ABP為等腰三角形，則BO=PO）

事實上，當上述三個條件中的兩個已知時，另一個條件也確定了，也就是說三個條件是相關聯的.接下來探究讓三個條件同時滿足的適合條件.

探究：如圖6，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點A，B分別在x軸和y軸上，BC交x軸于點D，且AD平分∠BAC，CM⊥y軸于M，AC交y軸于點P.設C的縱坐標為c，A（a，0），則MO=c，AO=a.由前文得△BCM≌△ABO，∴AO=MB=a，CM=BO=a-c.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，

∴∠APO=∠ABO，∴AP=AB，∴PO=BO=a-c.

∴MP=MO-OP=c-（a-c）=2c-a.

∵CM⊥y軸，x軸⊥y軸，∴CM∥x軸，∴△PCM～△PAO.

∴CMAO=MPPO，∴a-ca=2c-aa-c，∴2a2-4ac+c2=0，解得a=2±22c.

由此可知，當AD平分∠BAC時，C的縱坐標c和A的橫坐標a，需滿足a=2+22c.不妨設c=2，a=2+2，可以將原試題第（2）問更正為：

（2）BC交x軸于D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標為2，A（2+2，0），求點D的坐標.

解：如圖7，作CM⊥y軸于M，設AC交y軸于P，

由（1）得△BCM≌△ABO，∴CM=BO，AO=MB.

∵點C的縱坐標為2，A（2+2，0），

∴MO=2，MB=AO=2+2，

∴CM=BO=MB-MO=2.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，

∴∠APO=∠ABO，∴AP=AB.

∴PO=BO=2，∴MP=MO-PO=2-2.

∵CM⊥y軸，x軸⊥y軸，∴CM∥x軸，∴∠MCP=∠PAO=∠BAO.

∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，∴∠DBO=∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO.

∴∠DBO=∠MCP.又∵CM=BO，∠CMP=∠DOB=90°，∴△PCM≌△DBO，

∴OD=MP=2-2.∴D2-2，0.

此外，當AD平分∠BAC時，根據A，C坐標之間的關系，我們還可以對該題第（2）問作出其他形式的修改：

（2）BC交x軸于D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標為2，求點D的坐標.

解：如圖8，作CM⊥y軸于M，設AC交y軸于P，設CM=a，由（1）得△BCM≌△ABO.

∴CM=BO=a，AO=MB.

∵點C的縱坐標為2，

∴MO=2，AO=MB=MO+OB=2+a.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，∴∠APO=∠ABO，

∴AP=AB，∴PO=BO=a，∴MP=MO-PO=2-a.

∵CM⊥y軸，x軸⊥y軸，∴CM∥x軸，

∴∠PCM=∠PAO，∴△PCM～△PAO.

∴CMAO=MPPO，∴a2+a=2-aa，解得a=2，∴MP=2-2.∵AD平分∠BAC，

∴∠PAO=∠BAO=∠MCP.∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，

∴∠DBO=∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO.

∴∠DBO=∠MCP.

又∵CM=BO，∠CMP=∠DOB=90°，∴△PCM≌△DBO，∴OD=MP=2-2，∴D（2-2，0）.

進一步，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點A，B分別在x軸和y軸上，BC交x軸于點D，且AD平分∠BAC，CM⊥y軸于M，AC交y軸于P.設C的縱坐標為c，A（a，0），根據之前的推理可知MB=AO=a，BO=CM=a-c，a=2+22c.∵CM⊥y軸，∴CM∥x軸，可得DOCM=BOBM=a-ca=1-ca=1-22+2=2-1，∴DOOA=2-1CMOA=2-1（a-c）a=3-22.即DO=3-22OA.由此我們又可以將原題第（2）問改編成：

（2）BC交x軸于D，AD平分∠BAC，若點D的坐標為1，0，求點A的坐標.

解：如圖9，作CM⊥y軸于M，設AC交y軸于P，

設CM=a，由（1）得△BCM≌△ABO，

∴CM=BO=a，AO=MB.

∵D的坐標為（1，0），∴OD=1.

∵AD平分∠BAC，∠AOP=∠AOB=90°，∴∠APO=∠ABO.

∴AP=AB，∴PO=BO=a.

∵CM⊥y軸，x軸⊥y軸，

∴CM∥x軸，∴∠MCP=∠PAO=∠BAO.∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，

∴∠DBO=∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO，∴∠DBO=∠MCP.

又∵CM=BO，∠CMP=∠DOB=90°，∴△PCM≌△DBO，∴MP=OD=1.

∴BM=OB+OP+MP=2a+1.∵CM∥x軸，∴DOCM=BOBM，即1a=a2a+1，解得a=1±2.

∴a=1+2，OA=BM=2a+1=3+22，∴A3+22，0.

這個題給我們數學編題者很大的啟示.有時由于命題人出題時思考不嚴謹或不全面，可能出現錯誤的試題，而有些錯誤就隱藏在看似合理的條件中.這就要求命題者應充分考慮試題各個條件和結論之間的邏輯關系，條件相容是命題最基本的要求，從而保證試題的科學性.