素數遞進篩及初步應用

李炳賢 李娜 陳龍泉

【摘要】應用自然數組的周期性，導出素數遞進篩，利用遞進篩的性質，證明了哥德巴赫猜想的成立，同時取得了偶數用兩素數和表示的組數計算式.

【關鍵詞】素數分布;素數遞進篩;哥德巴赫猜想

【主題索引號】MR（2000） 11N05

素數一直是數論中最有趣、最吸引人的研究課題，素數除了它的定義之外，我們還知道的性質就是算術基本定理，而且它的性質都是從基本定理中推導出來的.為研究素數，建立了非常有效的Eratosthenes篩法，并且開展了多方面的探索.這些成果為了解素數分布奠定了基礎.而關于素數許多有趣的問題，看起來很簡單，很容易解決，但大多數是至今仍未解決的數學難題.

本文在建立有客觀內在規律的素數篩—素數遞進篩的基礎上，利用這種篩與素數性質的關聯性，對素數分布的有關問題進行了探討，應用初等數論研究的方法和結果，解決了素數孿生數、素數間距的無限性問題，并完成了對哥德巴赫猜想的證明.

一、素數遞進篩的建立

1.自然數陣的周期性

數論中對于除1以外的自然數，都會討論其是素數還是合數.因此，在建立素數遞進篩時，就對自2起的自然數進行研究.

自2開始對自然數進行豎排，并依次記下，組成如A這樣的數陣，在這樣的排列中很容易發現某些行中的數存在相同的因數.如第1，3和5行中都有因數2，而第2和5行中都有因數3.在做素數篩法的時候，可以用數的有序排列篩去合數，而不用去對每個數進行計算，從而提高篩合數的效率.

同時，從A數陣的排列中也可觀察到，如果對A以后的自然數進行記錄，可以用A中的數加上30得到另一個方陣，如B數陣.如此不斷拓展可以得到之后的所有的自然數的記錄.可見這樣的數陣具有周期性.為便于討論，將A這樣的數陣推廣到一般形式：

An數陣中pi是第i個素數.這個數陣的周期是 ∏n1 pi .數陣中的全體數的總稱為數組.

2.素數遞進篩的導出

在An中，分別取n=1，2，3，…，則相應地Pn=2，3，5，…，可得到如下對應的An數陣：

去除P1=2的因數

去除P2=3的因數

從C2中可以發現：在這樣的數組中，就是將A2數組中含（P1=）2的因數去除后的結果，這樣就篩去了含2的所有因數.從C3中可以發現：這個數組是將A3中（P1=）2，（P2=）3的因數篩去后的結果，相當于在C2中又篩去（P2=）3后的結果.以此類推，可以得到Cn的一般式：

由此將Cn 定義為素數遞進篩.

由素數遞進篩的形成可知，Cn的行數為∏n-11 （pi-1 ），列數為Pn.篩中總數為Mn=Pn·∏n-11 （pi-1 ）.應該注意的是Cn中除了第一及最后一個橫列的數可以確定外，其他橫列的數要通過逐級遞進篩后才能得到，不可以跳級獲得.

根據帶余數除法的定理2及推論3可知，在Cn的每一個橫列中有一個且只有一個含Pn（包括自身）的因數.

如第一橫列或首數是Pn倍數的橫列中，其首數就是能被Pn整除的數.而其他數不能被Pn整除，即一個橫列中只有一個含Pn的因數.

在其他橫列中，其首數不能被Pn整除，它必然有余數±1，±2，…，±（Pn-1）/2中的一個，而K∏n-11pi （K=1，2，…，n-1）被Pn除也有對應[±1，±2，…，±（Pn-1）/2中]的一個余數值.這兩個余數和為零的數即能被Pn整除的數，且在一個橫列中只有一個這樣的數.

總之，在遞進篩中對Pn進行篩操作，因為每一橫列的數有Pn個，篩出了一個，留下Pn-1個.對總體篩來說，一共有∏n-11 （pi- 1）行，所以在Cn中對Pn進行篩操作后，余下的數為M（n）=（Pn-1）∏n-11（pi- 1）=∏n1（pi- 1），這也是更高級篩的首列數.

3.素數遞進篩的基本性質

性質1：每個級別的遞進篩篩出其中最小素數及其合數后，每一個橫列僅能篩出（去）一個數，留下Pn-1個數.

遞進篩形成的過程中，之前的每次篩操作已經將小于Pn的素數及因數全部篩去，因此，篩中的數都是不小于Pn的素數或是含不小于Pn的因數的合數.而做篩操作時，必將篩出Pn;篩去含Pn的全部合數，這些合數是Pn與不小于Pn數的乘積值，在篩內滿足不小于Pn的另一個因數m是Pn≤m<1+∏n-11 pi ，共∏n-11 （pi- 1）-1個數，這是篩掉的個數，再加上一個篩出的Pn，全部篩出（去）的數為∏n-11 （pi-1）個數.由此得到：

性質2：篩中含Pn因數的合數是與第一列各數（除最末位的數）的乘積值.這也是用乘法篩合數的算法.

二、素數遞進篩在哥德巴赫猜想證明中的應用

關于哥德巴赫猜想的證明已經進行了多種方法多種途徑的探索，但還是沒有最終給出很好的證明.作為遞進篩的應用對猜想給出如下證明.

1.偶數用大于1的兩個自然數的和表示的組數計算式

大于1的自然數為2，3，4，…，n+1，…這樣的數列.設偶數為D，則：

D=（n+1）+（n+1）=n+（n+2）=（n-1）+（n+3）=…=（1+1）+（2n）

兩個數和的組數共為n組，而D=2+2n，所以，n=D/2-1，這是一個偶數用兩個大于1的自然數的和表示的組數，我們將它定義為N0.則N0=D/2-1，且D≥4=P12.

2.偶數用兩個奇數和表示的組數計算式

將C1延伸，它的全體數就是大于1的自然數，則可以得到這樣的數組：

X：2，4，6，8，10，…，2n，…

Y：3，5，7，9，11，…，2n+1，…

當這個數組中，去除了含因數2的數列X行后，這個數組就只剩下奇數系列Y這一半的數，相應地，對構成D的數N0也只剩了一半，則用兩個奇數和表示偶數的組數為：

N1=N0/2=（D/2-1）/2=D/4-1/2（N取整，下同），顯然，這時D≥6=P12+ P1.

3.篩去P2=3后的奇數和的組數計算式

將C2延伸，則可以得到這樣的數組：

O：3，9，15，21，27，…，6n-3，…

A：5，11，17，23，29，…，6m-1，…

B：7，13，19，25，31，…，6r+1，…

在數組OAB中，第一行O數列的通式為an=6n-3，第二行A數列的通式為am=6m-1，第三行B數列的通式為ar=6r+1.

（1）當D=6K時（3的倍數）

∵an+ am=6（n+m）-4≠D，an+ ar=6（n+r）-2≠D，

∴組成偶數兩數和的數組A，B不會因為去除O行而跟著去除，即在數組OAB中只去除了第一行O，保留了第二行A，B，即去除了數組的1/P2=1/3個數，相應地N1就減少了1/3.

N2=[（3-1）/3]N1=（2/3）N1

（2）當D=6K-2時（非3的倍數）

∵an+ am=6（n+m）-4=6（n+m-1）+2≠D，

∴組成偶數兩數和的數組A因為去除O行而跟著去除，即在數組OAB中去除了第一、第二行，保留了一行B，即去除了數組的2/P2=2/3個數，相應地N1就減少了2/3.

N2=[（3-2）/3]N1=（1/3）N1

（3）當D=6K+2時（非3的倍數）

∵an+ ar=6（n+r）-2≠D，

∴組成偶數兩數和的數組B因為去除O行而跟著去除，即在數組OAB中去除了第一、第三行，保留了一行A，即去除了數組的2/P2=2/3個數，相應地N1就減少了2/3.

N2=[（3-2）/3]N1=（1/3）N1

綜上所述，篩去P2的奇數和的組數計算式

N2=（2/3）N1=[（P2-1）/P2]N1（D為3的倍數）

N2=（1/3）N1 =[（P2-2）/P2] N1（D不為3的倍數， D≥12=P22+ P2）

4.偶數用兩個奇數和來表示的組數的一般計算式

用與篩去P2=3后的奇數和的組數計算式相同的方法，可以逐個對Pn 進行分析，并得到計算式，在Cn+1中：

Nn=[（Pn-1）/Pn]Nn-1（D=KPn）

Nn=[（Pn-2）/Pn]Nn-1（D≠KPn）

用上述計算式遞推可以得到一般計算式：

Nn=（D/4-1/2）∏（1-1/ pi）∏（1-2/ pj）（2≤i，j≤n）（D≥P2n+ Pn）（D=K pi）（D≠K pj）（1）

特別地，

Nn=（D/4-1/2）∏n2（1-1/ pi）（D=∏n1 pi）（2）

Nn=（D/4-1/2）∏n2（1-2/ pi）（D≠K pi）（如D=2k ）（3）

計算公式（1）中，對于每個偶數的奇數組做出了比較精確的計算，但對總趨勢的分析不直觀.為了進一步方便分析總趨勢，又不失嚴肅性，用取值最小的計算公式（3）來分析偶數的奇數和的組數的變化規律.

（1）在Cn+1中，當D≥P2n+ Pn 時，用Nn=（D/4-1/2）∏n2（1-2/ pi）來表示D的取值，而不考慮D是否有pi因數，其取值為最小可能的值.式中∏n2（1-2/ pi）是一個確定的值，而（N1=）D/4-1/2是D的單調增函數，所以Nn也是D的單調增函數.

（2）在Cn+1中，當D=P2n+ Pn 時，Nn=[（P2n+ Pn）/4-1/2]*∏n2（1-2/ pi）.在Cn中，當D=Pn-12+ Pn-1 時，Nn-1=[（Pn-12+ Pn-1）/4-1/2]* ∏n-12（1-2/ pi）.我們來比較一下這兩個值的大小：

Nn / Nn-1=[（P2n+ Pn-2）/（Pn-12+ Pn-1-2）]（1-2/ Pn）

>[（P2n+ Pn）/（Pn-12+ Pn-1）]（1-2/ Pn）

≥（P2n+ Pn）/[（Pn-2）2+（Pn-2）]*[（Pn -2）/ Pn]

=（Pn+1 ）/[（Pn-2）+1]>1

因此，Nn >Nn-1.

（3）在Cn中，當D=P2n+ Pn-2時，Nn-1=[（P2n+ Pn-2）/2-1]/2* ∏n2-1（1-2/ pi），

在Cn+1中，當D=P2n+ Pn 時，Nn=[（P2n+ Pn）/2-1]/2* ∏n2（1-2/ pi）.比較一下這兩個值的大小：

Nn-1 / Nn=[（P2n+ Pn-2-2）/（P2n+ Pn-2）][ Pn / （Pn -2）]

>[（P2n+ Pn-2）/（P2n+ Pn）][ Pn / （Pn -2）]>[（P2n+ Pn）/（P2n+ Pn）]（Pn / Pn ）=1

因此，Nn-1>Nn.

綜上所述，如考慮N值不重復取值，它是一個分段定義的函數.每段的尾值大于始值;后段始值大于前段始值，而小于前段尾值.形成鋸齒狀不斷向上的折線.而N的起始值為1.

5.證明

由N計算公式知，它的起始值為1，隨偶數的增加而分段逐步遞加.現在只要證明：在D各分段定義的范圍內，構成它們的兩個奇數都是在對應的遞進篩中的素數，即證明哥德巴赫猜想成立.下面用數學歸法來證明.以下由素數構成的奇數組的個數（簡稱素數組）用G來表示.

在22+2=6≤D<12=32+3區間，由C2中的對應數來組成奇數組，它們的個數由N1=N0/2=（D/2-1）/2確定，實際的組成為6=3+3，8=3+5，10=5+5=3+7，全是C2中的素數，篩中的因數9小于最大的D=10，但篩內的最小數是3，所以，用不到9來構成區間內的偶數.這時，G6=（6/2-1）/2=1，G8=（8/2-1）/2=1，G10=（10/2-1）/2=2（計算結果取整數），與實際相符.

對于C2，在D的定義范圍內，構成它們的兩個奇數都是在對應的遞進篩中的素數.

現在，設在Cn中，當Pn-12+ Pn-1≤D< P2n+ Pn時，

G=Nn-1=（D/4-1/2）·∏（1-1/ pi）∏（1-2/ pj）（2≤i，j≤n-1）

（D=K pi）（D≠K pj）

所對應的奇數組中的奇數全部是奇素數成立.

這時Cn中，在（Pn-12+ Pn-1，Pn+12+ Pn+1）存在P2n，PnPn+1等含Pn因數的合數，而這些因數不對Pn-12+ Pn-1≤D< P2n+ Pn組成的素數組產生影響，但對P2n+ Pn≤D< Pn+12+ Pn+1的奇數組中的純素數性產生影響.因此，就要對Cn進行篩Pn的操作，得到Cn+1，在Cn+1中，就篩去了P2n，PnPn+1等含Pn因數的合數，這個D區間內的奇數組的計算結果為：

Nn=Nn-1·（1-1/ Pn）?? （D=K pi）

或者Nn=Nn-1·（1-2/ Pn）?? （D≠K pj）

而邊界的Pn+12+ Pn+1不在D的區間內，Pn+12的因數不對D區間內的奇數組中的純素數性產生影響.

所以，在Cn+1中，當P2n+ Pn≤D< Pn+12+ Pn+1時，

G=Nn=（D/4-1/2）·∏（1-1/ pi）∏（1-2/ pj）（2≤i，j≤n） （D=K pi）（D≠K pj）（4）

所對應的奇數組中的奇數也全部是奇素數.至此，哥德巴赫猜想得到證明.

應注意到，上式給出了在遞進篩內精確計算偶數用兩個素數和表示的組數計算式.

三、結 論

1.素數遞進篩在篩合數時不會出現重復計算，效率高，為找大素數提供了便利.素數遞進篩與有關素數問題可以建立一定的關聯，為解決相關素數分布問題提供了可選的工具.素數遞進篩的大小是由客觀決定的，也可以稱它為自然篩.

2.素數遞進篩做篩操作時，篩去（出）篩中最小素數合數（包括自身）的個數等于篩中全體數被該素數除的商.

3.哥德巴赫猜想成立，并且偶數用兩個素數和來表示的組數在一定的精度內可用公式計算.

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