源于公理 基于推理 再探空間幾何體

康淑欣

【摘要】在平面直角坐標系中，可以借助點的坐標與曲線的方程，用代數(shù)的方法研究幾何圖形的幾何性質(zhì).在空間中，可以借助空間直角坐標系，用坐標確定點，用三點共線及四點共面條件確定空間中直線與平面的位置，通過代數(shù)運算，研究幾何元素之間的位置關系和數(shù)量關系.

【關鍵詞】三點共線;四點共面;幾何作圖;坐標法

歐幾里得的《幾何原本》建立了人類歷史上第一座宏偉的演繹推理大廈，《幾何原本》從少量的“自明”的“公理”“公設”出發(fā)，利用邏輯推理的方法，推演出整個幾何體系.其中邏輯推理至關重要，這需要我們以一些簡單現(xiàn)象作為“公理”.非歐幾何的產(chǎn)生說明，由于“公理”的不同，經(jīng)過邏輯推理，所得到的結(jié)論不同.“公理”相同的情況下，由于“公理”的表達方式不同，導致推理過程呈現(xiàn)方式不同，推理過程難易程度也不相同，高中階段的立體幾何教材就呈現(xiàn)了這一思想.

在人教A版必修2中，以空間圖形的基本性質(zhì)作為“起點”，探索并進行邏輯推理，用坐標把點的位置數(shù)量化，進而把圖形性質(zhì)用數(shù)量關系表示出來，側(cè)重培養(yǎng)學生的空間想象、幾何直觀及邏輯推理能力.人教A版選修2-1中，通過新的視角，用直線的方向向量及平面的法向量研究點、線、面之間的位置關系，進一步發(fā)展學生的數(shù)學運算、直觀想象的素養(yǎng).用空間直角坐標系中點的坐標、直線與平面的方程作為研究工具，為研究空間幾何體提供了一種新的視角.

我們以三點共線及四點共面的坐標表示為工具，通過具體問題闡述如何用坐標法研究空間幾何體中點、線、面的位置關系和數(shù)量關系.

定理1 若平面內(nèi)不重合的三點A，B，P共線，則存在實數(shù)λ，使得AB=λAP.

定理2 對于空間中不共線的三點A，B，C，若P為平面ABC內(nèi)任意一點，則存在實數(shù)λ，μ，使得AP=λAB+μAC.

例1 在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面

ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E為PD中點，點F在PC上，且PFPC=13.

圖1問題1 建立空間直角坐標系，求直線PC上點F的坐標.

解：如圖1所示，因為PA⊥平面ABCD，又AD⊥DC，所以，以DA，DC所在直線分別為x軸、y軸，過點D做平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（2，0，2），E（1，0，1）.

設F（x，y，z），

根據(jù)題意可得PF=13PC，

又PF=（x-2，y，z-2），PC=（-2，2，-2），所以（x-2，y，z-2）=13（-2，2，-2），解得F43，23，43.

問題2 求直線PB與平面AEF的交點坐標.

分析：要求直線PB與平面AEF的交點坐標，只要在平面AEF內(nèi)找一點G，使得P，B，G三點共線即可.

解：設G（x，y，z），因為P，G，B三點共線，所以存在實數(shù)λ，使PG=λPB，即（x-2，y，z-2）=λ（1，2，-2），易得G（2+λ，2λ，2-2λ），因為A，E，F(xiàn)，G四點共面，所以，存在實數(shù)m，n使得AG=mAE+nAF，因為AE=（-1，0，1），AF=-23，23，43，AG=（λ，2λ，2-2λ），即（λ，2λ，2-2λ）=m（-1，0，1）+n-23，23，43，解得λ=23，得到點G83，43，23.

問題3 求點B到直線PD的距離.

分析：過點B向直線PD作垂線，設M為垂足，即M為直線PD上一點，使得BM⊥PD.

圖2解：如圖2所示，設M（x，y，z），

因為P，M，D三點共線，所以存在實數(shù)λ，使PM=λPD，即（x-2，y，z-2）=λ（-2，0，-2），易得：

M（2-2λ，0，2-2λ），所以BM=（-2λ-1，-2，2-2λ），

又PD=（-2，0，-2），BM⊥PD，

所以

（-2λ-1，-2，2-2λ）·（-2，0，-2）=0，

解得λ=14，所以M32，0，32，則點B到直線PD的距離|BM|=3-322+（2-0）2+0-322=342.

問題4 求點B到平面PCD的距離.

分析：由點到平面的距離定義得以下解法.

圖3解：如圖3所示，過B作BH⊥平面PCD于H，設H（x，y，z），

因為P，D，C，H四點共面，

所以存在實數(shù)λ，μ使得DH=λDP+μDC，即有（x，y，z）=λ（2，0，2）+μ（0，2，0），易得H（2λ，2μ，2λ），

所以

BH=（2λ-3，2μ-2，2λ），

因為BH⊥平面PDC，所以BH·DP=0，BH·DC=0，

即（2λ-3，2μ-2，2λ）·（2，0，2）=0，（2λ-3，2μ-2，2λ）·（0，2，0）=0，

則有4λ-3=0，2μ-2=0，解得λ=34，μ=1，所以H32，2，32.

所以|BH|=3-322+（2-2）2+0-322=322.

問題5 求直線PB與平面PCD所成角.

分析：由直線與平面所成角的定義，過點B向平面PCD引垂線，設H為垂足，連接PH，則∠BPH為直線PB與平面PCD所成角.

解：如圖3所示，由問題4得垂足H32，2，32，在直角三角形PHB中，∠BPH為直線PB與平面PCD所成角，因為|BH|=322，且B（3，2，0），P（2，0，2），|BP|=（3-2）2+（2-0）2+（0 -2）2=3，所以sin∠BPH=|BH||BP|=22，又0<∠BPH<π2，所以∠BPH=π4.

問題6 求二面角B-PD-C的正弦值的大小.

分析：由二面角的定義，如圖4所示，過點B作BM⊥PD于M，再過點B向平面PCD引垂線BH，設H為垂足，連接MH，因為BM⊥PD，則∠BMH為二面角B-PD-C的平面角.

圖4

解：由問題3得|BM|=342，

由問題4得|BH|=322，在Rt△BMH中，sin∠BMH=|BH|[]|BM|=31717.

例2 如圖5，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是線段BD1上的動點，當△PAC在平面DC1，BC1及AC上的正投影都是三角形時，它們的面積分別記為S1，S2，S3.

圖5

（1）當BP=33時，S1 S2（填“>”“<”或“=”）;

（2）S1+S2+S3的最大值為.

分析：由正投影的定義知，點P在平面DC1，BC1及AC上的投影分別在面對角線D1C，BC1，BD上，分別記為P1，P2，P3，要使△PAC在指定面的投影是三角形，點P不能是BD1的中點或端點B.

解：如圖6所示，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則D1（0，0，1），B（1，1，0），設P（x，y，z）且0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1，設

D1P=λD1B（0≤λ<1，λ≠12），D1P=（x，y，z-1），D1B=（1，1，-1），

圖6

所以（x，y，z-1）=λ（1，1，-1），

解得x=λ，y=λ，z=1-λ，即P（λ，λ，1-λ），

則P1（0，λ，1-λ），P2（λ，1，1-λ），P3（λ，λ，0）.

（1）當BP=33時，λ=23，S1=S2.

（2）S1+S2+S3=32-2λ（0≤λ<1，λ≠12），所以，當λ=0時，（S1+S2+S3）max=32.

用坐標法研究空間幾何體的性質(zhì)，其解題思路與人教A版必修2完全一致，只是解題過程中的推理方式不同，與幾何推理相比，此方法降低了幾何作圖的難度，只是用坐標法刻畫出作圖過程中點、線、面之間的位置或數(shù)量關系.正如一位著名幾何學家所說：“解析幾何沒有嚴格的規(guī)定內(nèi)容，對它來說，決定性的因素不是研究對象，而是思想方法”.用坐標法研究空間幾何體的目的是培養(yǎng)學生多視角思考問題、優(yōu)選方法解決問題的能力，對培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要的意義.

【參考文獻】

[1]歐幾里得.幾何原本[M].燕曉東，譯.南京：江蘇人民出版社，2011.