基于反步法的多機械臂系統力/位混合控制

2020-01-14 03:37:20

自動化與儀表 2019年12期

（青島大學自動化學院，青島 266071）

自從20世紀60年代將機器人引入工業生產以來，制造工業取得了很大的進步。如今，機器人的應用逐步拓展到制造業、農業和工業等眾多領域。目前國內工業生產中多數使用單臂機器人[1-2]，但單臂機器人在組裝零件、搬運重物等工業生產活動中效率低下，難以達到預期的要求。協同機器人[3]是多個機械臂共同完成生產活動，因此協同機器人在協調性和靈活性上都要優于單臂機器人。隨著科技的進步，協同機器人領域也在不斷的創新與發展，比如丹麥公司Universal Robots在2015年推出的機器人UR3便具有重量輕、高智能、易安裝等優點。

相比于單機械臂系統，多機械臂系統的控制問題更為困難。當多個機械臂在搬運同一物體時，首先，要保證物體按照期望的軌跡運動。此時每個機械臂的末端執行器需要與物體的運動軌跡保持一致，這就導致末端執行器在運動的速度和位置上都會受到約束。其次，末端執行器與物體之間的接觸力等內力也需要控制，以確保機械臂可以抓牢物體的同時不損壞物體。所以，在考慮位置控制的同時也應該考慮內力控制。因此如何實現機械臂的力/位混合控制[4]成為當前機械化工業面臨的主要困難之一[5]。

機械臂系統是一個高階強耦合的非線性系統，因此，專家們在對有未建模動態的多機械臂系統的控制問題上進行了大量的研究。文獻[6]在多機械臂系統中引入了一種新的綜合動力學模型，并為這些系統的位置和力跟蹤問題設計分散自適應協同控制器。文獻[7]開發了一種滑模控制方法，用于解決不確定協同機器人的控制問題。然而這些方法在控制器的設計上都比較復雜，本文運用反步控制[8]方法簡化控制器的設計。反步法是一種可以高效地處理系統中存在的非線性項的控制方法，其基本思想是將復雜的非線性系統分解成一系列單個子系統，接著在每一個子系統中引入虛擬控制函數，并且選擇適當的Lyapunov函數以完成整個控制器的設計[9]。

綜上所述，本文針對具有未建模動態和未知外部擾動的多機械臂系統提出一種基于模糊反步法的力/位混合控制方法，并使用Matlab軟件進行了仿真。與傳統的方法相比，本文的主要創新點如下：

（1）研究了多機械臂的力/位混合控制問題，并使用反步法簡化了控制器的設計過程；

（2）使用自適應模糊方法處理機械臂系統存在的高度非線性和未知擾動的問題。

1 多機械臂系統空間模型

圖1所示為機械臂共同控制一個物體的模型圖，并且在圖中建立了相對應的坐標系以便導出整個系統的動態模型。｛B｝表示參考坐標系，｛O｝表示以剛性物體的質心為原點建立的坐標系，｛Ei｝（1≤i≤k）表示以第i個末端執行器為原點建立的坐標系。

為了簡化整個系統數學模型，提出以下假設[10-13]：

假設1：機械臂自由度相同；

假設2：物體與所有末端執行器的接觸是剛性的；

假設3：每個機械臂的運動遠離奇點；

假設4：所有關節和被抓物體都是剛性的。

2 多機械臂系統數學模型

2.1 機械臂的動力學模型

第i個機械臂的動力學方程為[14]

由式（1）可得k個機械臂的動力學方程是：

式中：

假設 5：di（t）滿足‖di（t）‖≤，其中是一個未知正常數。

由假設 3 可知，Jacobian 矩陣 Jm，i（qi）可由第 i個機械臂的正向動力學得到，如式（3）所示：

2.2 物體的動態模型

物體的動態方程為[15-16]

式中： p∈R2是物體的位置向量；Mo（p）∈R2×2表示物體的質量矩陣；Do（ p，p˙）∈R2×2表示科里奧利力-離心力矩陣；Go（p）∈R2表示重力矢量；Fo是物體的合力矩矢量；可以表示為

式中：Jo，ei（ p）∈R2×2表示第 i個末端執行器到物體的Jacobian矩陣，由此可得：

F由內力f和外力E兩部分組成，可得：

式中

將式（8）帶入式（7）可得：

假設6：物體的運動不會受到內力的影響，內力之間可以互相抵消，也就是說：

2.3 多機械臂配合動力學模型

基于假設3，物體的位置和方向向量矩陣p可以用關節向量qi表示：

對式（8）求導可得：

將式（10）、式（14）和式（15）帶入式（2）中可得多機械臂協作的動力學模型：

式中：

定義新的變量如下：

則式（16）可以表示為

3 控制器設計

步驟1定義系統誤差變量如下：

式中：x1d為期望的物體運動軌跡；α為虛擬控制信號。

選取李雅普諾夫函數為

對式（18）求導，可得：

選取虛擬控制律 α=-k1z1+，則

步驟2選取Lyapunov函數

對式（21）求導可得：

由式（22）可得：

基于假設5和楊氏不等式，可得：

令 ef=f0-f，f0是期望的內力，ef是內力誤差，令選取真實控制律：

式中：σf，d，σf，i是正常數；為 θi的估計值，θi將在后文定義。將式（27）帶入式（26）中得到：

比較式（4）、式（7）和式（11），可得：

將式（30）帶入式（28）可得：

步驟 3令，選取 Lyapunov 函數：

對式（32）求導可得：

定義自適應律：

式中：ηi＞0，mi＞0。

4 穩定性分析

將式（35）帶入式（34）中可得：

由式（31）容易得到：

顯然有：

將τ帶入式（16）中可得：

由于系統內的信號都是有界的，所以只要σd的取值合適，內力誤差就會收斂到一個極小的值。

由上述分析可得以下結論：

假設x1d為期望跟蹤信號，結合模糊自適應逼近理論、虛擬控制律α和自適應律θ的共同作用下，位置跟蹤誤差將會收斂到原點周圍極小的鄰域內，并且選取合適的 σf，d，σf，i，使內力的誤差收斂到原點周圍極小的鄰域內。

5 系統仿真結果

為了驗證所提出的基于自適應模糊的反步控制方案的有效性，本文在Matlab環境中進行了仿真，如圖2所示，這兩個二連桿平面機械臂共同抓取一個球形物體。是機械臂每一個關節的角度，每個機械臂的動力學方程由式（1）表示，其中 Mi（qi），Gi（qi），Di（qi，）在文獻[18]中給出。 di（t），τf，i（qi，）由式（41）和式（42）得到：