落實素養為本的數學開放題教學

張僑平，唐彩斌

落實素養為本的數學開放題教學

張僑平1，唐彩斌2

（1．香港教育大學 數學與資訊科技系，香港 999077；2．杭州市時代小學，浙江 杭州 310006）

素養為本的數學教學，需要培養學生在不同問題情境中的數學思考、推理、交流、分析和判斷等關鍵能力，以及積極的學習態度．盡管開放題在中國被提出的時間較早，但在課堂教學中重視還不夠，值得進一步探索．開放性的數學問題能夠幫助學生獲得信心和提供學習者多角度思考的機會，不同能力的學生在解答開放題時能夠產生自己的數學思考，形成課堂中的數學交流和討論，培養高層次思維能力．

素養為本的教學；開放題；數學素養；數學教學；核心素養

1 素養為本的數學教學

在當前知識經濟的時代，互聯網和信息技術瞬息萬變，世界各地的教育系統都面臨同樣的問題：未來的社會需要什么樣的人才？學校教育如何培養這樣的人才？許多國家和地區都將學會學習、終身學習作為應對社會改變的教育改革目標，并提出了基于核心素養的教育改革．不同于傳統意義上的知識和技能，核心素養是在一定的情境中，個體通過使用和調動心理社會資源（包括技能和態度），以滿足復雜需求的關鍵能力，是個人自我發展、融入社會以及勝任工作所必需的能力，也是終身學習的基礎[1-2]．在各地的數學課程文件中，對數學核心素養的界定雖有不同但也存在諸多的共通之處[3-4]，比如大都重視數學能力的整合，重視數學問題情境和重視跨學科課程的學習．總的來說，數學素養是一個人在面對復雜的情境和實際問題時，以積極主動的態度，靈活地運用數學知識和思維方法，有效地運用輔助工具，進行推理、交流、分析和判斷，從而解決問題的能力．它是個人數學知識、數學思維、數學能力和數學情感的綜合體現．

如何在課堂中落實素養為本的教學？不少學者指出，培養學生核心素養較為理想的模式是統整課程[5-7]．然而，在華人地區，學科為本的課程組織形式仍然根深蒂固，學科課程也大多“依據學科邏輯來確定課程內容，以學科知識結構及其知識發展邏輯為依據的課程內容的確定與教材編撰，路徑相對明確”[8]．因此，培養和發展學生的核心素養，最終還是需要通過基于不同學科脈絡和知識框架的學科素養來實踐．那么，如何從核心素養的內涵出發在數學學科中落實素養為導向的數學教學呢？

每一門學科有其固有的特征和基本的概念與技能．因此，基于核心素養的數學教學需要考慮數學學科自身的認知方式、思維方式和表征方式．作為數學教學的重心，問題解決一直為課程文件制定者和廣大教師所重視[9-10]．在認知學習理論的影響下，問題解決代表著一種由各種認知技能和行為組成的復雜心理活動，它包括著諸多高階思維能力，如可視化、關聯、抽象、理解、操作、推理、分析、綜合、一般化等[11]．培養學生的數學核心素養，也就是要能夠在數學問題解決當中，透過問題情境的改變，培養學生的數學思考、推理、交流、分析和判斷等關鍵能力．學生在認識數學、探索數學乃至創造數學的過程中，能建立起積極的學習態度，正確的價值觀，實現用數學的眼光看待現實世界，用數學的語言表達現實世界，用數學的思維分析現實世界．

2 開放題與問題解決

學生問題解決的過程大多經歷“理解問題—制定解題計劃—執行計劃—反饋解答”這4個主要步驟[12]．提升學生問題解決能力的一個關鍵，自然跟所涉及的數學問題相關．一個好的數學問題能夠帶動學生的學習動機和好奇心，能夠拓展學生的數學思維，發展其數學能力．

數學中的開放性問題（open problem）就具備這樣的特征．在20世紀70年代，日本數學教育家提出開放性問題（open-ended problem）（最初的開放題主要指問題的結果是不確定的），在國際數學教育界引起了廣泛的重視[13]．在1998年第一屆東亞國際數學教育（EARCOME-1）大會上，集中討論的課題之一就是數學教學的“開放性”（openness）．同年11月，華東師范大學數學教育研究室在上海召開了全國“數學開放題及其教學”學術研討會，匯報了課題組的九五教育規劃重點課題：開放題——數學教學的新模式．如今，數學開放題已成為世界性的數學教育的焦點，與之相應的“開放性”教學（open-approach teaching）也成為數學教學新的發展趨勢．究其原因，主要還是在于這種教學方法是著力培養學生分析問題和解決問題的多方面活動能力和數學思維能力，讓學生能夠按各自的情況，進行不同的策略選擇．這與我國當前倡導的素養為本的教學理念是一致的．那么，到底什么是開放題？不同的研究者有不同的理解．例如，中國著名數學開放題研究專家戴再平先生[14]總結了關于開放題概念的幾種不同理解：（1）結論不確定的數學問題稱為數學開放題；（2）開放題是和封閉題相對而言的．一個數學開放題，若其未知的要素是假設，則為條件開放題，若其未知的要素是推理，則為策略開放題；若其未知的要素是判斷，則為結論開放題；若問題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結論都需要在情境中自行設定與尋找，則為綜合開放題；（3）探索性問題是數學開放題；（4）數學開放題是指那些答案不唯一，并在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數學問題．

美國Silver教授[15]將數學開放性問題主要分為3類：（1）給出的問題條件是開放的；（2）問題的最終結果是開放的；（3）問題的解題過程是開放的（如圖1）．當然，開放題也可以是這3種類型的綜合情況．例如，（1）條件開放題：問題的條件不完備或滿足結論的條件不唯一．例：兩個數相加為20，這兩個數是多少？（2）結論開放題：在給定條件下，結論不唯一．例如：尋找13元6角的硬幣組合？（3）解題策略開放題：思維策略與解題方法不唯一．例如：圍著火爐一圏，一次可以烤10個紅薯，烤熟一個要5分鐘，兩面要烤熟才完全烤熟，現在烤15個紅薯，至少需多長時間．（4）綜合型：在條件、結論、策略中至少有兩項是開放的．例如：一個長方形，剪掉一個角，剩下部分還有幾個角？

圖1 開放題的類別

數學開放題具備不同的開放類型，不同的開放程度能讓不同的能力和興趣的學生得到不同的發展．美國加利福利亞州教育部門就曾指出開放題所具備的5個功能[16]：（1）為學生提供了自行思考并用自己的數學觀念進行表達的機會，這和他們的數學發展是一致的；（2）要求學生構建他們自己的反應，而不是選擇一個簡單的答案；（3）允許學生表達他們對數學問題的深層次的理解，這在多項選擇題中是無法做到的；（4）鼓勵學生用不同的方法解決問題，這也反過來提示老師用不同的方法解釋數學概念；（5）開放性問題的模式是數學課堂教學的基本成份．

開放題的一個重要特點是能評估學生的高階思維能力（higher-order-thinking skills），這也正是當前基于核心素養的教學所重視的．學生在面對問題時，能把原來的知識和技能進行組合，以形成解決當前問題的一種整體的技能，或者對原來的技能進行修正，以解決目前的問題．學生通過對問題的觀察，不斷檢驗上述技能是否能解決，不斷地修正假設．如果已有的知識和技能并不能解決問題，就會對新的方法提出假設并進行嘗試．如果成功，學生會考慮是否有類似的例子可以拓展，并發展新的理論．因此，開放性的數學問題涉及到學生的高層次思維[13]．在這樣的解題活動中，解題的思路常常有些復雜，不會事先給定的；也經常產生多種解題方法，學生對每個解答都要下一定的功夫，并且有著體驗和收獲；解題的過程包含著思維過程的自我調整[17-18]．比如有這樣一個例子：假設您正在電話里與同學交談，希望他幫忙畫出下面這些圖形（圖2）．而該同學無法看到圖形的樣子，只能聽你的描述．請設計一個表達方法，可以幫助你的朋友準確畫出這些圖形．

圖2 開放題的舉例

在這個認識圖形的開放性問題中，每一個學生，無論能力強弱，都能參與討論和思考．受制于自身對幾何圖形的理解，學生的回答或會出現不同的方案，特別地，要將看到的數學圖形清晰地表述出來，需要學生借助一定的空間感，合理地組織與表達相關的數學元素．

學生解答開放題的過程其實顯示了學生進行數學探索的一種可能的路徑．在Cifarelli和Cai[19]的研究中，研究者分析了兩位數學專業的大學生解答數學開放題的思路．結果發現，學生的數學探索主要涉及3個階段：首先涉及對給定的問題不同程度的感知，這時的開放度是最大的；接著開始形成解題的目標，比如制定解題方案和策略，此時開放性減少；最后解決問題和對結果進行反思．而這個數學探索的過程其實也是一個循環的過程（見圖3）．這是因為學生對解決方案反思后，有可能提出了新的問題，于是又一次進入了數學探索，亦即新一輪問題解決的過程．

圖3 開放性問題情境下數學探索的路徑

學生在面對數學開放題時，必須進行探索，有效地推理和利用數學方法解決問題，其核心是讓學生能夠數學地思維（mathematical thinking），這正是數學教學的重心所在．林碧珍、鄭章華和陳姿靜等的研究[20]透過設計包含數學臆測的教學任務，來說明教師如何能幫助學生進行數學論證，從而培養應有的數學素養．該數學任務設計的原則遵循“造出例子/匯整及組織例子—觀察關系并提出猜想—驗證猜想—猜想的一般化—證明的一般化”幾個步驟，盡可能給學生提供充分論證的學習機會．這種學習模式也正是當前培養數學素養的教學所倡導的，即提供實例讓學生探索，讓學生從活動和觀察中發現數學關系，引導學生經歷數學知識產生的工作，體會數學的本質．另外，研究者也強調這種數學任務設計原則還可為教科書的編寫和使用提供借鑒．

3 開放題的設計

落實基于核心素養的數學教學既需要重視問題情境，也需要熟悉兒童自身周圍的經驗（包括他們的已有知識），由學生的認知世界作起點，進行課程和教學的設計．在這個設計過程中，教師需要充分提供學生學習的機會，探索和經歷數學知識產生的過程．在設計數學開放題時，可以有以下一些方法和原則[14]：（1）弱化成題的條件，使其結論多樣化；（2）隱去成題的結論，使其指向多樣化；（3）在既定的條件或關系下，探討多種結論；（4）給出結論，尋求使結論成立的充分條件；（5）比較某些對象的異同點；（6）在既定的條件下，設計解決某些實際問題的方案；（7）在實際情境中，尋求多種解法與結論．

在學校數學學習中，學生遇到的數學問題往往都是來自教師或者試題．學生在解題時，是運用問題解決的策略進行探索還是猜測和尋找老師想要的答案呢？毋庸置疑，教師期望學習情況會是前者，但現實課堂教學中，后者大量存在．這也是研究者所提到的深層（deep）學習和淺層（surface）學習的重要分別[21-22]．基于記憶的淺層學習者，往往是再現或者背誦已有的知識．而基于理解的深層學習，則更在乎對意義的尋求．基于核心素養的數學教學，更注重學生在課堂活動中，從學習材料中探尋學習對象的意義．開放題的設計有助于學生深層的學習．許多的生活問題都可以作為設計開放題的來源和起點，以此帶動學生進行數學探究活動．

比如，為培養學生的量感，教師可以讓學生估計一疊A4白紙的張數？計算一張廁紙的厚度？這些例子在實際生活中經常接觸，學生容易明白，雖少有思考．學生可以在探究解決問題的活動中對度量有更深入的認識．再例如，利用拼接和組合來認識幾何圖形，有兩個完全一樣的正方形，拼在一起只可以拼出一種圖形；3個完全一樣的正方形，可以拼出兩種不同的圖形，4個完全一樣的正方形呢？也可以從二維延伸到三維：兩個小正方體積木能拼出多少種幾何體呢？3個小正方體積木能拼出多少種幾何體呢？4個呢？延伸到幾何體的組合，也就帶出了索瑪立方體的知識，而這種探尋一般模式（look for pattern）的方法本身就是問題解決的一種．另外，也可以將問題的結果和條件反過來，針對以前習以為常的答案（如方程的解是=3），讓學生創造出相應合適的問題（如寫一個應用題，滿足=3是其解），這種自我擬題的方式本身就帶有很大的開放性，激發學生的創新思維．再者，課堂對話也是引發學生思考的重要方法，教師可以設計一些開放性的提問，如多問一種方法：你還可以怎么做；多給一種方式：可以用數字、圖形、文字、圖標來表示；多說一點原因：你是怎么看的？或者限制學生已經熟悉的策略：如果不計算，比較78×88和79×87的大??？

4 結論

基于素養的數學教學，對廣大教師來說其實并非完全陌生．自中國2000年的基礎教育改革以來，學校課程建設和課堂教學改革的方向其實都在朝這一方向邁進．做好知識、技能、情感態度和價值觀的整合，就是在實踐素養本位的教學．在數學課堂，重視學生的數學思考，幫助學生從掌握基本知識和技能到具備高階思維能力，也就是體現了素養本位的數學教學．開放題的教學雖然在國內早被提出，但在課堂教學中真正得到落實和發展還遠遠不夠，它也有很大的生命力．學生是學習的主體，而學習不但包括學習的內容（結果），還包括學習的過程和學習過程中的情感體驗．開放題的特征和功能，既重視了過程，也關注了結果．讓學生學會學習，掌握思維的方法，靈活地在不同的情境下應用所學的知識和技能，這正是21世紀的技能或者核心素養的關鍵內涵．

有效教學的關鍵在于教師自身的專業反思能力．開放題的設計只是在教學中協助教師落實素養為本的數學教學的方法之一，還有很多其它方法和策略可以運用于教學．當數學問題從封閉型變為開放型時，教學就為學生提供了更多探索數學的機會，同時也促進了不同層次學生的課堂參與熱情．訓練學生解決數學題，向來是很多教師精通和擅長的．對于習慣問題設計的教師來說，或許要留意另一種“心魔”：即從過去常規題目的操練演變成對開放性問題的操練．這樣說這并非危言聳聽．曾幾何時，在學校改革中大量推行的自主學習、項目學習等多元評價模式，也會偏離了改革的原意，淪為按固有模式進行操練的產物．另外，在素養為本的教學下，數學開放題的設計，要考慮如何提升學生的數學推理和數學思維，還要考慮如何促進學生的數學合作交流能力．教師的解題教學思維要從關注個人的問題解決轉變為促進小組合作的問題解決．在這方面，數學活動題未嘗不是一種可行的方式[10]，讓幾個同學分工合作、共同解決一些數學開放性問題．在課堂之外，也可進行一些數學探究活動，如數學游蹤（mathematics trial），既能將課堂學習和課外學習結合起來，也能培養小組的分工與合作．另外，美國Marian Small教授將數學開放題結合平行任務融入到教學中進行分層教學[23]，處理學生的個別差異，也很值得借鑒．

在學校教育中，教師常常希望學生跳出思維的框架（think out of the box），但教師自己是否能做到呢？新課程改革，進一步重視學生的數學問題解決能力，應視為扭轉過往教學中一些不健康做法的契機．要開創課程改革的新局面，除了改變各種考核、篩選學生的方式和制度外，關鍵在于教師能否有效地通過課堂教學培養學生解決問題能力，促進學生對數學的理解，以數學思考來取代一些過量的、空洞的操練．除了講授問題的解法，更要注重學生的想法．數學開放題的教學不僅僅是數學問題的開放，還應該有數學課堂的開放．明白這些，也就不難理解新課改以來所一直強調的教師角色的轉變，即要從知識的提供者和傳授者逐步轉變成為學生學習環境的制造者、學習活動的合作者和促進者．這也正如戴再平先生在二十多年前的文章中提到的“開放型題教學要求教師具有一種新的素質”．

[1] 林崇德．21世紀學生發展核心素養[M]．北京：北京師范大學出版社，2016：1-11．

[2] 裴新甯，劉新陽．為21世紀重建教育——歐盟“核心素養”框架的確立[J]．全球教育展望，2013，42（12）：89-102．

[3] 張僑平．西方國家數學教育中的數學素養：比較與展望[J]．全球教育展望，2017，46（3）：29-44．

[4] 張僑平，林智中．培養學生素養的課程及教學策略：香港的經驗[J]．教育研究月刊，2017（3）：114-126．

[5] 蔡清田．立足核心素養的課程統整設計[J]．課程教學研究，2016（6）：8-14．

[6] 鐘啟泉．基于核心素養的課程發展：挑戰與課題[J]．全球教育展望，2016，45（1）：3-25．

[7] 張僑平，林智中．素養導向的數學教育若干問題[J]．人民教育，2017（6）：43-47．

[8] 石鷗．核心素養的課程與教學價值[J]．華東師范大學學報（教育科學版），2016（1）：9-11．

[9] National Council of Supervisors of Mathematics. Position paper on basic mathematical skills [J]. Mathematics Teacher, 1978, 71 (2): 147-152.

[10] 張僑平．培養學生數學問題解決能力：數學活動題的啟示[J]．課程·教材·教法，2018，38（1）：97-102．

[11] ?GAROFALO J, LESTER F K. Metacognition, cognitive monitoring, and mathematical performance [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1985, 16 (3): 163-176.

[12] ?POLYA G. How to solve it [M]. New York: Doubleday Anchor Books, 1973: 6-17.

[13] BECKER J, SHIMADA Y. The open-ended approach: A new proposal for teaching mathematics [M]. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1997: 1-9.

[14] 戴再平．十三年來我國數學開放題的研究和存在的問題[J]．湖南教育，2006（7）：4-7．

[15] ?SILVER E. The nature and use of open problems in mathematics education: Mathematical and pedagogical perspectives [J]. ZDM-International Reviews on Mathematical Education, 1995, 27 (2): 67-72.

[16]??PANDEY T. A question of thinking: A first look at students’ performance on open-ended questions in mathematics [M]. Sacramento, CA: California Department of Education, 1989: 1-2.

[17] ?RESNICK L B. Learning in school and out [J]. Educational Researcher, 1987 (16): 13-20.

[18] 戴再平．一組開放型題的試驗與分析[J]．數學教育學報，1993，2（2）：15-21．

[19] ?CIFARELLI V V, CAI J. The evolution of mathematical explorations in open-ended problem-solving situations [J]. Journal of Mathematical Behavior, 2005, 24 (3): 302-324.

[20] 林碧珍，鄭章華，陳姿靜．數學素養導向的任務設計與教學實踐——以發展學童的數學論證為例[J]．教科書研究，2016，9（1）：109-134．

[21] ?MARTON F, SALJO R. On qualitative differences in learning: I-outcome and process [J]. British Journal of Educational Psychology, 1976, 46 (1): 4-11

[22] ?BIGGS J B, TANG C. Teaching for quality learning at university [M]. Buckingham: Open University Press/Society for Research into Higher Education, 2011: 16-33.

[23] ?SMALL M. Good questions: Great ways to differentiate mathematics instruction in the standards-based classroom [M]. New York: Teachers College Press, 2017: 1-15.

The Implementation of Open-Ended Approach in Competency Based Mathematics Teaching

ZHANG Qiao-ping1, TANG Cai-bin2

(1. Department of Mathematics and Information Technology, The Education University of Hong Kong, Hong Kong 999077, China; 2. Hangzhou Shidai Primary School, Zhejiang Hangzhou 310006, China)

The competency-based mathematics teaching needed to cultivate students’ key abilities in mathematical thinking, reasoning, communication, analysis and judgment within different problem situations, as well as their positive learning attitudes. Although the open-ended approach had been proposed earlier in China, it was not well emphasized in classroom teaching and was worthy our further exploration. Open-ended mathematics problems could help students gain confidence and provide opportunities for students to think problems from multiple perspectives. Students with different abilities could generate their own mathematical thinking in the process of solving open questions, which formed the mathematical discussions and communications in the classroom and in turn enhanced students’ higher-order-thinking skills.

competency-based teaching; open-ended problems; mathematical competency; mathematics teaching; core competency

2019–10–03

香港教育大學內部研究項目——利用分層課業處理學生數學學習差異的成效研究（RG93/2017-2018R）

張僑平（1980—），男，湖北武漢人，助理教授，博士，主要從事數學課程與教學、教學教育研究．

G424

A

1004–9894（2019）06–0061–04

張僑平，唐彩斌．落實素養為本的數學開放題教學[J]．數學教育學報，2019，28（6）：61-64．

[責任編校：陳雋、張楠]