懸浮水輪原理及外界微擾下的系統穩定性研究

尹一凡

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

1 現象分析

在生活中經常看到以下現象：在靠近朝上噴水的水柱邊緣小心放置一個輕質物體，在一定條件下，物體將在懸浮的同時開始旋轉。通過實驗觀察出以下特點，一方面，在水流的沖擊下，水輪在豎直面內快速旋轉，并且轉速維持在一個穩定值附近，同時液體沖擊水輪后出現飛濺現象，之后較強的系統穩定性使得體系可以在一定程度上抵抗來自外部環境的干擾。通過觀察高速攝像機照片發現，液體在接觸點與物體發生作用。先以液體流速為變量進行了實驗，得出了實驗結果如圖1所示，從中發現，液體主要集中離開點與液體流速有著很大關系，隨著流速的增加，液體的離開由集中流淌離開向鋪灑的方式變化，現象也更為劇烈，而且液體的流淌也更多地從兩側偏向中間豎直軸線。

通過對水流的分析，猜想，水流流向可以分為沿豎直軸線和從輪球兩側流動前進這兩種情況，即為圖2中ABC這三條方向，這些方向與物體的外形有著顯著關系。對于圖2左圖所舉例的水輪而言，其邊緣垂直的壁面使得AC兩股水流可以忽略不計，可以視水流為全部經過B的途徑。而對于圖2右圖所示的情況，即物體兩側不完全垂直，如圓球、梭型等物體，這時水流不僅能通過B途徑，也會通過AC途徑前進。

通過對A/C途徑進行分析，其作用除了使B途徑液體量減少外，還在于馬格努斯效應的產生。馬格努斯效應的含義為：當一個旋轉物體的角速度矢量與該物體飛行速度矢量不同向時，存在垂直于這兩個矢量的橫向力，使物體的飛行軌跡發生偏轉，橫向力的方向可由右手定則確認[1]。

圖2 水輪俯視、平視圖Fig.2 Top view and head-up display of water turbine

圖3 馬格努斯效應示意圖Fig.3 Schematic diagram of Magnus effect

在A/C途徑下，物體在旋轉角速度下還有著相對運動速度，按照馬格努斯效應，產生了如圖3所示的橫向力，因此需要在平衡方程中進行相應的公式修正。同時，在穩定性上，該作用力也使得物體在水平方向上趨向靠近水流沖擊點，使物體不易脫離接觸，縱向上也使得物體維持高度所需的液體作用力更小，使穩定性增強。

2 水柱與水輪的位置關系

對水輪而言，必須要先由其邊緣與水柱相接觸，使水柱沖擊水輪的下側，使其產生向上的作用力，使其能夠保持不掉落。同時，如果作用位置恰好為水輪的正下方，則水輪在理想條件下不會旋轉且會在所處位置保持平衡。而在實際情況里，這樣的平衡為不穩定平衡，因而不再贅述。

在單側受到水流沖擊時，從水平方向來分析，沖擊點與水輪重心應同處于右視基準面，否則從前視基準面上分析來看，水輪所受重力與水柱的作用力不在同一條直線上，無法滿足平面力系平衡條件，水輪也就無法處于平衡狀態。

3 水輪的受力狀況

3.1 僅在沖擊點處存在摩擦力

此時的受力分析如圖4所示。

圖4 受力模型假設Fig.4 Stress model assumptions

假設沖擊點與圓心連線與水平線夾角為θ，水輪轉動的角加速度為α，F為沖擊力，Ff為摩擦力，R為水輪半徑，m為水輪質量，此時對其進行受力分析：

may=mg+Ffcosθ+Fsinθ=0

max=Fcosθ-Ffsinθ=0

Jα=FfR

其中：

從x、y方向上的受力情況來看，摩擦力的存在可以使水輪質心在鉛錘平面上保持平衡，但由于角加速度α的存在，使水輪旋轉不斷加快，在較長時間后，在沖擊點的切線方向上，水輪與水柱的速度相同。也就是說，兩者間最終會不存在相對速度和相對運動趨勢，這樣摩擦力也就不會產生了。由此看來，從最開始的僅有沖擊力到加入單一的摩擦力來試圖解決問題的模型是不成功的，因此要引入其他的作用力[2]。

3.2 水對水輪有著多處摩擦力作用

一般情況下，兩個剛體的碰撞會使得兩剛體快速接近并迅速分離，中間可能產生了短時間的法向或切向作用力，而在根據這一點做出的以上兩種分析均不能解釋懸浮水輪的現象，因此在新模型中開始考慮水的形變帶給水輪受力分析的影響。

考慮到水輪與小球在曲面構型上的相似性，以小球為例進行水柱的沖擊實驗。通過實驗發現，當水柱沖擊小球的下側面時，水柱并沒有出現像之前猜想的那樣直接彈開，而是吸附在了小球表面，以至于將其完全包裹。

圖5 小球模型實驗實物圖(1)Fig.5 Physical figure of small ball model experiment (1)

如圖5所示，如果繼續考慮摩擦力的作用，則可以得出以下物理模型：

在初始狀態下，水柱沖擊水輪后，兩者的切向速度差使得帶動水輪旋轉，當到達平衡狀態時，水輪轉速保持不變，而水柱在接觸點處的切向速度仍大于水輪的切向速度，在這種情況下，摩擦力對水輪產生了轉動加速的力矩。然而，部分水附著在水輪外側，水輪帶動水的作用力的反作用力產生的反向力矩，使得水輪能夠在固定的轉速保持平衡[3]。

內側圓代表水輪，外側圓代表水輪外緣附著的水。同時，為簡化模型，假設，水在同一角度對應的區域內是均勻分布的，而考慮到水在外緣的縱向上可能并不是均勻分布的，可以假設水的單位質量(質量的角密度)與角度θ滿足函數ρ=φ(θ)。

針對水處于圓心水平線上下兩種情況，分別做出了以下受力分析，其中，T代表水輪對水的吸附力，Ff代表水輪對水的摩擦力，dmg或G代表任意微小角度dθ所對應的水的重力。

3.2.1 水在中心線下時(θ<0)

受力分析如圖6所示。

圖6 θ<0時受力分析Fig.6 Stress analysis when θ<0

在此過程中，Ff可能出現反向情況，便只設向上為正方向，由此可以建立以下關系式：

mat=-cosθG+Ff

anm=T-sinθG-N

G=φ(θ)gθdθ

根據力學方程，得出動力學規律如下：

an=ω2R

根據微分變換可以得出以下式子：

聯立方程可得：

T-sinθG-N=ω2Rm

其中，當水速大于水輪轉動速度時：

Ff=μN

由此，便可以根據初始的沖擊點所對應的角度θ0與水柱接觸時的初始速度來求解出與之相對應的兩者共速時的角度θ1與速度ω1。

對于摩擦力Ff的求解：

3.2.2 水在中心線上時且在右側時(θ>0)

受力分析如圖7所示。

圖7 θ>0時受力分析Fig.7 Stress analysis whenθ>0

根據力學方程，得出動力學規律如下：

atm=Ff-cosθG

anm=T-N+sinθG

在這一段上，因為水輪轉速固定，如果假設附著在水輪上的水流速度處處相等，則ω可視為不變且與水輪轉速相等，此時：

at=0

an=ω2R

聯立方程可得：

T-N+sinθG=ω2Rm

cosθG=Ff

因為質量與角度的關系式得到：

Ff=cosθgφ(θ)dθ

3.2.3 水在中心線上時且在左側時(θ>0)

由于當水被吸附到水輪的左側時，其受力分析與水流在右上側時完全對稱，而由于水可能會在這一段上離開水輪，因此假設水在θ2時離開水輪，而過程中摩擦力的表達式與之前完全相同。

3.2.4 綜合以上，整體對水輪進行分析

綜上所述，針對對水的分析以及牛頓第三定律得出了，水輪所受摩擦力的關系式為(以逆時針方向為正)：

從水輪的所受外力來看，水對水輪吸附力的力矩為0，所以僅有摩擦力可以提供力矩。此時，若以輪質心為軸心進行分析，摩擦力的力矩只有為0時，水輪才可能平衡。構建力矩力矢的平衡方程為：

T沖cosθ0=1

T沖sinθ0-Mg=0

其中，水輪與水流的吸附力T是與水的流速、溫度、密度等相關的函數[4]。通過分析得出，作用力T是該作用力可以分為康達效應下的空氣壓力與水輪外緣壁對液體的沾附作用的合作用力。接著對空氣壓力進行分析，由伯努利方程得出：

考慮到重力對空氣的作用可近似忽略不計，同時貼近液體表面的空氣流速也與液體流速近似相同，便可得出空氣壓力的表達式：

T可簡化為Fair(θ)與沾附作用的合力模型，而后者則可以通過材料間的特性進行分析，在此便不再贅述。

φ(θ)也取決于液體流速與水柱流量的關系，為簡便運算，可假設T與φ(θ)均為常數，此時：

由此，可認為該模型是成立的。

3.3 通過動量分析水輪平衡

在之前的三個模型中，主要依靠對水輪及水的受力分析來解決問題。現在，通過構建模型和沖量定理來對當球轉速過高而使水飛濺的情況進行定性分析。在之前的模型中，水覆蓋在水輪表面，當水流速加快后，水流就不再局限于包裹水輪，而是在隨著水輪轉動的過程中沿著水輪的切線飛濺出，如圖8所示，其原理比較接近于研磨金屬板時飛濺的火花。

圖8 小球實驗實物圖片(2)Fig.8 Picture of ball experiment (2)

在這種情況下，可以對水輪及其上面的水做整體定性分析。在沖擊過程中，水輪始終受到豎直向下的重力帶來的沖量，因此水必須要提供給水輪以豎直向上的沖量，而兩者在相同時間內大小相等。由牛頓第三定律可知，水輪與水的作用力與反作用力大小相等，方向相反。在這段時間里，水柱I2受到來自水輪豎直向下的沖量，這一分析重點在于確保合動量在水平方向上的分量為0。由于水流最終的動量方向具有不確定性，只要所有動量矢量相加的合動量方向為豎直方向，則水輪在水平方向上的穩定即可得到解釋。

4 水輪的抗微擾分析

水輪穩定系統可能會受到各種外部干擾，可以分為軸向力、豎直力、水流干擾等。

4.1 抗軸向力干擾

4.1.1 干擾恢復

當水柱受到來自側面的軸向力干擾時，水輪會發生偏向軸向力方向的傾側，水流方向也會隨著水柱的傾側而發生傾側。根據之前依照沖量定理的分析，當受到向右的軸向力時，水流方向也會向右傾斜，此時水流便會反作用于水輪向左的水平分沖量，水輪在水平方向上便可以得到平衡，并在位移上得到回位。除了從沖量角度進行分析，也可以從作用力角度來分析。當水輪受到水平向右的沖量時，水輪相對于其所附著的水會產生向右的相對速度，此時水輪便會受到來自水的向左摩擦力以使水輪保持平衡。

4.1.2 恢復的局限性

通過分析可以看出，只有被附著的水流沿著水柱方向被充分加速再被甩出去才能產生足夠大的反向沖量使水輪平衡。在此過程中，水的右向加速需要一定時間，如果加入沖量的時間過短，水根本來不及變向加速，水輪也就無法在水平沖量角度上保持平衡。同時，如果外力的干擾力過大，使摩擦力無法平衡外力，則物體會加大傾斜，直至完全偏離平面，此時的恢復力也就無效了。此外，如果外力的作用點過于靠近沖擊點，產生的位移使得水柱與水輪的接觸出現偏離，就會導致附著水流減少，甚至完全脫離水流接觸，使系統根本無法依靠水流與水輪作用力來恢復。

4.2 抗縱向力干擾

4.2.1 干擾恢復

在豎直方向上，向下的作用力可以視為水輪重量的增大。從突變時刻到水輪不斷被重新調整變速到新的平衡轉速過程中，水輪會在豎直方向上做直線運動，直至達到新的穩定。而向上的作用力則可以視為水輪質量的突變減少，分析過程基本與向下時相同，但水輪的質心運動方向和轉速變化趨勢會相反。

4.2.2 恢復的局限性

作用力向下時，主要考慮留給系統的空間是否足夠去調整。如果水輪距離地面高度過小，則水輪會在重新達到平衡狀態前撞擊地面，系統也就無法平衡。而當作用力向上時，平衡的主要問題在于作用力與水輪重力及水柱流速的關系。如果作用力大于重力或理論平衡的位置超出了水柱所能到達的最大高度，系統也無法實現新的平衡。

4.3 水流干擾

4.3.1 干擾恢復

水流發生變化主要為暫時性斷流，水流加強或減弱。對于暫時斷流情況，水輪在某一時刻只會受重力作用而脫離水流，此時，水輪會出現短時間的落體過程。而當水流加強時，水輪受到的沖擊力會突然變強，此時會產生向上的沖量，其位置會上升。在不考慮沖擊力帶來水平位移的情況下，高度會上升到新的沖擊點處，水流量與原先處相同。水流減弱時分析同理。

4.3.2 恢復的局限性

對于斷流的存在，在極短時間內，水輪的受力會存在局部缺失的情況，而且其上面水流的分布也會出現變化，水輪在水平方向上就會出現沖量差，會造成微小的水平偏移。當水流速過大時，水輪可能會被短時激增的沖擊力沖出接觸平面，而造成系統無法復原的平衡破壞。當水流速過小時，水流的作用力可能無法使水輪保持轉動或懸浮，會造成新的失衡。

5 針對文中假設的校正

本研究對水輪表面的水流流量分布做出了常量假設，現作出更細致的校正：

設：在角度θ處飛濺的水量為f(θ)，如果忽略初始沖擊時損失的水量且水柱的水量為函數Q(θ)，則其滿足方程：

6 結論

通過上述分析表明，水輪與水柱的沖擊點處在水輪質心所在縱剖面，否則將無法在位置上滿足平衡條件。在平衡受力模型的建立中，排除錯誤模型，通過理論證明得出合理的“包裹式摩擦力”物理模型，并通過合理假設得出的動力學方程表示出平衡時的物體狀態，由定性分析得出平衡時的沖量條件。在抗微擾分析中，通過多種外界干擾假設，分別探究了水輪在不同情況下的動態穩定性。最后，對水流量的常量假設進行校正，用以在日后的實驗中測出相關量后對方程進行修正。