函數知識引領與題型點擊

孟憲玲

一、以三次函數為主線的問題

三次函數交匯了不等式、方程、解析幾何等眾多知識點，以它為載體的試題背景新穎、獨特，選拔功能強。由于三次函數的導數為二次函數，因此以導數為工具，可用二次函數知識對三次函數的形態進行研究。

例1：已知f(x)=x3+ax2+bx+c在與x=1時都取得極值。

1.求a，b的值；

2.若對x∈[-1，2]，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范圍。

思路分析：因為函數在與x=1時都取得極值，所以其導數值為0，可求得

因f(2)=2+c＞。

所以當x∈[-1，2]，f(x)的最大值為f(2)=2+c。

因為x∈[-1，2]，f(x)＜c2恒成立，

所以c2＞2+c，c＜-1，或者c＞2故c的取值范圍為(-∞，-1)∪(2，+∞)。

友情提醒：

(1)考查三次函數的單調性、極值與最值等問題，要通過對三次函數的求導，可將“三次”變為“二次”，于是轉化為考查熟悉的二次函數、二次方程及相關問題。

(2)對于恒成立問題，例如x∈[-1，2]，f(x)＜c2恒成立，總有：

x∈[-1，2]，f(x)的最大值＜c2，因而問題轉化為求x∈[-1，2]，f(x)的最大值。

例2：求過點P(0，0)且與曲線相切的切線方程。

思路分析：因為點P(0，0)在曲線上，它可以是切點，也可能不是切點。當點P(0，0)是切點時，由k=f′(0)=4，求得切線方程為y=4x，當點P(0，0)不是切點時，另設切點Q(x0，y0)，(x0≠0)，則以Q為切點的切線的斜率為k1=-2x0+2x0+4，又，解得，得切線方程為。故過點P（0，0）且與曲線相切的切線方程有兩條，其方程為y=4x和此時，一個切點是P(0，0)，另一個切點是

友情提醒：

1.求過一點P(x0，y0)的曲線y=f(x)的切線方程與求過曲線y=f(x)上一點P(x0，y0)的切線方程，雖然是同一類問題，但有所不同。前者曲線的切線其切點可以是P(x0，y0)，也可以是曲線上其余的點；切線可以存在，也可不存在。若存在，切線可以不唯一。而后者一般情況下，點P(x0，y0)是曲線的切點，以P(x0，y0)為切點的切線是唯一存在的。

2.曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點，當曲線是二次曲線時，直線和曲線相切，有且只有一個公共點。這種觀點對一般的曲線不一定正確，上例正說明了這一點。

拓展引申：(1)已知拋物線C1∶y=x2+2x和拋物線C2∶y=-x2+a，當a取什么值時，C1，C2有且僅有一條公切線？寫出公切線l的方程。

解析：設公切線L切于C1于點P1(x1，y1)，切C2于點P2(x2，y2)，則L的方程有兩種表達方式①②分別是

所以P1，P2重合，故當時，C1，C2有且僅有一條公切線，其方程為。

(2)已知函數①若函數f(x)=x3-x2+bx+c的圖像有與x軸平行的切線，求b的取值范圍；②若f(x)在x=1時取得極值，且x∈[-1，2]時，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范圍；

解析：①f′(x)=3x2-x+b，設切點P(x0，y0)，則f(x)在點P的切線的斜率k=f′(0)=3x0-x0+b，由題意，k=f′(0)=3x0-x0+b=0有解，故有Δ=1-12b≥0，∴b≤12。

②因為f(x)在x=1時取得極值，所以x=1為方程f ′(x)=3x2-x+b=0的一個根，

∴b=-2由3x2-x-2=0可得f′(x)=0的另一個根當x＜或x＞1，f′(x)＞0，

所以當x∈[-1，2]，時，f(x)在上是增函數，

所以f(x)有極大值

所以當x∈[-1，2]時f(x)有最大值f(2)=2+c，

因為f(x)＜c2恒成立，

∴2+c＜c2恒成立，c＜-1或c＞2。

反思：本題第(1)題利用了導數的幾何意義將問題轉化為二次方程有解問題。第(2)題為恒成立問題，實質是求函數f(x)在區間[-1，2]上的最大值。

二、以抽象函數為主線的問題

這里所謂的抽象函數，是指只給出函數的一些性質，而未給出函數解析式的一類函數。抽象函數一般以中學階段所學的基本函數為背景，且構思新穎、條件隱蔽、技巧性強、解法靈活。因此抽象函數在近幾年的各種考試中，成為考查的重點。

例3：定義在(-1，1)上的函數f(x)滿足：

(1)對任意的x，y∈(-1，1)，都有

(2)當x∈(-1，0)，時，有f(x)＞0，

思路分析：先賦值判斷奇偶性，令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(x)+f(-x)=0，所以f(x)是奇函數。再利用定義證明f(x)在x∈(-1，0)時是減函數，則在x∈(0，1)上仍然是減函數，且f(x)＜0。最后將裂項為，于是。

友情提醒：

(1)本題先確定函數的奇偶性和單調性，利用裂項求和進行化簡，再根據條件用放縮法證明不等式；在解題過程中，利用題設充分挖掘隱含條件，開拓解題思路，使問題得到解決。

(2)解決抽象函數問題的關鍵是挖掘函數的特征，考慮特殊值的代入、類比、推理等方法，或脫去抽象函數中的記號f，化為具體函數解決。

拓展引申：

1.設a是常數，函數f(x)對一切x∈R都滿足f(a-x)=-f(a+x)。

求證：函數f(x)的圖像關于點(a，0)成中心對稱圖形。

解析：證明一個函數圖像的對稱性問題，只需在此函數圖像上任取一點P，證明它的對稱點Q也在其圖像上。

證明：∵f(a-x)=-f(a+x)對一切x∈R都成立，

∴f(x)=f[a-(a-x)]=-f[a+(a-x)]=-f(2a-x)]，所以在f(x)的圖像上任取一點(x0，y0)，則其關于(a，0)的對稱點(2a-x0，-y0)也在其圖像上，所以函數f(x)的圖像關于點(a，0)成中心對稱圖形。

2.已知函數f(x)對于一切實數x滿足f(x)=f(12-x)，若方程f(x)=0有n個不同的實數根，這n個實數根的和是48，求n的值。

解析：由方程根的意義及等式f(x)=f(12-x)的意義知，方程的根是成對出現的，且成對兩根之和是12。

由方程f(x)=f(12-x)知，如果x0是方程的根，那么12-x0也是方程的根，且x0≠12-x0，x0+(12-x0)=12，由48=12×4，可知方程f(x)=0有四對不同的實數根，即方程f(x)=0有8個不同的實根。所以n=8。

三、以向量知識為背景的函數問題

向量由于具有幾何形式和代數形式的雙重身份，能容數形于一體，因此以向量的相關知識為載體，以數形轉化思想方法為主線的函數問題，其設計創新力度較大、綜合性較強，已成為近年高考的新熱點。

例4：(2005年湖北高考題)已知向量若函數在區間(-1，1)上是增函數，求t的取值范圍。

思路分析：

先求出f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t，則f′(x)=-3x2+2x+t，因為函數f(x)在區間(-1，1)上是增函數，則在(-1，1)上f′(x)≥0，則t≥3x2-2x在區間(-1，1)上恒成立。

考慮函數g(x)=3x2-2x在(-1，1)的取值范圍，有g(x)＜g(-1)，于是t≥g(-1)=5。

當t≥5時，函數f(x)在區間(-1，1)上滿足f′(x)＞0，即函數f(x)在區間(-1，1)上是增函數，故t≥5。

友情提醒：

1.本題考查平面向量數量積的計算方法，利用導數研究函數的單調性，并運用函數性質分析和解決問題。

2.研究近幾年高考試題，發現平面向量與函數知識交匯融合的創新潛力較大，已漸成高考的熱點。

拓展引申：

(1)求函數關系式s=f(t)；

(2)若函數s=f(t)在[1，+∞）上是單調函數，求k的取值范圍。

(2)f′(t)=2t2-k，∵f(t)在[1，+∞)上是單調函數，所以在[1，+∞)上有f′(t)≥0，或f′(t)≤0。由f′(t)≥0，可得，k≤3t2，∴k≤(3t2)min，k≤3。由f ′(t)≤0可得k≥3t2，而y=3t2在[1，+∞)上是增函數，沒有最大值。此時，不存在k使k≥3t2在[1，+∞)上恒成立。故k的取值范圍是k≥3。

四、信息遷移中的函數問題

數學信息題一般取材較新，多以社會熱點或最新科技動態為背景，具有濃郁的時代特征和生活氣息。在題目中給出的是新情景、新結構、新概念、新函數、新運算等信息，要求學生在考試時完成現場學習，在短時間內從大量的信息中捕捉相關信息，通過分析、歸納，探索有關規律，應用聯想、猜想、演繹、類比、遷移等方法將它與已有的知識結合起來，把所學的知識遷移到新的情景中，去做進一步推理、運算、證明，才能獲得解決。

例5：設y=f(x)是定義在R上的偶函數，又是最小正周期為π的周期函數，而且f(x)在(0，)上是增函數，試寫出函數f(x)的解析式。

思路分析：

這是結論開放型信息遷移題，由于f(x)是周期函數，故容易想到從三角函數入手進行探究。

友情提醒：

1.此類問題讀懂題意是關鍵的一步。搞清題意才能確定探索方向，尋找合理的解題途徑。

2.我們常見的是已知f(x)的解析式來分析f(x)，即使是求解析式也往往是已知圖像或者函數的一部分解析式，這樣的解答結果是唯一確定的；而本問題卻是反其道而行之，給出函數奇偶性、單調性和周期性性質，反過來寫出符合條件的函數，將信息逆向遷移，具有開放性。