如何將數學思想方法明細化

王燕

[摘要]心理學家杰羅姆·布魯納曾經提出一個觀點，如果學生掌握了最基本的數學思想方法，那么數學知識學起來將不再那么艱澀，晦澀難懂的抽象數學概念理解起來也更簡單，記憶也會更深刻，一旦記住便經久難忘。因此，領會基本數學思想方法是實現知識遷移的先決條件，有了正確的數學思想作指導，遷移起來就能舉一反三、觸類旁通，使學生終生受用無窮。

[關鍵詞]植樹問題;化繁為簡;數學思想方法;可視化;操作

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0040-02

課程標準指出：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”在數學教學中，將數學思想方法的滲透與應用作為衡量教學質量的一項重要指標，已成為數學教學評價的不成文規定。

一、初識化繁為簡的思想方法

“植樹問題”是一個經典數學策略問題，被編排在人教版教材五年級上冊的“數學廣角”。課本第106頁出示例題：“同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”教材示范解答時，先讓學生嘗試畫線段圖，但100米距離太長，間隔太多，畫圖操作很麻煩，可以考慮降低難度，先進行多次小數據重復試驗，探尋出規律——栽的棵數比間隔數多1，再推廣應用到100米的情況。這個過程運用了轉化的思想方法，將復雜的知識點化難為易，同時也暗含了不完全歸納法。教學時，教師要將這兩種思想方法明確地告知學生，讓學生認清自己在不自覺中運用了哪些思想方法，從而變潛意識為自主意志。

例如，研究栽行道樹問題中兩端都栽的情況，深入感受化繁為簡的數學思想方法。

例1：市政部門綠化隊要在全長1000米的城市主干道一邊栽行道樹，每隔10米栽一棵。一共需要準備多少棵行道樹？（如圖1）

師：請你們幫市政部門預算所需樹苗的數量。

（學生獨立解題，發現了多種預算方案）

師：誰能說說自己的預算方案？

師：能不能用更通俗易懂的方法來解釋你的預算方案的設計原理？

師：擺一擺、畫一畫都不失為推演問題的好辦法。那應該根據哪個數據去擺、去畫呢？

生1：應該先選取一組較小的數據來展開研究。

生2：多選幾組數據，看看栽的棵數與間隔數存在什么對應關系，總結出規律后，問題就迎刃而解了。

（小組討論）

師：哪個小組來陳述一下自己的預算方案？

師：第一小組采用的是擺一擺的方法，你贊同他們的方案嗎？

師：有沒有選用的數據比第一組還小，也研究出了相同的結果的？想一想，為什么間隔數要加17

師：誰可以說一說這個預算方案的設計原理？

師：回顧剛才解決問題的總體思路，我們大致經歷了一個怎樣的過程？

師：同學們，把復雜的問題簡單化，從較小的數據著手進行試驗，用擺一擺、畫一畫的方法來揭示數量關系和邏輯關聯，再應用這種規律和法則去解決復雜的問題，這些就是知識以外的寶貴東西——數學思想方法。

【反思】“數學廣角”作為人教版教材的一大特色單元，其設立的初衷和宗旨就是向學生傳遞一些重要的數學思想方法，把抽象的數學思想方法巧妙地埋設在學生感興趣的、容易接受的實際問題中，學生通過試驗、觀察、分析、邏輯推理等數學活動慢慢吸收，在活動中感悟，思維能力和思想觀念齊步前進，解決問題的決策部署能力逐步形成。教學設計中，教師把數學思想方法由暗轉明，在學生經歷了解決問題的思維訓練，對其中蘊藏的思想方法懵懵懂懂時，正面、開誠布公地點明和介紹化繁為簡的數學思想方法，鼓勵學生將這一思想方法內化吸收，作為自己的思想法寶。

二、對比循環印證思想方法

人教版教材在第107頁展示了兩端都不栽的情況，在第108頁展示了封閉路線栽樹的情況（實際上就是一端栽一端不栽）。其實，在學生具備了化繁為簡的自主意識后，這兩種情況可以合并成一個課時來講授，而且例題中不要明確標注“兩端都栽”“兩端都不栽”“一端栽一端不栽”字樣，而讓學生根據問題情境自己判斷。例如，出示例1的兩種變式例2、例3，引導學生將解決例1時學到的轉化思想進行遷移——從簡單的數據開始試驗，總結規律。最后學生對比發現兩端栽樹的情況不同，導致間隔數與植樹棵數之間出現“加1”“減1”“不加不減”的區別。

例2：同學們要到烈士陵園參加植樹活動，在英雄紀念碑前1000米的便道一邊栽行道樹，每隔10米栽一棵。一共需要準備多少棵行道樹？（如圖2）

例3：縣環保局的職工要在護城河沿岸植樹，在自來水廠和釣魚賓館之間1000米的河岸線上栽梧桐樹，每隔10米栽一棵。一共需要購買多少棵梧桐樹？（如圖3）

師：嘗試解答以上兩道例題，并說出你的解題策略。

師：例2中，同學們一共需要準備多少棵行道樹？你們解決這個問題的總體思路是什么？

（學生展示）

師：大家贊同他們的設計思路嗎？還有什么補充或困惑嗎？

生1：這個時候間隔數為什么不加1？

師：例3中，環保局一共需要準備多少棵梧桐樹？解決這個問題時，你們是怎樣決策部署的？

（學生展示）

師：大家贊同他們的設計思路嗎？還有什么補充或困惑嗎？

生2：這個時候間隔數為什么要減1？

【反思】學生在初次接觸化繁為簡的思想方法后，教師尋找問題變式，創設新情境，由原來的兩端都栽變為一端栽一端不栽，或兩端都不栽，條件一變再變，細節一改再改，但始終都是植樹問題的實際情境。“同學們一共需要準備多少棵行道樹？”“環保局一共需要準備多少棵梧桐樹？”等問題，帶領學生經歷在實際生活中發現問題、試圖解決問題、尋找理論支撐來解釋問題，并且做出有力的論證，進而再次經歷運用獲得的思想方法解決新問題的過程。學生一直沿著發現問題、明確問題、提出假設、操作驗證的軌跡循環，深刻地感受到化繁為簡的思想方法可以指導實踐，并且非常有效。

三、將數學思想方法可操作化處理

1.討論：大家合力解決了三個植樹問題，為我們的城市綠化建設和環保事業作出貢獻，真了不起！回顧一下，在經歷解決問題的過程中，你有什么意外的收獲要分享嗎？

2.總結：我們發現了在一條路線上栽樹，要細分為三種情況來展開討論，不同的情況對應的方法也不同，而且學會了把復雜問題簡單化處理，歸納出通用的規律，并利用這個規律去解決復雜問題。但如果時間久了，我們遺忘了這個“加1”還是“減1”的規則，該如何是好？（現場擺、畫）這就是同學們學到的新方法。

【反思】學生前后經歷了三次解決同一類型的實際問題的詳細過程，在獲得數學知識以及必要的解題技巧的同時，學生對貫穿始終的數學思想方法有了更深切的體會，甚至產生一定程度的依賴。離開了數學思想方法，學生無法在復雜多變的問題情境中保持清醒的頭腦，也無法作出正確的決策。至此，學生對數學思想方法的認識從一個模糊的、下意識的狀態升華為一個自覺自主的狀態，并清楚自己應該用什么數學思想方法來解決這類問題。在化繁為簡的指導思想下，學生明白不需要死記硬背公式，因為植樹問題里間隔數和棵數之間只存在“加1”“減1”和“不加不減”三種情況，所以當遺忘公式時，可以通過簡單的數據即時推出公式。這是一個重大收獲，是化繁為簡的數學思想方法的可操作化的體現。教師引導學生回顧研究過程，總結所得，既做到對知識與技能的梳理，又是對數學思想方法的變現。

知識與技能是數學學習的基本功，而數學思想方法則是指導性的數學觀念。數學思想方法是蘊含在數學知識產生和發展全過程的核心素養，一方面，教師要有意識地在引學、導學的過程中讓學生去感觸和體會;另一方面，教師也可以借助學習素材，將數學思想方法徹底展露出來，幫助學生進行二次理解，從而提升學生的數學素養。

（責編 李琪琦）