論導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

得清王么

摘要：縱觀近幾年全國各省的高考試題，用導(dǎo)數(shù)證明不等式依然是考試的熱點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)。本文以近年來高考相關(guān)題型為例，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值，進(jìn)而解決不等式問題。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);高考;不等式;應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，是歷年數(shù)學(xué)高考的考查重點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)作為選修課進(jìn)入新課程，為研究函數(shù)提供了有力的工具，也為解決函數(shù)問題提供了更為廣闊的空間。代數(shù)以函數(shù)為主干，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的結(jié)合是熱點(diǎn)。從另一個(gè)角度看那就是近年來，在高考試題中，存在一個(gè)整體趨勢那就是：不等式的證明往往與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等的內(nèi)容綜合起來出題。屬于在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現(xiàn)對理性思維的考查，特別是利用高中新增內(nèi)容的導(dǎo)數(shù)來證明不等式，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點(diǎn)。

在國內(nèi)外，導(dǎo)數(shù)的引入是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一次革命性實(shí)踐，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式能夠體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的靈活性。不等式的證明由于題目較為抽象，證明方法繁多，一直都是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，掌握導(dǎo)數(shù)在不等式中的證明方法和技巧對學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有著很大的幫助。本文將通過一些高考實(shí)例，來說明利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法。

1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

在證明不等式時(shí)，我們可以根據(jù)不等式的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造一個(gè)函數(shù)，首先用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，然后再用函數(shù)的單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的，也就是把不等式的證明轉(zhuǎn)化為了證明函數(shù)的單調(diào)性。

函數(shù)的單調(diào)性問題包括確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明不等式、確定方程根的個(gè)數(shù)和證明某些命題。其中對方法和技巧要求較高的是證明不等式，證明不等式的關(guān)鍵是要引入一個(gè)函數(shù)。引入函數(shù)的方法有多種，最簡單的是將不等式的一邊移到另一邊構(gòu)成輔助函數(shù)，較復(fù)雜的則需根據(jù)對不等式特征的觀察加以確定，因而有一定的技巧，需要通過大量做題、多加練習(xí)才能掌握。

2.利用函數(shù)圖形的凹凸性進(jìn)行證明

雖然函數(shù)的凹凸性在高中數(shù)學(xué)中不做要求，但它經(jīng)常在考試中作為新定義型的題目出現(xiàn)，下面利用這種方法證明不等式，相信這種方法可以讓大家做此類題時(shí)減少很多運(yùn)算，節(jié)省很多寶貴的時(shí)間。

所以 ，原等式成立。

函數(shù)的凹凸性在不等式的研究中很重要，而不等式的證明最終歸結(jié)為研究函數(shù)的特性，所以研究函數(shù)的凹凸性就顯得十分重要，我們可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的凹凸性來證明不等式。

從以上幾例可以看出，導(dǎo)數(shù)不僅是證明不等式的重要思想方法，也是判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極值、最值等的重要思想方法。它在解決數(shù)學(xué)有關(guān)問題中起到工具的作用。 尤其在高考中這一解題思路是非常重要的，可以為考試節(jié)省很多寶貴的時(shí)間。隨著課程改革的不斷深入，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用必定會(huì)越來越廣泛，將會(huì)在社會(huì)的各個(gè)方面都會(huì)利用到，這就需要我們加強(qiáng)對導(dǎo)數(shù)的利用，讓學(xué)生深刻體會(huì)到導(dǎo)數(shù)在解決不等式證明方面的應(yīng)用性、靈活性、工具性。

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室? 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》 （選修2—2）， 人民教育出版社? 2007

[2]尚肖飛，賈計(jì)榮? 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的若干方法[J]，太原教育學(xué)報(bào)，2002

[3]朱家俊? 導(dǎo)數(shù)知識在不等式證明中的應(yīng)用[J]，鎮(zhèn)江高專學(xué)報(bào)，2008

[4]周曉農(nóng)? 導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J]，金筑大學(xué)學(xué)報(bào)，2000

[5]2007—2019全國數(shù)學(xué)高考真題，學(xué)科網(wǎng)