深化建模教學 凸顯模型價值

費云杰

[摘 要]模型思想是三個數(shù)學基本思想之一，在數(shù)學思想方法中有著非常重要的地位。立足課堂教學，在實踐—反思—再實踐—再反思的基礎(chǔ)上，總結(jié)建模課的共性，提煉出數(shù)學建模課的一般模式。并在此基礎(chǔ)上，提出建模課教學的四個策略，情境創(chuàng)設(shè)、建立關(guān)系、抽象本質(zhì)、辨識應(yīng)用，從而滲透模型思想，幫助學生建立和把握有關(guān)的數(shù)學模型，有利于學生抓住數(shù)學的本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]模型思想;策略;建模

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0031-02

筆者對模型思想（建模能力）的理解是“重視學生的已有經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)建數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程”。本文借助教材單元編排的特點，整理各年級數(shù)學教材，找出小學數(shù)學模型的基本類型，引領(lǐng)學生進行數(shù)學建模學習，培養(yǎng)學生的建模意識和能力。

一、模型思想教學的問題

（一）緣起練習

五年級“簡易方程”單元有如下兩個練習，學生的回答引發(fā)了筆者的困惑和思考。

1.甲、乙兩數(shù)的和是40，甲數(shù)是乙數(shù)的2倍。甲數(shù)是多少？

學生回答：40÷2=20。

2.蘋果有48個，比香蕉數(shù)量的2倍少26個，香蕉有多少個？

學生回答：48-26=22，22÷2=11。

（二）啟發(fā)思考

1.學生能力弱

上面的練習題中，學生沒有使用方程解決，而是用原先學的算式來解答。由此可以看出，學生在學習了用方程解決問題之后，尚未擺脫原先的用算式解答問題的慣性思維，沒有形成建模的意識。可見，模型思想在教學中的滲透不足。

2.教師意識薄弱

很多教師對數(shù)學建模不甚了解，只是單純地教授有關(guān)數(shù)學模型的知識，在課堂教學時沒有充分調(diào)動好學生的學習積極性，也沒有做到選取合適的、能夠激起學生興趣的問題情境。

二、模型思想教學的思考

（一）分析教材，確立教學模式

1.整理建模內(nèi)容

從三至五年級教材中精心選擇建模教學內(nèi)容，可以抽象為數(shù)學模型的課程內(nèi)容如下：

三年級：估算模型、統(tǒng)籌安排問題、“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”模型、周長公式、周長最短模型、同分母分數(shù)計算模型、平均分模型、韋恩圖。

四年級：三線角模型、乘積最大問題、“單價×數(shù)量=總價”模型、“速度×時間=路程”模型、平行與垂直模型、烙餅問題。

五年級：小數(shù)乘法模型、乘積變化問題、稱水問題、估價問題、收費模型、進一去尾問題、方程模型、相遇問題、追擊問題、面積計算模型、堆圓木問題、數(shù)方格問題、植樹問題。

2.深挖建模共性

通過對建模素材的多方位挖掘，筆者發(fā)現(xiàn)可作為建模課程內(nèi)容的素材都有以下四個共同特點：生活化情境、關(guān)系思考、模型建立、應(yīng)用推廣。

3.確立建模框架

根據(jù)研究所得的建模素材的共同特點，我們可以這樣表示小學階段數(shù)學建模的模式：模型準備→模型假設(shè)→模型建立→模型應(yīng)用。

模型準備階段：情境引入，初步感知。關(guān)鍵在于情境設(shè)計生活化。因此，教師要創(chuàng)設(shè)能激發(fā)學生創(chuàng)造意識的各種情境，促使學生產(chǎn)生質(zhì)疑問題、探索求解的學習動機。模型假設(shè)階段：簡化背景，提煉問題。將生活化的語言進行數(shù)學化加工，從而使“生活”上升為“模型”。模型建立階段：引導發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建模型。在建模過程中，為了找到解決問題的途徑，就要在諸多因素中抓住主要因素進行抽象化簡，也就是學生的分析、抽象、綜合、表達能力的體現(xiàn)。模型應(yīng)用階段：運用模型，解決問題。引導學生將實際問題數(shù)學化的基礎(chǔ)上，進一步組織深層探究，求解數(shù)學問題，充分體現(xiàn)了數(shù)學學習是學生用數(shù)學知識解決問題和發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學知識的過程。

（二）調(diào)整策略，經(jīng)歷建模過程

1.精選問題，創(chuàng)設(shè)情境

教師可以創(chuàng)設(shè)游戲情境、生活情境、競賽情境、實驗情境等，以生為本，讓學生自主參與、全身心投入，快樂地參與其中。 情境創(chuàng)設(shè)下，教師恰當預(yù)設(shè)，科學點撥與指導，引導學生找到模型的特征，奠定建模的基礎(chǔ)。

如教學“速度×時間=路程”問題時， 創(chuàng)設(shè)趕火車的情境：現(xiàn)有10名旅客要趕往30千米遠的一個火車站去乘火車，離開車時間只有3小時了，他們步行的速度為每小時3千米，還可以用的交通工具是一輛小汽車，但這輛小汽車連司機在內(nèi)至多只能乘坐5人，汽車的速度為每小時60千米。問：這10名旅客能趕上火車嗎？

又如教學“平行四邊形的面積”問題時， 創(chuàng)設(shè)分地的情境：以前有個地主，他給兩個兒子分地，給大兒子分長方形的地，給小兒子分平行四邊形的地，如右圖所示，你覺得公平嗎？

2.充分感知，建立關(guān)系

建立數(shù)學關(guān)系是建模的起始階段，用數(shù)字、圖表、算式、方程等符號來表示問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，形成模型的基礎(chǔ)框架，便于更深入地思考與建立模型。以上述中“速度×時間=路程”模型為例：

師：這個問題中，每個數(shù)量表示什么？

生1：

師：你能找到這些數(shù)量之間的關(guān)系嗎？

生2：總路程、步行速度可以求出步行時間。

生3：總路程、汽車速度可以求出行駛時間。

生4：總?cè)藬?shù)、一次能載人數(shù)可以求出載幾次。

通過活動，學生分析問題中存在的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘，建立數(shù)學關(guān)系，這就是建模過程。

3.合作探究，抽象本質(zhì)

解決過初級問題后，學生有了初步解決問題的方法，但還沒有形成解決一類問題的模型。這時教師引導學生類比、分析，抽象出問題的特點與解決思路，能培養(yǎng)起學生建模素養(yǎng)。以“烙餅問題”模型為例，當已經(jīng)建立“同時烙”模型后，讓學生合作探究“交替烙”模型。

師：小紅一家3口人，如果媽媽要烙3張餅，怎樣烙才能讓大家盡快吃上餅？我們來幫小紅想想辦法吧。要求：（1）想一想，3張餅怎樣烙最節(jié)省時間;（2）同桌交流，擺一擺，畫一畫;（3）將方案記錄在練習紙上。

生1：我們用了12分鐘。先用同時烙法烙第1、2張餅，再用1張餅的烙法烙第3張餅。

生2：我們用了9分鐘。先烙第1、2張餅的正面，然后烙第1張餅的反面和第3張餅的正面，最后烙第2、3張餅的反面。

生3：按照生2的烙法，每次鍋里都有兩張餅在烙，只需要烙3次，所以節(jié)省了時間。

師：看來要想節(jié)約時間，就必須保證每次鍋里都有2張餅，我們把這種省時的烙法叫作“交替烙”。

師：烙2張餅的最佳方法是“同時烙”，烙3張餅的最佳方法是“交替烙”。

4.回歸生活，辨識應(yīng)用

將數(shù)學模型還原為具體的數(shù)學直觀或可感知的數(shù)學現(xiàn)實，解決相應(yīng)的實際問題并不是數(shù)學模型建構(gòu)的終結(jié)，而是利用建模過程中所采用的策略，對模型進行調(diào)整、修正，或能正確區(qū)分不同模型，從而解決問題。

師：美味餐廳只有2名廚師，餐廳里來了3位客人，每人都點了1個菜，假設(shè)每名廚師炒每個菜的時間為5分鐘，客人等待的總時間最少是多少分鐘？

生1：這個問題與“烙餅問題”類似。2名廚師相當于鍋里最多同時烙2張餅，3位客人相當于3張餅，3個菜相當于餅的正反兩面，炒一個菜的時間相當于烙一面的時間，等待的時間相當于烙餅的時間。

生2：烙餅的最短時間=餅的張數(shù)×每面的時間

等待的總時間=人數(shù) ×炒每個菜的時間

所以等待的總時間=3×5=15（分）。

學生運用新學習到的“烙餅問題”模型，解決關(guān)于炒菜的問題，并遷移延伸到其他情境方面，開拓了思維，發(fā)展了建模素養(yǎng)。

總之，數(shù)學模型的構(gòu)建、模型思想的培養(yǎng)對于學生學習數(shù)學知識，把握數(shù)學本質(zhì)都具有重要教學價值，教師在實際教學中要不斷探索建模教學的有效實施策略，優(yōu)化教學過程，促進教學改革取得實效。

（責編 吳美玲）