思想立意：賦予數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然生長(zhǎng)的力量

朱茵頤 （江蘇張家港市乘航小學(xué)）

課堂是師生生命相遇、成長(zhǎng)的場(chǎng)域。提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的至真追求。教學(xué)中，學(xué)生不僅要獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、習(xí)得數(shù)學(xué)技能，更為重要的是積淀數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、滲透數(shù)學(xué)的思想方法。從根本上說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)核。以“數(shù)學(xué)思想”立意，能賦予學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然生長(zhǎng)的力量。在思想課堂上，學(xué)生能相互信任、接納，能彼此分享、共融，能相互激蕩、建構(gòu)。以思維為準(zhǔn)繩，使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛質(zhì)充分釋放。

一、立意“形式化”思想，發(fā)展學(xué)生“抽象素養(yǎng)”

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，具有統(tǒng)攝性、駕馭性、抽象性、概括性等普適意義的特性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地立意“形式化”思想，引導(dǎo)學(xué)生從具體背景、具體情境中抽象出數(shù)學(xué)的一般規(guī)律、結(jié)構(gòu)。正如荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)：“與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)公理，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)公理化；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)形式，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)形式化”。

如“運(yùn)算律”這一部分的內(nèi)容，是比較抽象的，尤其是用符號(hào)概括運(yùn)算律顯得尤為重要。如何讓學(xué)生把握運(yùn)算律，理解運(yùn)算律？教學(xué)中，一方面教師可以創(chuàng)設(shè)情境，讓運(yùn)算律富有背景、意義；另一方面通過(guò)情境抽象、概括運(yùn)算律，是一個(gè)從“特殊”到“一般”的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程，既需要學(xué)生大膽猜測(cè)，也需要學(xué)生的小心求證。以“乘法分配律”為例，通過(guò)教材中的具體情境：四年級(jí)有6 個(gè)班，五年級(jí)有4 個(gè)班，每個(gè)班領(lǐng)24 根跳繩。四五年級(jí)一共要領(lǐng)多少根跳繩。通過(guò)情境，學(xué)生形成不同的解決問(wèn)題思路，有學(xué)生先算四五年級(jí)一共有多少個(gè)班，再算一共要領(lǐng)多少根跳繩，有學(xué)生先算四年級(jí)、五年級(jí)分別領(lǐng)多少根跳繩，再算四五年級(jí)一共要領(lǐng)多少根跳繩。在不同的問(wèn)題解決中，學(xué)生初步感知到乘法分配律的形式。圍繞計(jì)算結(jié)果相同的兩種不同的列式形式，學(xué)生提出了關(guān)于乘法分配律的數(shù)學(xué)猜想，并通過(guò)自主舉例，驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想。由此，學(xué)生概括一般性的乘法分配律的內(nèi)涵，即兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加。這是一個(gè)從“特殊”到“一般”的過(guò)程。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)進(jìn)行概括，從而建構(gòu)乘法分配律的符號(hào)模型。借助這個(gè)符號(hào)模型，學(xué)生能更好地舉例驗(yàn)證，更好地將乘法分配律放到情境中。

立意“形式化”思想，有助于發(fā)展學(xué)生“抽象素養(yǎng)”。同時(shí)，學(xué)生的抽象素養(yǎng)發(fā)展了，也有利于學(xué)生將實(shí)際情境問(wèn)題進(jìn)行概括，形成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。這種“形式化”的抽象思想，不是一種具體的數(shù)學(xué)思想方法，而是一種具有普遍意義、普適意義的思想，這種思想對(duì)于指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益。

二、立意“轉(zhuǎn)化性”思想，發(fā)展學(xué)生“推理素養(yǎng)”

除了抽象思想具有普適意義外，“轉(zhuǎn)化性”思想也是學(xué)生數(shù)學(xué)思考、探究、學(xué)習(xí)的基本思想。立“轉(zhuǎn)化性”思想，有助于發(fā)展學(xué)生的“推理素養(yǎng)”。因?yàn)椋瑥母旧险f(shuō)，“轉(zhuǎn)化”就是將數(shù)學(xué)的未知轉(zhuǎn)化為已知、將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉、將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程，一定離不開(kāi)學(xué)生的邏輯推理。邏輯推理，分為演繹推理和合情推理。其中，合情推理分為類(lèi)比推理和歸納推理，歸納推理又分為完全歸納推理和不完全歸納推理等。可見(jiàn)，轉(zhuǎn)化性思想與一般性思想是相關(guān)的。形式化思想，強(qiáng)調(diào)抽象；而轉(zhuǎn)化性思想，強(qiáng)調(diào)推理。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，轉(zhuǎn)化性思想貫穿始終，而且是螺旋上升的。在教材中，“轉(zhuǎn)化”有兩種脈絡(luò)：一種是在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”以及“綜合與實(shí)踐”之間的橫向轉(zhuǎn)化；另一種是在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”之內(nèi)的縱向轉(zhuǎn)化。無(wú)論是橫向轉(zhuǎn)化還是縱向轉(zhuǎn)化，都是轉(zhuǎn)化性思想在小學(xué)教材中的凸顯、強(qiáng)化。在教學(xué)中，教師不僅要展開(kāi)內(nèi)容梳理，更要展開(kāi)具體的實(shí)踐。如教學(xué)“圓柱的體積”，筆者通過(guò)原型——“圓的面積”推導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生推導(dǎo)“圓柱的體積”，因?yàn)閳A可以分為若干個(gè)扇形，拼成近似的長(zhǎng)方形，所有圓柱就可以沿著底面分為若干個(gè)“楔子”，拼接成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，從中滲透類(lèi)比思想、極限思想等；有學(xué)生以圓形為底面，將圓形垂直平移，轉(zhuǎn)化成圓柱，從而得出直柱體的體積是底面積乘高，從中滲透無(wú)限累積思想等；有學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方體、正方體的統(tǒng)一公式，類(lèi)比推理出圓柱的體積公式，從中滲透類(lèi)比思想，等等。其中，對(duì)于轉(zhuǎn)化前后的圓柱與長(zhǎng)方體，學(xué)生能展開(kāi)邏輯性較強(qiáng)的推理，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的長(zhǎng)相當(dāng)于圓柱底面周長(zhǎng)的一半、長(zhǎng)方體的寬相當(dāng)于圓柱的底面半徑、長(zhǎng)方體的高相當(dāng)于圓柱的高、長(zhǎng)方體的體積相當(dāng)于圓柱的體積，所以，圓柱的體積是圓柱的底面積乘高。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，無(wú)論是演繹推理還是合情推理（類(lèi)比與歸納），都是對(duì)所學(xué)的未知知識(shí)的一種轉(zhuǎn)化。這種轉(zhuǎn)化，不僅解決了新知的認(rèn)知問(wèn)題，更讓新知與舊知融為一體，構(gòu)建了完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)。正是通過(guò)轉(zhuǎn)化性思想，數(shù)學(xué)知識(shí)建立起了廣泛的關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)的具體的思想方法也建立起廣泛的關(guān)聯(lián)。

借助“轉(zhuǎn)化性思想”，數(shù)學(xué)知識(shí)不再處于散點(diǎn)狀態(tài)，而是構(gòu)成了一個(gè)整體。轉(zhuǎn)化，構(gòu)筑了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)全景的空間，形成了學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)多維的、立體的、全視域狀態(tài)。在這種學(xué)習(xí)狀態(tài)下，學(xué)生能學(xué)得“一生有用的數(shù)學(xué)”。當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)越來(lái)越豐富、越來(lái)越清晰之后，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)越來(lái)越自覺(jué)。

三、立意“變量性思想”，發(fā)展學(xué)生的“建模素養(yǎng)”

在某種意義上，“數(shù)學(xué)就是研究千變?nèi)f化中不變的關(guān)系”。研究數(shù)量的“變”與“不變”，發(fā)展學(xué)生的“變量性思想”，有助于發(fā)展學(xué)生的建模素養(yǎng)。一切的數(shù)學(xué)定理、規(guī)律、法則等都可以看成是一個(gè)“數(shù)學(xué)模型”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助抽象、推理，引導(dǎo)學(xué)生積極建模。什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型就是一種“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的范式，這種“變與不變”的變量性思想，也貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。

如教學(xué)“間隔排列”，筆者出示了多種多樣的素材（變），比如“手帕與夾子”，“兔子與蘑菇”，“木樁與籬笆”等。學(xué)生通過(guò)不同情境中對(duì)不同素材的觀察，能夠直觀地發(fā)現(xiàn)這些素材的共同點(diǎn)（不變），即都是“一個(gè)物體間隔一個(gè)物體排列的”“兩端物體都是相同的”“兩端的物體都比中間的物體多一個(gè)”“中間的物體都比兩端的物體少一個(gè)”，等等。這種對(duì)多元素材進(jìn)行去粗取精、去偽存真的表征，能讓學(xué)生舍棄素材的非本質(zhì)屬性（變化屬性），而聚焦于素材的本質(zhì)屬性（不變屬性）。由此，學(xué)生嘗試用符號(hào)字母來(lái)進(jìn)行抽象、概括，形成了“ABA……A”的符號(hào)模型。當(dāng)然，對(duì)于這種模型的認(rèn)知，學(xué)生還是比較膚淺的，他們“知其然”，卻“不知其所以然”。教學(xué)中，筆者追問(wèn)學(xué)生：為什么當(dāng)兩端物體相同時(shí)，兩端物體比中間物體多一個(gè)？為什么當(dāng)兩端物體不同時(shí)，兩種物體的個(gè)數(shù)相等？通過(guò)學(xué)生的深度思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，間隔排列的物體是以兩個(gè)物體為一個(gè)周期的，當(dāng)兩端物體不同時(shí)，這些物體就是完整周期；當(dāng)兩端物體相同時(shí)，這些物體就不是完整周期。教學(xué)中，筆者不斷“破模”，不僅通過(guò)“兩端相同”“兩端不同”，而且通過(guò)“封閉圖形”“不封閉圖形”，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，讓學(xué)生建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型。

“變量性”思想應(yīng)當(dāng)貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。通過(guò)“變與不變”，讓學(xué)生明辨數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，舍棄非本質(zhì)屬性，也就是讓學(xué)生能科學(xué)鑒別，從而通過(guò)非本質(zhì)的素材建構(gòu)本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生比較，因?yàn)椤坝斜容^才有鑒別”。立意于“變量性思想”，能有效地發(fā)展學(xué)生的“建模素養(yǎng)”。

以數(shù)學(xué)思想立意，能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。著名數(shù)學(xué)教育家張?zhí)煨⒄J(rèn)為，“數(shù)學(xué)思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的主要標(biāo)志”。以“形式化思想”“轉(zhuǎn)化性思想”“變量性思想”為指引，能讓學(xué)生展開(kāi)積極的抽象、推理和建模。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師立“數(shù)學(xué)思想”，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)必然能養(yǎng)成，當(dāng)然，這是一個(gè)長(zhǎng)期的、潛移默化的過(guò)程。