范德瓦爾登定理等比數列的推廣

李安

摘 要：“六人集會問題”將拉塞姆定理帶入眾人的視線。拉姆塞定理的內容為：對于任意的正整數P、Q大于等于2，總存在正整數N0，使得任意一個至少有N0個點的圖G中或者含有P個兩兩有邊相連的點，或有含有Q個兩兩都無邊相連的點，針對上述拉塞姆定理的內容，數學家們提出了很多其他理論。其中較為突出的是舒爾定理和范德瓦爾登定理。范德瓦爾登定理內容為對任意給定的L，K屬于N，存在W屬于N，使得把{1，…，W}任意拆成K個部分后，其中必有一部分含有L項等差數列。通過參考舒爾定理有限形式的乘法形式的推廣過程，即利用指數函數包裝等差數列的方法，范德瓦爾登定理也可以進行等比數列的推廣，最終得出結論：對于任意正整數L，K，可以找到一個對應的N，使得對任意C：{1，2，3…，N}→K，都可以找到一個公比不為1，項數為L的等比數列。該結論使拉塞姆定理的推廣內容更加完善，以及為進一步的推廣提供了思路和方法。

關鍵詞：拉姆塞定理;舒爾定理;范德瓦爾登定理;等比數列

中圖分類號：TB ? ? 文獻標識碼：A ? ? ?doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.05.101

1 拉姆塞理論

“任意367個人中，一定有二人生日相同”，類似這樣的結論，只要稍加思考，便會點頭稱是。我們把總結這類問題的原理稱為“抽屜原理”，又稱“鴿籠原理”。“抽屜原理”更概括的說法是：把多于K·N個東西任意分放進N個空抽屜，那么一定有一個抽屜中放進了至少K+1個東西。

通過“抽屜原理”我們可以了解到拉姆塞定理的遠祖，而拉姆塞定理最簡單又不平凡的特例卻是“六人集會問題”：在任意六個人的集會上，或者有三個人以前彼此認識，或者有三個人以前彼此不認識。這個問題簡單標準的證明是：在平面上任意做出A、B、C、D、E、F六個點代表六個不同的人，若其中兩人認識則用紅線將這兩人代表的點連接起來，反之則用藍線連接起來。那么原來問題的證明等價于證明連線后存在紅邊三角形或藍邊三角形。觀察其中某一點，設為F，從F連出五條邊，易知，其中必有三條同色。不防設FA、FB、FC是紅邊，若AB是一條紅邊，則FAB是紅邊三角形;若AB是一條藍邊，則ABC是藍邊三角形（如圖1所示），證畢。通過“六人集會問題”的簡單證明，可以引出更為科學的定理—拉姆塞定理。

下面我們介紹經典的拉姆塞定理，首先我們需要了解完全圖的概念。一個圖G由兩部分組成，分別是點集V和邊集E，故可寫成G=（V，E）。而一個圖G如果滿足點集中的任意兩點都連邊，則稱G為完全圖，另外，若V中有n個點，則稱G為Kn完全圖2。