追根溯源，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

陳云妮

一、引言

對數(shù)是高中數(shù)學(xué)必修1（人教A版·2019年）中第四章第三節(jié)的內(nèi)容，其概念及運(yùn)算是后續(xù)學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)。對數(shù)函數(shù)作為高中函數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到最抽象的函數(shù)模型。追其原因，是在對數(shù)概念學(xué)習(xí)之初，教師沒有對對數(shù)因何而來，來之為何做較為形象的引導(dǎo)。而是純理論式的講授，這無形中將對數(shù)束之高閣，給予學(xué)生刻板的抽象印象。加強(qiáng)對數(shù)概念的理解是學(xué)生掌握對數(shù)函數(shù)的第一步，也是最為關(guān)鍵的一步。因此，關(guān)注對數(shù)概念形成背景和發(fā)展歷程是教師提高對數(shù)函數(shù)教學(xué)效果的可行之舉。

二、基于“追根溯源”式的教學(xué)設(shè)計(jì)片段

1.創(chuàng)設(shè)情境

問題1：大家學(xué)習(xí)歷史對文藝復(fù)興時期了解多少？這個時期有什么特征？

教師設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)學(xué)生對文藝復(fù)興時期的社會背景進(jìn)行簡單的交流后，給予學(xué)生肯定并由此引入小故事：

文藝復(fù)興時期，人們的思想意識上的覺醒，天文學(xué)、航海、工程等快速發(fā)展。當(dāng)時哥白尼“太陽中心說”開始風(fēng)靡，人們對于天文學(xué)的關(guān)注越加活躍。但是那個年代沒有計(jì)算機(jī)，數(shù)學(xué)也沒有像現(xiàn)在一般發(fā)展，人們對于計(jì)算多位數(shù)之間的乘積還處在十分繁雜的階段。

俗話說天文數(shù)字，如：計(jì)算北極星與地球的距離（單位：米） ?（光速） （一年的總秒數(shù)） ，太陽光到地球需要的時間 ?（地日距離） 等等，天文學(xué)的研究不可避免的會遇上大量精密又龐大的天文數(shù)值的計(jì)算，以致于天文學(xué)家不得不將大量寶貴的時間和精力花費(fèi)在純數(shù)學(xué)的計(jì)算上，而不是天體的研究上，這也大大的限制了天文學(xué)的發(fā)展。所以，尋求簡化計(jì)算的方法是當(dāng)時天文學(xué)家急需解決的問題。當(dāng)時，正好有一位天文學(xué)愛好者納皮爾，他通過20年的研究發(fā)現(xiàn)了一種可將乘除計(jì)算化為加減的方法，這一方法的發(fā)現(xiàn)引起了社會的沸騰，大大的節(jié)省了天文學(xué)家研究中的勞力，也加快了天文學(xué)的發(fā)展，此后不久天文家就發(fā)現(xiàn)了海王星、確定哈雷彗星及其回歸的時間。這種巧妙的方法便是今天我們要學(xué)習(xí)的對數(shù)。何為對數(shù)呢？我們一下思考下列問題：

問題2：由指數(shù)冪運(yùn)算可知 那么 呢？又該如何表示呢？

2.概念的形成

一般地，如果 ，那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù)，記作： ，其中 叫做對數(shù)的底數(shù)， 叫做真數(shù)。

問題3：那么如何理解對數(shù)這一個概念呢？

一方面從求解方程的角度出發(fā)，例如方程： ，為了求解方程中的未知數(shù) ，數(shù)學(xué)中規(guī)定了除法，并用分?jǐn)?shù)符號去表示，即 。類似的，對數(shù)即是為了求解如 這一類方程中指數(shù) 的問題，類比求解 方程的過程，數(shù)學(xué)家們需要規(guī)定出一種新的運(yùn)算，并用新的符號去表示，即 。因此，對數(shù) 不僅是一種運(yùn)算符號，表示求解方程 的一種運(yùn)算，如 ;同時它也表示一個具體的數(shù)，如 。另一方面，從運(yùn)算的角度出發(fā)，求解方程 可以表示為 ，這體現(xiàn)了乘法與除法為互逆運(yùn)算;類似的，指數(shù)式方程 的求解表示為 ，同樣也突出冪運(yùn)算的逆運(yùn)算為對數(shù)運(yùn)算。這也體現(xiàn)了指數(shù)式與對數(shù)式之間有一種特別的關(guān)系，它們究竟有什么關(guān)系呢？后續(xù)學(xué)習(xí)，我們再一起探究。

那么，當(dāng)時的納皮爾是如何用對數(shù)將乘除化為加減運(yùn)算的呢？下面我們一起來體驗(yàn)。

3.探究體驗(yàn)

當(dāng)時由于常量數(shù)學(xué)的局限性，數(shù)學(xué)家們會優(yōu)先制作真數(shù)與對數(shù)的對應(yīng)表如下表：

為什么數(shù)學(xué)家們這樣制作真數(shù)與對數(shù)的對應(yīng)表呢？這是由于常量數(shù)學(xué)的局限性，數(shù)學(xué)家也不例外，可見思維定勢在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中常會成為阻礙因素，同學(xué)們要敢于突破定勢呀！

欲求 ，納皮爾先查表找出32和128所對應(yīng)的指數(shù)為5和7，而后求 ，最后從表格中讀出12所對應(yīng)的冪為4096，即有： 原本想求 的乘積，竟可以巧妙的轉(zhuǎn)化為求5+7的值，并通過查表得到結(jié)果，將當(dāng)時大家認(rèn)為繁雜的乘積運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為了簡單的加法運(yùn)算。這便是對數(shù)運(yùn)算的精華所在，也是對數(shù)作為一種計(jì)算方法具有的優(yōu)越性。那么，這個過程中的5和7究竟有何意義呢？細(xì)心的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)：5和7實(shí)質(zhì)上分別是 兩個式子中 的值，即 。32和128即是我們“真正要計(jì)算的數(shù)”，但是卻通過5和7的加法運(yùn)算而求得，因此在對數(shù) 中，32和128稱之為“真數(shù)”，這便是在對數(shù)定義中 ，為何將 稱為“真數(shù)”原因。在計(jì)算機(jī)成為常規(guī)工具、數(shù)學(xué)獲得空前發(fā)展的今天，我們可不再依賴查對數(shù)表求對數(shù)，一般的計(jì)算器都有求對數(shù)的功能，請同學(xué)們回家探索一下用計(jì)算器求對數(shù)的方法。

那我們該如何運(yùn)用對數(shù)進(jìn)行計(jì)算呢？

三、分析與總結(jié)

上述是基于“追根溯源”式對數(shù)概念的引入教學(xué)設(shè)計(jì)片段展示，將對數(shù)形成的背景和發(fā)展過程以小故事的形式融入課堂教學(xué)中，一方面不僅可以增加課堂的趣味性、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，而且還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展源于社會進(jìn)步的需要，最終回歸到實(shí)際中，服務(wù)于人們的生產(chǎn)生活，展示了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性，有利于幫助學(xué)生突破新概念抽象的壁壘;另一方面，新概念產(chǎn)生之初，最先形成發(fā)展的部分，即是最精華的部分，也是人們學(xué)習(xí)過程中需要突破的要點(diǎn)之一。追溯新概念形成的根源，宛如賞析詩歌一般，如若只是單純的插入式的翻譯解析，不交待它的時代背景和詩人當(dāng)時的處境，是無法領(lǐng)悟到詩詞中蘊(yùn)涵的情懷和真諦。數(shù)學(xué)新概念的學(xué)習(xí)亦是如此，追溯它的根源，增強(qiáng)學(xué)生對新知識來源的了解，有利于學(xué)生更加準(zhǔn)確的把握概念。此外，在新概念的學(xué)習(xí)中，作為教師的我們需要有更廣的視野，我們可以追尋數(shù)學(xué)發(fā)展中其他具有類似邏輯關(guān)系并且熟悉的概念的發(fā)展史，從已知出發(fā)更好的幫助學(xué)生把握新概念的本質(zhì)。

本文系天津市教學(xué)成果獎重點(diǎn)培育項(xiàng)目（項(xiàng)目類別高等教育）“課程思政視域下的‘中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)課程教學(xué)改革實(shí)踐”研究的過程性成果，項(xiàng)目批準(zhǔn)號：PYGJ-013。