代數學發展史概述

李扶蘇

摘要：隨著社會科技的不斷進步發展，數學作為基礎學科逐漸被越來越多的人重視和關注。在數學學科中，代數學作為研究“數”的學科，與我們平時的生活工作息息相關，有著舉足輕重的地位。本文將對代數學發展史進行簡要介紹，旨在幫助讀者了解代數學的歷史發展過程。

關鍵詞：代數學;線性代數;行列式;矩陣;抽象代數

1 引言

如今，世界科技水平飛速提高。數學作為所有理工科的基礎學科，其重要性不言而喻。而代數學（algebra）因其以“數”為研究對象成為了數學的核心之一，是真正意義上的“數”學。“代數”原是研究數量關系、結構與數字方程的數學分支，它的中文名字是由我國清代數學家李善蘭翻譯過來的，意為“以文字符號來代替數字的方法”。它與我們的生活密切相關。小到超市買菜結賬，大到物理化學的理論公式或重大世界難題，都離不開代數學作為理論基礎。若想充分理解其在科技領域中的價值，并將其運用在未來的科技發展之中，不妨縱觀其悠久的歷史，體味代數發展的途徑與規律。

代數學這一模塊主要分為三大部分：初等代數、高等代數和抽象代數。其中抽象代數是最晚形成的，約在十九世紀左右;而初等代數是最古老的，也是最基礎的，它起源于公元前的古希臘;高等代數則是對初等代數的補充和完善，就像愛因斯坦相對論對于牛頓力學的完善一樣，它將特殊規律化為了普遍規律。本文將主要對這三部分的發展史加以概述。

2 初等代數時期的發展

初等代數是數學里非常古老的一個重要分支，它希望通過更普遍的方法來研究數與量之間的關系。初等代數的研究方向是解決簡單的代數式和方程求解問題。

初等代數時期從公元前五、六世紀持續至開始建立高等數學的十六七世紀，約兩千年時間，是數學史上持續時間最長的一個階段。如果還要細分，可以大致分為幾何發展時期（公元前五、六世紀至公元二世紀）和代數優先發展時期（公元二世紀至十七世紀）兩大時期[1]。

不難看出，幾何學的繁榮要早于代數學的發展。對幾何學做出最大貢獻的是古希臘人。初等代數的發展時期正好與希臘的繁榮時間（公元前七世紀至公元六世紀）相吻合。在此期間，歷史記錄了許多偉大的幾何學家，如歐幾里得及其主要研究圖形的面積與體積的著作《幾何原本》，對圓錐曲線有巨大貢獻的阿波羅尼斯等。幾何學在古希臘有了飛速的發展，但是流傳下來的著作并不多。其中包括阿基米德這個臨死前都在研究圓的男人，提出了拋物線和弓形面積的求法，阿波羅尼斯用圓錐曲線的思想定義了圓等等。即使古希臘人的遺產不多，大多也只是研究幾何問題，1000年后，英國的笛卡爾仍然靠著這些資料創立了解析幾何。

隨著希臘數學的終結，歐洲也進入了中世紀，由于宗教和教會的原因，科學發展一度進入了蕭條時期。這時，數學發展的重心從西方轉移到了東方，也就是印度、中國和中亞細亞地區。由于計算的需要，代數學優先發展階段隨之到來。這個時期的數學家們主要忙于研究方程的求根問題和計數方法。印度人引進了負數的概念，并發明了現代計數法。我國的學者也在研究低次方程的解法并取得成功。之后，中亞細亞的學者花剌子模對移項及消項這兩個數學方法進行了闡述和解釋，并發明了“代數（Alegebra）”這個名稱。

到了文藝復興時期，歐洲科學有了復蘇的跡象。這時，歐洲人向阿拉伯人學習，并在十六世紀取得了超越以前的代數學成就。意大利人費拉里和塔爾塔利亞在一般形式上解決了三次方程及四次方程的求根問題。在十七世紀，代數學更是前所未有地飛速發展。年輕的數學家阿貝爾和伽羅華設法解決了五次方程代數解法不存在的結論。歐拉寫了《代數學引論》，將代數定義為關于字母的變換計算以及各種小量計算的理論。1614年英國人發明了對數。而關于以字母符號表示數字，在十六世紀的法國，維耶特最先用“a”和“b”來代替數字，之后由笛卡爾完善。這時，初等代數便向著下一個時期——高等代數邁進了。

3 高等代數時期

隨著時間的推移，在笛卡爾、牛頓、萊布尼茨等卓越的數學家的鉆研推動下，初等代數向著更高的階段發展，高等代數誕生了。高等代數的兩大部分線性代數和多項式代數就是由初等代數的一次方程組和二次及以上的高次方程變形進化而來的。所謂變形進化，就是在初等數學的基礎上引入了新的概念和更加復雜高端的運算方法[2]。

3.1線性代數

眾所周知，一次方程的別名就叫線性方程，而討論線性方程的性質及運算規律的代數就叫線性代數。在線性代數發展中誕生了兩個重要的概念：行列式和矩陣。

3.1.1行列式

行列式{det（A）}是一種速記的表達式，它起源于解線性方程組的需要，行列式并不是一種全新的概念，它只是一種使用便捷的數學計算工具。

行列式的誕生與一名偉大的數學家息息相關，他就是萊布尼茨（Leibniz）。在十七世紀末，萊布尼茨在線性方程組的研究上得到了重大突破。1693年，萊布尼茨運用分離系數法，首次提出了行列式的概念。在此基礎上，萊布尼茨對行列式進行了進一步研究，在18世紀建立了相應的理論體系。50年后，數學家克萊姆提出了用行列式解決線性方程的方法，即后來的克萊姆法則。之后的數學家拉普拉斯對前人數學家范德蒙的結論加以研究，提出了他自己對于行列式展開的定理。

“行列式（detaminate）”一詞由大數學家柯西（Cauchy）提出，他也是第一個將行列式加以應用的人。柯西在十九世紀前期（1810-1820）的一段時間對行列式做出了巨大貢獻。他不僅改良了拉普拉斯行列式展開定理，還研究了特征方程和二次型的轉化問題。在之后的幾十年里，英國的席勒韋斯特得到了線性定理和不變因子概念。席勒韋斯特創造了許多新的數學名詞，包括代數中的常用術語如不變式、判別式等。1841年，德國數學家雅克比發表題為《論行列式的形成與性質》的論文，該論文代表著行列式相關理論已最終形成。十九世紀是行列式發展突飛猛進的一年，這為之后行列式成為現代數學乃至現代科學不可或缺的有力工具奠定了基礎[3]。

3.1.2矩陣

矩陣的誕生與行列式及線性方程組的研究有關，它是一種全新的數學語言和數學工具，有著廣泛的應用，在代數學中有很重要的地位。

矩陣（matrix）的概念最早由席勒韋斯特于1848年提出，意為矩形數字陣列。在這之后，凱萊便運用矩陣對線性方程組問題進行解答，提出了著名的Cayley Hamilton理論，即一個矩陣的平方就是它特征多項式的根。矩陣是從行列式發展而來的，它們之間也一直存在著聯系。公式det（AB）=det（A）det（B）為矩陣代數和行列式間提供了一種鏈接，數學家柯西更是給出了相似矩陣的概念。十九世紀也出現了著名的高斯消元法，它可以應用初等變換解方程組。

矩陣的發展始終和線性變換密切相關。19世紀矩陣在線性變換理論中僅占有限的一部分，但到了20世紀中后期，矩陣被賦予了全新的含義，它可以被應用到如今飛速發展的計算機領域中。于是矩陣作為處理離散問題的線性代數，成為從事科研和工程設計的科技人員必備的數學基礎[4]。

3.2多項式代數

3.2.1高次方程根的可解性

根據前文敘述，在初等代數時期，數學家們就已經致力于解決四次及以上次方程根能否被解的問題。阿貝爾證明了：“若一個方程可以用根式解出，那么其中的根式是已知方程的根和單位根的有理系數的有理函數”，并指出一般情況下高于四次的代數方程根式解是不存在的。伽羅瓦則創新性地利用了“群”、“域”的方法徹底證明了這一點。

3.2.2代數基本定理——方程根的存在性

方程根的存在性定理即是“n次實系數或復系數方程在復數域內有n個根”，這條定理是非常基礎性的，也是方程根式嚴謹化、體系化的標志。在十六、十七世紀左右，數學家們就對于方程根的數量和方程次數的關系進行了很多猜測。雖然答案都八九不離十，但是完整嚴謹的證明還要等到兩百年后的十九世紀。

在這中間，一些大數學家像拉格朗日、達朗貝爾和歐拉也對這個定理做了一些證明，但終究是不完善、不嚴謹的。最終的證明是由高斯（Gauss）給出的。那時他年僅22歲，在證明了這個定理的同時他還指出了：“任一n次實系數多項式必能分解成一次或二次實系數因式的乘積”。這個證明只是高斯一生無數著作中的冰山一角，這也意味著高斯這個名字必將永久地閃耀在數學史的長河中。

4 抽象代數時期

抽象代數又稱近世代數（Modern algebra），是誕生于十九世紀的一門近代數學分支。人們普遍認為抽象代數的創立者就是前文提到的伽羅瓦，因為他是第一個提出“群”的概念的數學家，而“群”正是抽象代數里的一個基礎性的重要分支。伽羅瓦因此使代數學從一個研究解方程的學科向著研究代數運算結構的學科轉變。抽象代數在當代數學中有著很重要的地位，已經成為近當代數學的一個基礎語言。

伽羅瓦不僅開創了抽象代數，還提出了“伽羅瓦域”、“伽羅瓦理論”、“伽羅瓦群”等概念，這些都是當代數學研究中很重要的課題。這些概念可以應用到初高等數學和幾何學中解決一些難題，如方程根式求解的條件，或是尺規作圖的判別法等。最重要的，這種方法是全新的，它不再拘泥于生硬地研究運算思維，而是用結構觀念研究問題，這也使得抽象代數在后期能夠蓬勃發展。

二十世紀初，有一位杰出的女數學家，就是被稱為“代數女皇”的諾特。諾特在拓撲學、代數幾何、代數數論等領域均有巨大影響。1920年，她就引入了“左右模”的概念，并在之后創立了現代數學中“環”和“理想”的系統理論。1930年，畢爾霍夫創立了格論。二戰后，抽象代數發展得更加繁榮，1955年，三位數學家嘉當、艾倫伯克和格羅欣狄克建立了同調代數理論[5]。

5 總結

本文對代數學發展史的三個階段：初等代數、高等代數及抽象代數進行了簡要介紹。不難看出，整個代數學的發展歷程是悠久漫長的，是循序漸進的。形象地說，代數學的發展就好比研究一個事物，開始我們研究它的外貌結構（靜止、常量），之后研究它的行為發展（運動、變量），到了最后我們提取出它最本質的抽象概念（集合、規律）加以總結，提煉出我們想要的結論。在未來，代數學的理論也將繼續不斷完善，并在科技發展中扮演越來越重要的作用。

參考文獻：

[1]姜效先.代數學發展史概述[J].河南財經學院學報，1987（2）：71-74.

[2]諶躍中，張月蘭.代數學發展中的運算[J].湖南科技學院學報，2006，27（11）：31-33.

[3]王文省，房元霞.代數學史話[J].數學通報，2007，46（12）：49-53.

[4]鄭玉美.代數學簡史（一）[J].荊門職業技術學院學報，1999（3）：82-92.

[5]侯維民.淺談代數學發展的三個階段[J].天水師范學院學報，1995：11-15.