光束正入射至界面時的自旋-軌道相互作用及其增強*

2020-02-16 03:43:24羅慧玲凌曉輝周新星羅海陸

物理學報 2020年3期

羅慧玲凌曉輝 ? 周新星羅海陸

1) (衡陽師范學院物理與電子工程學院, 智能信息處理與應用湖南省重點實驗室, 衡陽 421002)

2) (湖南師范大學物理與電子科學學院, 長沙 410081)

3) (湖南大學物理與微電子科學學院, 長沙 410082)

光束正入射至均勻突變界面時的自旋?軌道相互作用表現為拓撲荷數為±2的、自旋可控的渦旋相位.然而, 該渦旋相位的物理來源以及界面的性質在自旋?軌道相互作用過程中起到何種作用, 這些問題還有待解決.首先建立一個簡潔的菲涅耳瓊斯矩陣來描述這種自旋?軌道相互作用, 并揭示其中的渦旋相位其實是一種貝里(Berry)幾何相位, 它來源于光束本身的拓撲結構, 而界面的性質影響自旋?軌道相互作用的轉換效率.一般情況下, 轉換效率極低, 限制了其應用.因此, 基于上述理論, 提出采用光軸平行于界面法線方向的單軸薄層材料, 來極大地增強這種自旋?軌道相互作用.

1 引言

光既可以具有自旋角動量, 又可攜帶軌道角動量.自旋角動量與光的偏振有關, 如左右旋圓偏振光子分別攜帶的自旋角動量.軌道角動量有兩類[1,2], 一類為內稟(intrinsic)的軌道角動量, 與渦旋光場有關, 每個光子攜帶的軌道角動量, 其中l為渦旋相位的拓撲荷數; 另一類為外稟(extrinsic)的軌道角動量, 和光束傳播的軌跡有關, 定義為坐標原點到光束中心的距離與線動量的叉乘, 與經典粒子的機械角動量類似.光的自旋角動量和軌道角動量之間的相互轉換和耦合被稱為自旋?軌道相互作用 (spin?orbit interaction, SOI)或耦合[1,2].它是光學中的一種基本效應, 廣泛存在于界面的反射和折射、非均勻各向異性介質、強聚焦、粒子散射、表面波和消逝波等體系中, 在光學、納米光子學和等離子光學等領域扮演越來越重要的角色, 并在精密測量與探測、信息存儲與處理、微粒操縱以及各種功能光子器件設計等方面顯示出巨大的應用潛力[1?9].在旋轉對稱的系統中, 光的SOI表現為自旋可控的渦旋相位的產生(內稟軌道角動量); 在旋轉對稱性破缺的系統中, 它表現為自旋霍爾效應(外稟軌道角動量)[1,2].

光的自旋霍爾效應存在于很多體系中, 如光束在突變界面的斜入射[1,10?17]、一維的潘查拉特南?貝里 (Pancharatnam?Berry, PB)相位元件[18?21]、各向同性的非均勻材料[21?23]等; 自旋可控的渦旋相位也在方位變化的PB相位元件[24?27]、強聚焦[28,29]、單軸晶體中的傳輸[30,31]等體系中出現.然而, 有趣的是, 當光束正入射至均勻的、各向同性的突變界面時, 也能產生自旋相關的渦旋相位[32?34].光束正入射時, 極小的一部分入射光束發生自旋反轉(左旋變為右旋或者右旋變為左旋), 并獲得拓撲荷數為±2的渦旋相位(圖1(a)).其內在機制被認為是SOI, 但這種相位的物理來源、為什么拓撲荷數為±2以及界面在其中究竟扮演何種角色等一系列的問題, 目前并不清楚.另外, 該SOI與光束通過方位變化的各向異性PB相位元件[24?27]時產生渦旋相位的過程極為相似.光束入射到方位PB相位元件時, 一部分入射光束發生自旋反轉并獲得2倍于元件拓撲荷數(q)的渦旋相位因子2qφ, 其中φ是PB相位元件的局部的光軸方向, 是坐標位置的函數.也就是說這種相位因子來源于PB相位元件的非均勻的各向異性.而前文所提到的界面是各向同性且均勻的, 這與PB相位元件的情況又有何聯系和區別?

首先建立一個菲涅耳瓊斯矩陣來描述光束正入射至突變界面的透(反)射光束, 并發現其產生的渦旋相位因子來源于光束本身的拓撲結構, 具有幾何性, 是一種自旋重構的貝里(spin?redirection Berry)相位.界面的性質影響光束中各平面波分量的菲涅耳系數, 并決定發生了SOI的那部分光束的轉換效率.而對于PB相位元件, 光束也是部分發生自旋反轉, 經歷SOI, 并獲得PB渦旋相位, 但這種相位來源于外部材料的各向異性.進一步研究發現, 光束正入射至突變界面的SOI的轉換效率取決于光束中各斜入射的平面波的TM和TE分量的菲涅耳系數之差.對于傳統材料來說, 這種效應非常弱, 轉換效率極低, 這限制了它的應用, 目前也沒有這方面的實驗見諸報道.Ciattoni等[33]從理論上提出, 采用各向同性的、介電常數近零的薄層來增強這種效應, 但因各向同性材料可調的自由度非常有限, 其轉換效率最高也只能達到20%左右.由于各向異性材料具有更多調控的自由度,因此提出用光軸方向平行于界面法線方向的單軸晶體薄層, 來極大地增強正入射時的SOI, 使轉換效率在某些條件下可達100%.

圖1 光束正入射至各向同性的突變界面時SOI的示意圖 (a) 左旋圓偏振光束正入射至界面后, 部分光束發生自旋反轉變成右旋光, 并獲得拓撲荷數為2的渦旋相位(兩個小圖分別表示一種典型的渦旋光束的強度和相位分布); 注意, 未發生SOI的那部分光束并沒有在圖中畫出; 和分別表示左、右旋圓偏振; (b) 光束中各平面波分量的自旋與局部坐標的旋轉耦合的示意圖, 其中圓錐代表光束的角譜, 綠色的箭頭線代表任意的兩支平面波的波矢, 橙色帶箭頭的小圓圈表示各平面的偏振矢量在實驗室坐標上的投影(均為圓偏振), ? ξ 為坐標旋轉的空間旋轉Fig.1.Schematic illustration of the SOI for a light beam normally impinging onto a sharp isotropic interface.(a) When a left?circu?larly polarized beam normally passes through the interface, part of the incident beam converts into a right?circularly polarized beam, and carries a vortex phase with a topological charge of 2.Note that the spin?maintained portion is not shown in the picture.and denotes the left? and right?handed polarization, respectively.(b) Schematic illustration of rotational coupling between the local coordinates and the spin of the plane wave components within the beam spectra.The cone represents the angular spec?trum of the beam.The two green arrows represent the wave vectors of arbitrary two plane waves.The orange circles with arrows indicate the projection of polarization vectors of each plane wave on the laboratory coordinates (all circularly polarized).? ξ is the spatial coordinate rotation.

2 渦旋相位的物理來源：理論與模型

2.1 建立透射與入射光束之間的菲涅耳瓊斯矩陣

考慮一個單色的有限寬傍軸光束, 正入射至一個由各向同性的、均勻的、無吸收材料構成的突變界面, 如圖1(a)所示.由于反射和透射光束具有相似的行為, 因此本文以透射為例來分析其中的SOI過程.由角譜理論可知, 有限寬的光束可以看成由許多具有略微不同傳播方向的平面波相干疊加而成.眾所周知, 平面波在界面的透射可以由菲涅耳公式來描述, 因此, 光束在界面的透射場由其所有平面波分量的透射場相加(積分)而成.根據角譜理論, 可以把入射(i)和透射(t)電場統一地寫成如下傅里葉積分形式(a = i, t)[35]：

為了使表達式看起來簡潔, 以下將 tTM,TE(?i) 簡寫為 tTM,TE.由于透射光和入射光的觀察面上的場均是指垂直于中心波矢的橫向場分布, 因此將非中心平面波的偏振矢量投影到中心平面波的偏振矢量上, 并忽略縱向z分量得

將上式寫成矩陣形式, 并計算得

聯立(2)和(4)式, 可得

通過矩陣相乘得：

其中 ζ =cos?t/cos?i.至此, 在圓偏振基下, 用菲涅耳瓊斯矩陣來建立之間的關系.很顯然, (6)式的矩陣中, 反對角元是自旋反轉的項, 而對角元是自旋不變的項, 可分別稱之為反常(abnormal)模式和尋常(normal)模式.這種矩陣不僅比已有的方法[32,33]簡潔, 而且清晰地展現了光束本身拓撲結構(矩陣)與界面性質(矩陣)的不同的物理貢獻.也就是說, 光束本身的拓撲結構貢獻了渦旋相位因子 e±i2φ; 而與界面性質有關的菲涅耳系數貢獻了反常模式和尋常模式的振幅 ( ζtTM± tTE)/2 , 并決定了透射光束中反常模式和尋常模式的“比重”(即SOI中的轉換效率).在左旋圓偏振光束(其圓偏基下的角譜分布為入射下, 根據(6)式可得

將(7)式代入(1)式即可得到透射光束的電場分布.

2.2 Berry相位: 渦旋相位的物理來源

下面分析渦旋相位因子的物理來源.很顯然,(7)式中的反常模式攜帶一個拓撲荷數為2的渦旋相位.由(4)式可知, 它來源于非中心平面波與中心平面波的投影操作.任意非中心平面波的偏振矢量投影到中心平面波的偏振矢量上后, 產生了一個自旋相關的渦旋相位因子 e±iφ.這種相位因子與各平面波的入射面的方位角有關, 而中心平面波的入射面無法確定, 即TM和TE分量的偏振矢量也無法確定, 因此是渦旋相位的奇點.對于旋轉不變的光束(如高斯光束和貝塞爾光束), 該相位因子都存在.從本質上看, 該相位因子來源于光束本身的拓撲結構, 是幾何性的, 本身是一個不可觀測的量,只有透射和入射光束的相位差才是可觀測量.對于反常模式, 由于發生了自旋反轉, 相位差為 ± 2φ ;對于尋常模式, 相互抵消, 相位差為0.

本文用自旋角動量與坐標旋轉之間的耦合[1]或者光學科里奧利(Coriolis)效應[36]來解釋這種相位的物理來源.由于要求入射光束在橫截面上是均勻的圓偏振(實驗中容易產生), 即每個非中心平面波的偏振矢量在投影到中心平面波的橫向面之后都是圓偏振的(圖1(b)), 因此光束在z方向上的平均光子自旋角動量為 J =σ(其中σ = +1和—1分別表示左旋和右旋圓偏振).以每個非中心平面波各自的TM和TE偏振矢量構成的局部坐標框架, 投影到實驗室坐標上后, 相對于實驗室坐標的空間旋轉率為 ?ξ=dφ/dξ , 其中 ξ 是坐標框架的旋轉路徑, 旋轉軸為z軸.因此, 推導出一個幾何相位[1,36]：

它體現為自旋( σa)與坐標旋轉( φ )之間的耦合,只與坐標旋轉的路徑有關, 因此是幾何性的.而φ又是螺旋相位因子, 與內稟軌道角動量有關, 因此又體現為自旋與內稟軌道角動量之間的耦合,即SOI.這里的坐標旋轉, 是指各非中心平面波所在的局部坐標系在實驗室坐標上的投影, 相對于實驗室坐標系的旋轉.這種幾何相位與光束中各平面波的傳播方向的SO(3)旋轉有關, 因此它是自旋重構的貝里相位[1,36?38].

實際上, 最終透射光束的尋常和反常模式的相位是透射光束的幾何相位與入射光束的幾何相位之差由于反常模式是自旋反轉的結果,即 σt=-σi, 因此反常模式的幾何相位為而尋常模式的幾何相位為0.這個結果與(7)式的計算結果是一致的, 也與文獻[32?34]中的結果相同.這種相位因子還與PB相位元件中產生的渦旋相位在形式上極為相似.在PB相位元件中, PB相位來源于材料外部的各向異性; 而這里的幾何相位來源于光束本身的拓撲結構以及光束中各平面波分量由于斜入射造成的 tTM與 tTE之間的不同(也可看作是一種“各向異性”).這兩種情況在原理上是不同的, 但在形式上又是一致的, 可以用上述的自旋角動量與坐標旋轉的耦合模型來統一地理解[1,36].

還可以從角動量守恒的角度來考慮.由于本文中研究的界面是關于z軸旋轉對稱的、無吸收的體系, 因此參與SOI的那部分光束在z方向上的總角動量必須守恒(諾特定理).入射光束中各平面波分量投影到z方向上的自旋角動量(光子的平均自旋角動量)為 σ ? , 且不攜帶軌道角動量.透射后, 部分光束發生自旋反轉, 其自旋角動量變為 - σ? , 且同時獲得與入射自旋相關的、 2 σ? 的額外軌道角動量.此時這部分光束的總的角動量還是 σ ? , 并無增減.因此, z方向的總角動量是守恒的.

3 增強光束正入射時的SOI效率的方法

3.1 現有方法的SOI效率

上文建立了一個由各向同性的、均勻的、無吸收材料構成的界面的菲涅耳瓊斯矩陣, 分析了光束本身的拓撲結構和構成界面的材料性質的各自貢獻, 即渦旋相位來源光束本身的拓撲結構, 而界面性質影響SOI的轉換效率.現以左旋圓偏振貝塞爾光束的正入射為例來具體討論.零階貝塞爾光束的橫向的電場可寫為

其中A0為任意振幅, Δ k=2π/w0為橫向的譜半寬度, w0為光束束腰半寬度,表示第一類n階貝塞爾函數.其角譜分布為一個沖激函數的形式：

這意味著, 貝塞爾光束的角譜實際上呈旋轉不變的、空心圓錐狀分布(圖1(b)), 中心軸垂直于界面,且所有平面波分量均為斜入射, 雖方位角不同, 但入射角均為 ?i=sin-1(Δk/ki) , 即 ?i由 w0決定.由此, 將代入(7)式并聯立(1)式, 可得透射光束的電場為

式中透射光束分為兩部分, 一部分與入射光束相同, 是尋常模式; 另一部分表現出自旋反轉現象并攜帶拓撲荷數為2的渦旋相位, 是反常模式.圖2給出了尋常模式和反常模式的光強和相位分布.反常模式(圖2(a))光斑中心是光強為0的空心區域,相位在方位方向變化4π, 即拓撲荷數為2的渦旋相位; 尋常模式(圖2(b)) 光斑中心是實心區域, 不攜帶方位方向的渦旋相位.當尋常模式強度為0,即只有反常模式時, 該SOI過程中的轉換效率為100%.然而一般情況下, 對于傳統材料構成的界面, | tTM-tTE| 實際上是一個非常小的值, 尤其在入射角較小時.這種情況意味著SOI的轉換效率是極低的, 常規的實驗精度難以被觀察到.這也是這種效應迄今為止沒有在實驗上被觀察到的原因之一.

SOI中的轉換效率可定義為透射光束的反常模式的功率與入射光束的功率之比.當考慮貝塞爾光束正入射時, SOI的轉換效率為[33]

因此, 轉換效率取決于貝塞爾光束中各平面波的TM和TE分量菲涅耳系數之差.對傍軸光束( Δ k?k )來講, ζ =cos?t/cos?i是一個接近于1的值.若考慮入射介質和出射介質折射率相等, 如一個放置于自由空間中的薄層, ζ ≡1 .此時,SOI的轉換效率 η =|tTM-tTE|2/4 .由于貝塞爾光束中的平面波分量的入射角 ?i取決于光束束腰半寬度w0的大小, 且具有一個確定的值, 因此, 只要找到合適的材料, 使 | tTM-tTE| 在感興趣的 ?i范圍內具有盡可能大的值, 就能獲得盡可能增強的SOI.實際理想情況下, 如果能夠使 tTM和 tTE的值一個為1, 另一個為—1, 則能獲得100%的效率.

圖2 左旋圓偏振貝塞爾光束正入射至一個界面時, 透射光束的反常模式(a)和尋常模式(b)的歸一化光強分布, 其中兩個小圖分別表示為對應的相位分布, 在計算中, 取入射光束的波長 λ =1 且w0=20λFig.2.Normalized intensity distribution of the abnormal mode (a) and normal mode (b) of transmitted light beam under the nor?mal incidence of a left?handed circularly polarized Bessel beam at a sharp interface.The insets represent the phase distribution of corresponding modes.Here, we take the working wavelength as λ =1 and w0=20λ .

圖3 三種放置于自由空間的單層薄膜材料的透射系數, 以及SOI的轉換效率 η =|tTM-tTE|2/4 (a) ε =2.25 , (b) ε =0.01 ,(c) εx= εy=1 且 εz=0.01 ; 計算中, 取入射光束的波長 λ =1 , 三種材料厚度 h =2λ ; (d)和(e)分別是 ?i 和 εz , ?i 和h同時變化時的轉換效率, 在(d)中, 取 εx= εy=1 , h =1λ ; 在(e)中, 取 εx= εy=1 ,εz=0.01Fig.3.Transmission coefficients and conversion efficiency ( η =|tTM-tTE|2/4 ) of three optically thin films placed in free space：(a) ε =2.25 , (b) ε =0.01 , (c) εx= εy=1 and εz=0.01 , where we take λ =1 and h =2λ ; (d) conversion efficiencies versus ?i and εz of a uniaxial layer with εx= εy=1 and h =1λ ; (e) conversion efficiencies versus ?i and h of a uniaxial layer with εx= εy=1and εz=0.01 .

然而, 傳統的材料(如空氣、玻璃等)構成的界面, SOI的轉換效率極低.考慮一個放置于自由空間、介電常數為ε = 2.25、厚度為h (波長量級)的非磁性(磁導率為1)各向同性薄膜, 其TM和TE平面波分量的透射系數分別為[39]

3.2 通過單軸薄層增強SOI的效率至100%

各向異性材料比各向同性材料具有更多的自由度, 有望獲得接近100%的效率.考慮厚度為h的非磁性(磁導率為1)單軸晶體薄層, 其介電常數張量為

即此單軸層的光軸與z軸平行, 也就是光束的傳輸方向.這種情況下, 體系依然具有旋轉不變性, 上文的所有理論仍然適用.由于該材料具有 εx,y和εz兩個可以獨立調控的介電常數, 所以相比于各向同性材料多了一個調控的自由度.寫出其透射系數為[40]

注意, 其中TM和TE波的交叉偏振透射系數

當 εx= εy= εz時, (13)式回到各向同性材料的情況, 即(11)式.

要想獲得100%的轉換效率, 必定要使 tTM和tTE的值一個為1, 另一個為—1, 當然也就沒有反射.首先, 令 εx= εy=1 , 即平行于界面方向的介電常數與自由空間相同, 這保證了TE波的透射系數為tTE=exp(iqoh), 其模值 | tTE|≡1 (圖3(c)), 即任意入射角下, TE波均全部透射.然后, 令 εz→ 0 (遠小于自由空間的介電常數), 使TM波的全反射臨界角(即滿足 εz=sin2?i條件時)變得很小.大于臨界角時, tTM=0 , | tTM-tTE|=1 , 轉換效率恒為25%; 小于臨界角時, 由于TM波可能滿足法布里?珀羅共振條件 2 qeh=2mπ (m為整數), 而出現全透射的情況( tTM=±1 ), 使得 | tTM-tTE| 的值可能為2, 也可能為0, 以及它們之間任意的中間值(兩個共振峰之間).也即, 在TM波滿足法布里?珀羅共振時, 有可能實現100%的效率.

雖然具有這種極端的介電常數的單軸材料很難在自然界中找到, 但近年來隨著微納光學, 特別是超構材料和超構表面領域的飛速發展, 具有上述等效介電常數的人工合成材料有望通過合適地設計超構材料或超構表面來實現, 比如雙曲超構材料(hyperbolic metamaterials)[41,42].最后還需要指出的是, 本文所建立的全波理論適合于旋轉不變的體系, 比如由各向同性材料構成的界面、各向同性材料與光軸平行于界面法線方向的單軸晶體構成的界面.當系統不具有旋轉不變性時, 比如光軸方向平行于界面時的單軸晶體, 需對本文理論作較大修正才能適用.

4 結論

首先建立了菲涅耳瓊斯矩陣來描述光束正入射至突變界面時的SOI, 分析和澄清了光束本身的拓撲結構和界面性質在SOI中所扮演的不同角色,并揭示了其中所產生的渦旋相位的物理根源.簡而言之, 這種渦旋來源于光束本身的幾何拓撲結構,在本質上是一種自旋重構的貝里相位; 而界面的性質影響SOI的轉換效率.在形式上, 這種SOI與PB相位元件中的SOI極為相似, 但PB相位來源于材料外部的各向異性.由于該效應在一般情況下極弱, 限制了其應用.因此提出用光軸平行于界面法線方向的單軸晶體薄層來有效地增強它, 使之在一定條件下達到100%的轉換效率.本文的研究不但為這種SOI建立了簡潔明晰的理論框架, 而且揭示了現象背后的物理機理, 并進一步給出了增強這種效應的可行方案, 為未來的潛在應用指明了方向.