導數的概念在高職教學中的探究

王 江

摘? 要：事物都處于運動變化之中，研究事物變化的快慢程度，即函數的變化率問題有著廣泛的意義。高職學生對導數的理解大多停留在計算層面，對導數的本質和應用不清，導數的概念、導數的物理意義和導數的單位是深入理解導數本質的三個重要方面。

關鍵詞：導數;瞬時變化率

導數的概念是在極限概念之后的又一重要概念，很多高職學生停留在對常用函數導數的計算層面，對導數所表示的物理意義及其應用一知半解，根據建構主義理論，學生不能構建導數的知識框架，就不能將導數遷移到專業課的學習中去。

一? 導數的概念

定義1[1]? 設函數 在點 的某個領域內有定義，若極限

存在，則稱函數 在點 處可導，并稱該極限為函數 在點 處的導數，記作 或 。

定義2[1]? 若函數在區間 上每一點都可導（對區間端點，僅考慮相應的單側導數），則稱 為 上的可導函數。此時對每一個 ，都有 的一個導數 與之對應。這樣就定義了一個在 上的函數，稱為 在 上的導函數，也稱為導數，記作 或 。即

二? 導數的幾點理解

1.導數概念的理解

平常所說的導數既指在某一點的導數，又指導函數，即上述的定義1與定義2，但這二者不同，導數是指在某一點的平均變化率的極限值，根據極限的唯一性，導在某一點的導數是一個確定的數值;而導函數是一個函數，每一個 ，都有唯一確定的一個導數值 與之對應，符合函數的概念，由這種對應法則構成的關系稱為導函數。例如，函數 在 三點的導數值分別為 ，由這種對應關系構成的直線 為函數 的導函數。

2.導數的物理意義

在導數的教學中，一般會通過勻變速直線運動的瞬時速度和已知曲線求切線兩個問題導出導數的概念，這兩個問題的共性都是先求出平均變化率（即 ），再求當 時候的極限值，就得到瞬時變化率，即是導數的物理意義，也可以理解為物體在某一瞬間的快慢情形。相對而言，我們對平均速度好理解，對瞬時速度不易理解，我們可以以現實生活中汽車的車速表來幫助我們理解瞬時速度。例如，開車的瞬間，車速為 ，然后車子啟動，加速，最后車子減速，停車，車速表反映了車子在每個時刻的瞬時變化率。如果導數是正值，表示該函數在遞增，是個很大的正值，則表示急劇遞增，是個較小的正值，則表示緩慢遞增;如果導數是負值，表示該函數在遞減，是個很小的負值，則表示急劇遞減，是個較大的負值，則表示緩慢的遞減。[2]

3.導數的單位

既然導數有很強的物理意義，那么在用導數來表述其物理意義時，考慮函數的實際單位來理解導數的單位是必要的。理解導數的單位常常借助于導數的“微商”表示法： 。例如，生活中用的微波爐，將食物放入微波爐加熱時，食物的溫度 （ ）是時間 （單位： ）的函數，即 ，那么 的單位是什么呢？因為 表示的是食物的溫度變化率， 的單位是 ，時間 的單位是秒（ ），所以 的單位就是 。 就表示在食物加熱到? 時，其溫度的變化率為 ，即是當時間 時，食物正以 的速度升溫。

導數是高等數學中非常重要的一個概念，也是一個十分重要的數學模型，滲透到了各個領域。比如生物種群的生長率與死亡率、經濟中的邊際函數等，應用非常廣泛。在教學中，應注重學生對導數本質的理解，不過分注重導數的計算，培養學生分析問題和解決問題的能力，養成學生可持續性和創造性的學習高等數學。

參考文獻：

[1] 華東師范大學數學系. 數學分析（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2010：92-94.

[2] 李以渝. 高等數學基礎分冊[M]. 北京： 北京理工大學出版社，2007：23.