數(shù)值計(jì)算方法教學(xué)新探索

全宇暉

（華南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州 510000）

大學(xué)本科計(jì)算方法是一門(mén)與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程，它既有純數(shù)學(xué)的高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用廣泛性與實(shí)際試驗(yàn)的高度技術(shù)性的特點(diǎn)。作為一門(mén)數(shù)學(xué)課程，它與其他基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程又有著本質(zhì)區(qū)別，它不僅研究自身的理論，而且更多地與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，提供真正具有應(yīng)用價(jià)值的理論成果。掌握計(jì)算方法的基本理論及其應(yīng)用對(duì)理工科大學(xué)生提高專業(yè)素養(yǎng)和從事專業(yè)研究都具有重要意義。

一、計(jì)算方法課程教學(xué)中存在的問(wèn)題

計(jì)算方法同時(shí)具有較強(qiáng)的理論性和實(shí)踐性，如何讓學(xué)生在有限的教學(xué)課時(shí)中有效地學(xué)習(xí)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵和思想并辯證地加以運(yùn)用，是該課程教學(xué)中需要重點(diǎn)考慮的問(wèn)題。

1.理論教學(xué)。一般計(jì)算方法的理論教學(xué)大綱和教學(xué)內(nèi)容由教育部統(tǒng)一設(shè)定。課程具體講授時(shí)，其內(nèi)容會(huì)根據(jù)教材選取的不同和教員講課風(fēng)格的差異而有所側(cè)重和不同。學(xué)習(xí)計(jì)算方法課程需要較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和較堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。對(duì)于工科學(xué)生而言，其數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)較為薄弱，如果按數(shù)學(xué)類專業(yè)課程教學(xué)模式進(jìn)行理論教學(xué)，同學(xué)們很容易在學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生畏難情緒，從而對(duì)這門(mén)課程缺乏學(xué)習(xí)興趣。

2.實(shí)踐教學(xué)。傳統(tǒng)上計(jì)算方法課程把教學(xué)重點(diǎn)放在理論的嚴(yán)謹(jǐn)性和完整性方面，而淡化了實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性的技術(shù)特征。這一點(diǎn)為普遍的計(jì)算方法課程教學(xué)者所認(rèn)同。對(duì)于需要解決實(shí)際問(wèn)題和完成具體工程任務(wù)的工科學(xué)生而言，僅僅掌握理論層面的知識(shí)是不夠的。在教學(xué)中需要結(jié)合行業(yè)特點(diǎn)和學(xué)生的具體數(shù)學(xué)背景，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)值計(jì)算方法在實(shí)際工程背景中應(yīng)用的理解和其解決問(wèn)題的思維與能力。

二、計(jì)算方法教學(xué)新方法

針對(duì)上述問(wèn)題，我們?cè)诂F(xiàn)有的計(jì)算方法課程教學(xué)內(nèi)容中引入研究性教學(xué)內(nèi)容，采用基于問(wèn)題的啟發(fā)式問(wèn)答的交互教學(xué)方式，并安排課時(shí)適時(shí)進(jìn)行實(shí)踐應(yīng)用，以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和改善教學(xué)的質(zhì)量與效果，教學(xué)模式如圖1所示。研究性啟發(fā)式教學(xué)是教師基于教與學(xué)實(shí)踐的真實(shí)問(wèn)題，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，啟發(fā)學(xué)生在接近真實(shí)的研究性情境中通過(guò)合作、探究、發(fā)現(xiàn)等方法提出、理解和解決問(wèn)題，因而幫助學(xué)生學(xué)習(xí)方式由淺層（如聽(tīng)講、記筆記、埋頭苦學(xué)而不進(jìn)行深度反思等方式）向深度學(xué)習(xí)（如探究、討論、質(zhì)疑、小組合作、批判、發(fā)現(xiàn)等），由被動(dòng)學(xué)習(xí)向主動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變的一種教學(xué)模式。我們依托精心設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程和科學(xué)的考核方式，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中既能掌握理論和實(shí)踐相關(guān)知識(shí)，又能逐步熟悉和掌握計(jì)算思維的相關(guān)概念和方法。

1.設(shè)計(jì)啟發(fā)式的研究性教學(xué)內(nèi)容。研究性教學(xué)方法采用的一種重要模式是“問(wèn)題解決模式”，問(wèn)題是本課程研究性啟發(fā)式教學(xué)的中心。在計(jì)算方法的具體教學(xué)中，我們選擇恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，創(chuàng)建合適的問(wèn)題情境以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，合理安排知識(shí)導(dǎo)入點(diǎn)，并且充分挖掘教材中蘊(yùn)含的相關(guān)研究性問(wèn)題，拓展學(xué)生的知識(shí)面，再結(jié)合研究性場(chǎng)景實(shí)踐教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的各項(xiàng)能力。

圖1 基于問(wèn)題的研究性啟發(fā)式計(jì)算方法新教學(xué)模式

（1）精心安排知識(shí)導(dǎo)入點(diǎn)。本課程使用啟發(fā)式教學(xué)的方式，通過(guò)選擇來(lái)自實(shí)際生活中的例題，再抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后使用計(jì)算方法求解。將“啟發(fā)”貫穿研究性教學(xué)過(guò)程的各個(gè)環(huán)節(jié)。計(jì)算方法課程的教學(xué)大綱如表1所示。在具體的教學(xué)過(guò)程中，我們根據(jù)教學(xué)各個(gè)章節(jié)的內(nèi)容，將相應(yīng)問(wèn)題情境呈現(xiàn)在學(xué)生面前，啟發(fā)學(xué)生提出問(wèn)題和探究解決方案，并由此引出教學(xué)知識(shí)點(diǎn)。例如，在講解第二章線性方程時(shí)，選擇了圖像去模糊作為一個(gè)啟發(fā)式的引入問(wèn)題。首先，由實(shí)際問(wèn)題建立對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型：一幅圖像從清晰退化成模糊圖像的過(guò)程，實(shí)際上是從一個(gè)矩陣通過(guò)矩陣乘法變換成到另一個(gè)矩陣的數(shù)學(xué)過(guò)程。這個(gè)變換過(guò)程，通常通過(guò)矩陣乘法Ax=b實(shí)現(xiàn)，其可以分解成由A的行向量和x進(jìn)行點(diǎn)乘得到b的等式組成的線性方程組。假設(shè)我們已知退化的圖像矩陣b和變換矩陣A，需要求解清晰圖像的矩陣x，這個(gè)過(guò)程可以實(shí)際上就是一個(gè)求解線性方程組的過(guò)程。

課程中每次講解新類型的算法時(shí)，均先由實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)討論分析得到解決該模型的算法及其理論基礎(chǔ)，最后比較評(píng)估算法的優(yōu)缺點(diǎn)并對(duì)算法進(jìn)行提煉和改進(jìn)。在講解完一類算法后，適時(shí)總結(jié)，指出這類算法所能解決問(wèn)題的類型，講清這類算法中各種算法之間的區(qū)別和聯(lián)系，并盡可能地幫助學(xué)生分析如何改進(jìn)已有的算法。

（2）挖掘教材中蘊(yùn)含的研究性問(wèn)題。數(shù)值計(jì)算方法可以運(yùn)用到計(jì)算機(jī)科學(xué)的各個(gè)研究方向中，也蘊(yùn)含著許多研究性問(wèn)題。我們以較為熟悉的圖像處理和分析方向?yàn)榛A(chǔ)，有意識(shí)地將各種最新的研究方向在課程教學(xué)中體現(xiàn)出來(lái)。例如，在講解多項(xiàng)式插值的方法之后，引入多項(xiàng)式的不同應(yīng)用例子，如圖像修補(bǔ)和圖像超分辨率。在課堂教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、參與課堂討論，鼓勵(lì)學(xué)生在適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)中自己得出結(jié)論，以提高學(xué)生的主觀能動(dòng)性，也增強(qiáng)自信心；強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)課程所學(xué)知識(shí)舉一反三；通過(guò)在教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地引入科學(xué)前沿的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐動(dòng)手能力和基礎(chǔ)的科研能力。

表1 計(jì)算方法課程教學(xué)大綱

（3）實(shí)踐教學(xué)。在有限的教學(xué)課時(shí)中，我們專門(mén)安排了學(xué)時(shí)來(lái)進(jìn)行基礎(chǔ)實(shí)踐教學(xué)和研究性場(chǎng)景實(shí)踐教學(xué)，便于學(xué)生及時(shí)學(xué)以致用。結(jié)合課程教學(xué)內(nèi)容，我們?cè)O(shè)計(jì)相關(guān)實(shí)踐任務(wù)，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考相應(yīng)的對(duì)策，再跟專家的計(jì)算方法進(jìn)行比較，分析優(yōu)劣，進(jìn)而轉(zhuǎn)入算法的思想、流程和設(shè)計(jì)的反復(fù)教學(xué)，剖析所學(xué)計(jì)算方法解決工程問(wèn)題的實(shí)際效果及適用范圍。實(shí)踐教學(xué)具體形式以計(jì)算機(jī)進(jìn)行上機(jī)實(shí)驗(yàn)的形式進(jìn)行，內(nèi)容包括MATLAB使用基礎(chǔ)、數(shù)值函數(shù)實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)、線性方程組求解與圖像去模糊任務(wù)等。圖2為計(jì)算機(jī)創(chuàng)新班學(xué)生利用計(jì)算方法進(jìn)行圖像去模糊的實(shí)驗(yàn)結(jié)果展示。從實(shí)際應(yīng)用背景出發(fā)的啟發(fā)式教學(xué)體現(xiàn)了數(shù)值算法的價(jià)值和意義，不但能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思考能力，而且能讓他們?cè)谙到y(tǒng)掌握理論知識(shí)的同時(shí)熟悉如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程。

圖2 圖像去模糊實(shí)驗(yàn)結(jié)果示例

2.構(gòu)建合理的教學(xué)評(píng)價(jià)體系。傳統(tǒng)教學(xué)考核方式僅以筆試成績(jī)來(lái)評(píng)定學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，無(wú)法體現(xiàn)學(xué)生對(duì)計(jì)算思維的理解和運(yùn)用程度。其評(píng)價(jià)指標(biāo)應(yīng)該由原來(lái)單一的知識(shí)技能測(cè)評(píng)轉(zhuǎn)向?qū)W(xué)生在研究性教學(xué)過(guò)程中展現(xiàn)的知識(shí)、能力和態(tài)度等綜合素質(zhì)進(jìn)行測(cè)評(píng)。評(píng)價(jià)內(nèi)容包括：學(xué)生在研究性教學(xué)過(guò)程中的態(tài)度、方法，收集整理信息的能力、團(tuán)隊(duì)意識(shí)合作精神、成果的表達(dá)等方面，對(duì)于計(jì)算機(jī)科學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，計(jì)算方法的編程實(shí)現(xiàn)能力也應(yīng)是考核的一個(gè)重點(diǎn)。本課程的考核由平時(shí)成績(jī)、實(shí)踐成績(jī)和卷面成績(jī)?nèi)糠纸M成。實(shí)踐成績(jī)的評(píng)定通過(guò)實(shí)驗(yàn)成績(jī)和項(xiàng)目成績(jī)組成，主要考查學(xué)生基本的編程能力、項(xiàng)目成績(jī)。除了編程能力外，還考查了分析、解決問(wèn)題的能力，以及團(tuán)隊(duì)分工協(xié)作能力。平時(shí)成績(jī)的考核較為靈活多樣，包括課程的提問(wèn)、項(xiàng)目小組答辯、學(xué)生相互評(píng)價(jià)等。教學(xué)過(guò)程、實(shí)踐和理論考核相結(jié)合，既體現(xiàn)了考核的客觀性，滿足對(duì)學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)的基本要求，也體現(xiàn)了公平性，使得有主動(dòng)性、創(chuàng)新性的學(xué)生得到相應(yīng)的優(yōu)秀評(píng)價(jià)結(jié)果。

三、效果與結(jié)語(yǔ)

我們通過(guò)分析計(jì)算方法課程教學(xué)中存在的問(wèn)題，對(duì)其教學(xué)方法進(jìn)行改革。經(jīng)過(guò)兩年的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生的評(píng)教結(jié)果均為優(yōu)秀，且反饋都比較正面。通過(guò)學(xué)校教學(xué)問(wèn)卷調(diào)查，計(jì)算機(jī)學(xué)院本科學(xué)生反映該課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)置合理，通過(guò)該課程不僅能掌握課程相關(guān)的理論和實(shí)踐知識(shí)，還較好地培養(yǎng)自己的計(jì)算思維以及動(dòng)手能力。甚至有部分學(xué)生反映該課程的教學(xué)極大地提高了其科研興趣。這一定程度上表明以研究性啟發(fā)式教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)相結(jié)合的方式來(lái)進(jìn)行計(jì)算方法課程的教學(xué)，對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助其理解掌握及運(yùn)用計(jì)算知識(shí)有著較好的作用。目前我們?cè)谡n程中引入的研究性課題只是大千世界的冰山一角，在今后的教學(xué)實(shí)踐中我們將嘗試引入更全面的研究應(yīng)用方向。