服役過程中裂紋齒輪時變嚙合剛度計算方法研究進展*

徐 慧，吳小剛，劉德權，趙 哲，王奕霖

(湖南工學院 工程訓練中心，湖南 衡陽 421002)

0 引言

齒輪傳動系統作為傳遞運動和動力的裝置，因其恒功率傳遞、高效率傳動、大能力承載、長時間可靠工作等優點，在各種機器和機械裝備中得到了廣泛應用。但由于齒輪系統本身結構復雜，絕大部分在密閉環境下工作，導致其故障發生率比較高。裂紋是齒輪傳動系統最典型的故障形式之一，國內外學者對齒輪裂紋的研究很多，但都缺乏系統開展。本文圍繞齒輪系統中的裂紋故障問題，主要討論裂紋擴展路徑及裂紋故障中時變嚙合剛度的求解方法，并對其進一步研究方向進行展望，旨在為齒輪系統故障診斷提供幫助。

1 裂紋擴展路徑

齒輪裂紋主要分為齒根裂紋和分度圓裂紋。2009年，Chaari等[1]首次提出裂紋沿整個齒寬方向均勻擴展，即所謂的“貫穿型裂紋”。2011年，Chen等[2]考慮裂紋擴展的實際情況，提出裂紋沿齒寬方向不均勻擴展，即所謂的“拋物線型”或“準拋物線型”。在Chen的“拋物線型”裂紋模型基礎上，Mohammed等[3]認為齒根裂紋擴展路徑同時沿裂紋深度和齒寬方向進行，顯然該模型與輪齒實際情況更接近。2015年，Ma等[4]根據不同的齒根裂紋擴展路徑，提出了沿不同方向擴展的兩種裂紋，一種是沿輪齒方向擴展的裂紋，另一種是沿輪緣方向擴展的裂紋。此外，Lewicki等[5]還提出齒根裂紋擴展按輪緣厚度系數(輪緣厚度與輪齒高之比值)進行，輪緣厚度系數值決定裂紋擴展方向，其值較大時擴展沿輪齒方向，反之則沿輪緣方向。

綜上，齒根裂紋擴展路徑有3種類型：①沿齒寬(輪齒)方向擴展；②沿輪緣方向擴展；③同時沿齒寬(輪齒)方向和輪緣方向擴展。目前研究主要是針對圓柱直齒輪和斜齒輪上的裂紋，而對于其他類型齒輪上的裂紋擴展路徑研究很少，還有待于進一步深入探索。

2 裂紋齒輪時變嚙合剛度計算方法

齒輪出現裂紋，直接影響其時變嚙合剛度，進而影響系統的振動響應特征及動力學特性。因此對裂紋齒輪時變嚙合剛度的精確求解一直以來都是齒輪故障系統動力學研究的基礎,下面分別對這些方法進行綜述。

2.1 解析法

在早期的研究中，常用解析法來研究齒輪副的時變嚙合剛度。Wu[6]利用解析法，將裂紋擴展路徑簡化為直線，利用4種不同裂紋程度的故障齒輪模型來探討裂紋擴展與系統振動響應間的關系。將裂紋擴展路徑簡化為直線，計算裂紋齒輪時變嚙合剛度。Pandya等[7]提出將裂紋擴展路徑近似為曲線路徑，并與簡化為直線情況進行比較，結果發現，簡化為曲線路徑近似法計算的時變嚙合剛度精度更高。Ma等[8]將裂紋擴展路徑簡化為一條輕微彎曲的直線，求解得到的時變嚙合剛度值較簡化為直線時的精度值更高。萬志國等[9]基于解析法提出了時變嚙合剛度的修正計算方法，明顯提高了計算精度。針對不同的齒根圓和基圓關系，推導了不同的時變嚙合剛度求解方法。通過齒數42來判斷齒根圓與基圓的關系，當齒數小于42時，求得的時變嚙合剛度變大；反之，求得的輪齒時變嚙合剛度變小，故都需對解析法進行修正。文獻[8]中Ma等提出了一種裂紋直齒輪時變嚙合剛度改進計算方法，分別用兩條拋物線來模擬裂紋擴展路徑和極限線。

以上利用解析法求解裂紋齒輪時變嚙合剛度，一般都將裂紋簡化成直線或拋物線，規則化了，與實際裂紋有差別，故裂紋的精確描述尚需進一步探索。

2.2 有限元法

孫華剛等[10]采用ANSYS有限元法求得不同裂紋位置下的輪齒嚙合綜合剛度，結果表明齒根裂紋較分度圓裂紋對時變嚙合剛度影響顯著。馮剛等[11]利用有限元法，對不同大小、位置的裂紋影響齒輪扭轉嚙合剛度進行分析，研究顯示，扭轉嚙合剛度的變化與裂紋程度呈直接線性關系，而且，弧齒小端的裂紋較中部裂紋對扭轉嚙合剛度的影響更大，最后是大端裂紋。唐進元等[12]構建了含齒根裂紋的直齒圓柱齒輪有限元模型，提出了含齒根裂紋的輪齒時變嚙合剛度的精確數值計算法，以有限元準靜態分析為基礎，通過對輪齒時變嚙合剛度變化受齒根裂紋參數(裂紋長度、裂紋方向)影響的研究，得出輪齒時變嚙合剛度因裂紋出現而下降，裂紋長度引起的下降值大于裂紋方向引起的下降值。馮剛等[13]對含裂紋和無裂紋弧齒錐齒輪三維模型進行仿真，得出時變嚙合剛度的變化規律：裂紋不僅對弧齒錐齒輪系統振動大小有影響，而且對系統振動形式也有影響，故可根據系統振動特性變化進行弧齒錐齒輪故障診斷。

以上均為采用標準有限元法處理裂紋問題的情形，因需用網格重構來處理裂紋，故導致計算精度和效率都不高。而擴展有限元法(XFEM)實際上是單元形函數的擴展，可以處理裂紋間斷。余洋等[14]基于斷裂力學和XFEM，探討了齒根裂紋擴展變化受離心力、初始裂紋和輪緣厚度系數影響的情況，發現離心力的影響很大，離心力越大齒輪輪緣斷裂的可能性也越大；裂紋擴展情況受初始裂紋位置影響最大，受裂紋初始長度影響很小，可以不考慮；輪緣厚度系數對齒根裂紋影響很大，輪緣厚度系數越小，裂紋擴展趨勢逐漸偏向輪緣斷裂趨勢。許德濤等[15]利用XFEM對直齒輪齒根裂紋擴展進行研究，結果表明：對于文中情況，齒根初始裂紋擴展趨勢總體從輪齒周向至輪齒斷裂。

因XFEM利用擴充形函數處理裂紋問題，不需進行網格重劃分，節省了計算時間，故較標準有限元計算效率高，對裂紋擴展計算及仿真更加有利。

2.3 解析-有限元法

吳家騰等[16]提出了一種新的解析-有限元法求解齒根裂紋時變嚙合剛度，通過將求得的裂紋尖端應力強度因子代替解析模型中的故障剛度部分，建立了系統動力學模型，進行振動響應分析，并通過仿真驗證了該方法的可行性。

解析-有限元法計算精度遠遠高于解析法，計算效率大大高于有限元法，而且還可以解決多齒嚙合區的齒輪基礎共享問題，故具有最大的應用價值。

2.4 實驗法

Pandya等[17]提出一種基于常規光彈性技術計算正齒輪應力強度因子的實驗方法。對初始裂紋形式進行量化，然后測量其齒輪副的時變嚙合剛度。在此基礎上，Paghuwanshi等[18]又提出采用應變計技術測量裂紋直齒輪副的時變嚙合剛度方法,該方法的主要優點是利用齒輪本體變形量測量齒輪齒形的總撓度，其結果與有限元結果很接近。

可以看出，解析法有較高的計算效率，而有限元法具有計算精度高的特點，解析-有限元法兼具解析法和有限元法的優點，即同時具有高精度和高效率，實驗法則在一定條件下更接近于實際操作。

3 結束語

齒輪裂紋影響齒輪系統的振動噪聲及使用壽命，研究齒輪裂紋是進行齒輪故障診斷的基礎，也是進行齒輪系統剩余壽命預測的重要手段。國內外學者對齒輪系統裂紋故障的研究雖然取得了顯著成績，但仍有幾個方面有待于進一步深入研究，如：

(1)建立齒輪裂紋與時變嚙合剛度間的映射關系。

(2)各類裂紋對剛度影響的差別。