基于單位運作視角下的主題單元整體教學構建

摘要：“小數除法”是小學數學“數與代數”領域的重要內容，是小學階段“數的運算”中普遍認為最“難”的部分，更是發展運算能力這一學科核心素養的深入階段。北師大版、人教版、蘇教版和浙教版四個版本教材具有不同的編排體系，在教學中應當充分去對比、分析與解讀。在此基礎上，應基于單位運作視角，構建與思考主題單元整體教學。我們可以通過縱向梳理、橫向對比來對不同版本的教材進行對比、分析與解讀。然后，要在立足于小數除法核心本質的基礎上整體把握小學數學的單元整體教學，以引領和促進學生的深度學習。

關鍵詞：小數除法;教材對比;單位運作;核心本質;主題單元整體構建

“小數除法”是小學數學“數與代數”領域的重要內容，是小學階段“數的運算”中普遍認為最“難”的部分，更是發展運算能力這一學科核心素養的深入階段。

從小數意義的角度看，小數除法運算是將個位上的計數單位“1”借助十進制的核心思想進行繼續運作的過程，這種運作直接體現為將計數單位的逐步細分，這種單位逐步細分的作用可以將整個運算的數系順利地擴充至有理數系。從除法意義的角度看，小數除法包括除數是整數的小數除法和除數是小數的小數除法。從運算性質的角度看，除數是小數的小數除法其本質是借助于商不變的性質下的計數單位的同步轉換的運作過程。因此，小數除法的教學應立足于凸顯小數除法的核心本質進行——即整體把握計數單位運作與轉換下的逐步細分過程。

為促進學生對小數除法這一運算領域核心內容算理的準確理解及算法的準確把握，在實際教學中應設計單元核心主題，將教材中小數除法單元相關碎片內容作為一個知識群，在發展運算能力這一學科核心素養目標下進行單元整體設計教學，在目標統領下打通小數除法不同問題背景下知識內容間的內在聯系，激發學生在具體運算時將計數單位運作細分的真正需求。

筆者嘗試結合北師版、人教版、蘇教版和浙教版四個版本教材的不同編排體系，以“小數除法”單元第一課時“小數除以整數”為例，通過對比分析與解讀，淺談由此引發的對主題單元整體教學構建的思考。

一、四版本教材的對比解讀

（一）縱向梳理

1.除法層面

在除法層面，我對比了四個版本的教材所展示的教學內容，對于北師版教材的分析如圖1所示，對人教版教材的分析如圖2所示，對蘇教版教材的分析如圖3所示，對浙教版教材的分析如圖4所示。

2.小數層面

在小數層面，我對比了四個版本的教材所展示的教學內容，對北師版的教材分析如圖5所示，對人教版的教材分析如圖6所示，對蘇教版的教材分析如圖7所示，對浙教版的教材分析如圖8所示。

【對比分析】四個版本的教材在整個體系編排上大體相同，略有小異，“小數除法”這一內容都被安排在五年級上冊。我們從兩個層面上縱觀，即可從整體上把握“小數除法”學習的來龍去脈。（如圖9）

從除法層面來看，各版本教材都是在學習了“除法的認識”“表內除法”“有余數的除法”“除數是一位數的除法”“除數是兩位數的除法”的基礎上再編排學習小數除法，之后是“分數除法”。可見，“除法意義”和“整數除法”是小數除法學習的現實起點。從小數層面來看，各版本教材都是在經歷了“小數初步認識”“小數意義”“小數大小比較”“小數加減法”和“小數乘法”的學習之后，再編排學習小數除法。這些小數相關系統內容為學生學習小數除法提供了知識基礎和活動經驗（包括操作的經驗和思維的經驗）。

（二）橫向對比

1.問題情境和學習素材的選擇

北師版教材呈現了“精打細算”的問題情境，通過“甲、乙兩個商店不同包裝規格、不同售賣總價的牛奶”，讓學生解決“哪個商店的牛奶便宜”;人教版教材選取了“晨跑”素材引入，已知“計劃4周跑步22.4千米”，讓學生解決“平均每周應跑多少千米”;蘇教版教材是通過“購買水果”的情境展開學習，讓學生由“不同水果的數量和付出的錢數”計算“每種水果的單價”;浙教版教材則選取的是有趣的“水實驗”情境，讓學生根據“一定時間內水沿著植物的莖上升的厘米數”計算“水平均每分鐘上升多少厘米”。（如圖10，圖11，圖12，圖13）

【對比分析】四個版本的教材雖然選取的具體學習素材不同，但都是基于兒童立場，從真實可感的生活情境出發，通過貼近兒童現實生活、富有趣味性的現實背景，啟發學生去解決實際問題。

北師版和蘇教版教材選取的素材情境都與“價錢”有關，是基于“元角分”小數意義的學習背景，人教版和浙教版教材則都與“千米（或厘米）”有關，是基于“長度單位”小數意義的學習背景，二者都旨在引導學生通過單位轉化來經歷運算過程獲得運算結果。以上現實背景的提供實則體現了兒童數學中運算教學引入的重要特征：數學問題生活化，生活問題數學化。

2.教學結構的編排

各版本教材都是在兒童熟知的現實情境中呈現問題，接著大致分四個層次對“小數除以整數”展開學習：

（1）引導學生從“平均分”意義的角度思考，用除法解決問題;（2）運用已有的知識經驗，借助計量單位（元角分人民幣單位、長度單位）的轉化將小數除法問題轉化為整數除法問題，思考經歷具體的運算過程，獲得準確的運算結果，交流具體的運算策略。（3）嘗試用豎式計算，理解豎式結構每一步的意思。（4）從對運算過程的理解中獲得豎式計算的程序化方法——體會“商的小數點要和被除數的小數點對齊”的重要性。（如圖14，圖15，圖16，圖17）

【對比分析】從問題情境的創設、除法算式表征，到計算策略的交流，再到豎式表征、獲得一般方法，各版本教材都特別注重三個過程的經歷：一是生活問題數學化的過程，二是解決問題的全過程，三是經歷小數除以整數的計算過程。同時，更重要的是都在整體編排上體現出貫通計量單位與計數單位之間的聯系，凸顯計數教學的核心本質，幫助學生更好地理解計算方法背后的道理，在此基礎上聚焦發展學生運算能力這一核心素養。

3.關于直觀模型

在運算教學中，直觀模型對于學生促進算理理解的效果十分明顯。特別是豎式中對整數部分分完后剩余的數的處理——進一步化小單位再與相同計數單位上的數合并，需要借助直觀模型來支撐學生的認識和理解。

【對比分析】無論是北師版、蘇教版的“單價”計算，還是人教版、浙教版的“單位長度”計算，四版本教材都沒有提供半抽象直觀模型的支撐。也就是說，在運算過程中，學生只有思維表征，缺乏動作表征，只有思維活動經驗的積累，缺乏操作活動經驗的過渡，教學中有待調整以促進學生對豎式運算過程每一步的理解。

二、“小數除法”教學思考與建議

（一）小數除法教學要立足于小數除法的核心本質

從數系擴充的角度看，小數與自然數之間因為十進位值制而存在天然的內在聯系，小數與分數之間因為平均分也存在著密不可分的關系，正因如此，小數的加、減、乘、除運算其實質與自然數、小數一樣都體現為計數單位的運作，即計數單位的增加、減少、倍增和細2分。由此看來，小數除法教學對整個數的運算有很強的遷移與借鑒意義。

從小數意義的角度看，小數除法運算是將個位上的計數單位“1”借助十進制的核心思想進行繼續運作的過程，這種運作直接體現為將計數單位的逐步細分，這種單位逐步細分的作用可以將整個運算的數系順利地擴充至有理數系。從除法意義的角度看，小數除法包括除數是整數的小數除法和除數是小數的小數除法，除數是整數的小數除法其要解決的是“把某數平均分成幾份，求每份是多少”的問題，除數是小數的小數除法其要解決的是“甲里面包含多少個乙”的問題，此兩類問題都可以看作是基于平均分的意義背景下的運算問題。從運算性質的角度看，除數是小數的小數除法其本質是借助于商不變的性質下的計數單位的同步轉換的運作過程。

綜上，小數除法的教學應立足于凸顯小數除法的核心本質進行——即整體把握計數單位運作與轉換下的逐步細分過程。只有這樣，才能真正實現《義務教育數學課程標準（2011年版）》對運算能力的定位——理解算理，尋求算法，即真正實現從基于算理的算式解決問題到基于位值的一般豎式的算法的學習結果，以不至于發生將運算能力等同于計算能力錯誤認知下的運算教學。

（二）構建基于單位運作下的小數除法主題單元整體教學

為促進學生對小數除法這一運算領域核心內容算理的準確理解及算法的準確把握，建議在實際教學中設計單元核心主題，將教材中小數除法單元相關碎片內容作為一個知識群，在發展運算能力這一學科核心素養目標下進行單元整體設計教學，在目標統領下打通小數除法不同問題背景下知識內容間的內在聯系，激發學生在具體運算時將計數單位運作細分的真正需求。

數學中很多不同領域的內在核心本質都是相通的。“剩之愈小，分之彌細”是劉徽對求圓周率方法的哲學表達，我將其引用來詮釋小數除法運算，并將其作為小數除法單元的大主題，其內在本質是“單位運作細分”。在這個大主題下，根據核心內容再分別設置三個分主題：一般情況下單位細分，主要內容是除數是整數的小數除法，如運算85÷4，其目標是理解算理，尋求算法;同步轉化后的遷移細分，主要內容是除數是小數的小數除法，如運算5.1÷0.3，其目標是理運算性質（商不變的性質）的價值體現;特殊情況下的按需細分，主要內容是人民幣兌換，根據現實生活需要和實際需求將運算結果取近似數。這三個分主題內容之間層層遞進，最終指向學生素養目標的達成——發展運算能力。

但無論是哪一部分內容的教學都要圍繞“單位運作細分”這一核心主題來設計課堂核心學習活動。以“除數是整數的小數除法”為例，一是要創設有效參與的問題情境，引發學生計數單位細分的需求，二是要設計深度思考的核心問題，比如除到某個數位的余數還能細分嗎，如何細分？三是要提供模型支撐的探究過程的時間和空間，促進學生對計數單位細分的理解。在核心學習活動中要讓學生經歷計數單位運作細分的過程，感受計數單位越來越小，可以不停地細分，積累單位細分的活動經驗。（如圖18）

參考文獻：

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[2]劉堅，孔企平，張丹等.義務教育教科書.數學[M].北京：北京師范大學出版社，2013.

[3]孫麗谷，王林等.義務教育教科書·數學[M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[4]張天孝.九年義務教育小學實驗教科書.數學[M].杭州：浙江教育出版社，2010.

（責任編輯：楊強）

作者簡介：董文彬，北京市海淀區中關村第一小學高級教