建立符號意識　發展代數思維

張靜

“用字母表示數”是人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊“方程”的第一課時教學內容。用字母表示數是抽象的，它擺脫了使用具體數字研究問題的局限，提供了揭示數量關系一般性的可能，這對于小學生來說在理解上會有一些困難。但是，從學生的生活經驗及已有的認知活動經驗來看，學生對字母表示數及數量之間的關系并不陌生，如撲克牌中的A，表示特定的數，正方形周長公式S=a×4表示周長與邊長間的數量關系，多邊形的內角和的認識中字母n，及（n-2）×180°的認識等等，都為學生自主學習建構本課內容，奠定了很好的認知基礎。當然，這些都是相對零散的，或僅存于學生語言的表述中。為了讓學生比較系統地構建所學內容，教師還應努力創設認知沖突情境，引發學生學習用字母表示數的心理需要，讓學生參與到用字母表示數量關系和變化規律的探索中，進一步建立符號意識，形成良好的代數思維。

本課的學習正是由算術向代數過渡的橋梁。教材首先是通過創設簡單的問題情境，讓學生理解用字母表示數，并從具體情境中抽象出簡單的數量關系，讓學生體會用字母表示數的概括性和抽象性。

一、在課堂探索中建立符號意識

（一）創設情境，喚醒認知經驗

課前電腦里播放字母歌，延續情境，引入新知。

師：同學們對于字母非常熟悉，瞧，老師也帶來一些，比如CCTV是指中央電視臺;kg是同學們都熟悉的質量單位千克。看來，字母縮寫能表示一定的信息。

師：（出示撲克牌）瞧，這是什么？撲克牌，喜歡玩嗎？A、Q、K表示多少？這兒的字母通常情況下可以表示一個特定數。

師：（出示a+b=b+a）這是我們學過的加法交換律，這里的a 和 b可以表示哪些數，還可以表示什么？

師：（小結）這里的字母可以表示任意的一個數。

（二）探究新知，制造認知沖突

1.裝四驅賽車，進一步感知用字母表示數要注意的范圍

師：瞧，創客教室的同學們正在裝四驅賽車，裝一輛賽車需要4個輪子，裝2輛賽車需要多少個輪子？你是怎么想的？寫成算式是？2×4，這里的4表示什么，2表示什么？接下去呢？請看表1并補充。

師：說得完嗎？你發現了什么？誰能用一句話來概括一下。

生：裝a輛四驅賽車需要幾個輪子？

生：a×4。

師：a表示什么？（a在這里表示的是四驅賽車的輛數）四驅賽車的輛數還可以用什么表示？（b、c等）“4”呢？（擺一輛四驅賽車要用4個輪子）a×4表示什么？

師：字母a表示四驅賽車的輛數，而含有a的式子a×4不僅表示a輛四驅賽車需要多少個輪子，還能表示什么？（還可以看出所用四驅賽車輪子總數與四驅賽車輛數之間的倍數關系）

師：這里的 a可以表示1，2，3，4......可以表示0.6嗎？為什么不可以表示0.6？（不能裝成一輛四驅賽車）

師：看來用字母表示數還要注意表示的范圍。

2.猜年齡，感知用字母式表示數量關系

師：（出示學校社團創客教室里的李老師的照片，并引導學生去思考）學校社團創客教室里有一位李老師，他的年齡不知道，該怎么表示？（x）

師：（追問）這里的x可以表示任意的數嗎？（出示學校社團創客教室里學生王明的照片并引導學生去思考）

師：同樣，學校社團創客教室里有一位王明同學，他的年齡是多少，不知道怎么辦？能用x來表示嗎？

師：（引導）看來，同一個問題中不同的量要用不同字母表示加以區別。

師：如果知道王明比李老師小25歲，王明的年齡還可以怎樣表示？（出示x-25）

師：（提問）王明的年齡你覺得用字母a表示好還是用x-25？

師：（歸納提升）x-25這個式子一方面表示王明的年齡，另一方面又表示王明比李老師小25歲。原來含有字母的式子不但可以表示某一數量，還可以表示兩個數量之間的關系。

師：當李老師的年齡是40歲時，王明是15歲;當王明的年齡是8歲時，李老師是33歲;當李老師的年齡是55歲時，王明是30歲……

師：觀察李老師的年齡、王明的年齡，什么一直在變化？什么不變？

師：（小結）師生年齡的數量在變，但師生年齡之間的相差關系永遠不變。（向學生出示一名神秘人物）今天老師帶來了一位嘉賓，他的年齡是x+1。

師：（提問）x+1表示什么意思？他是誰？我們暫且稱他為神秘嘉賓。

師：（變式）剛才設李老師年齡為x，注意觀察哦，如果用x代表王明的年齡，李老師的年齡如何表示？那個神秘嘉賓的年齡又如何表示？說一說理由，可以同桌討論然后集體交流思路。

師：（體會）同樣是這位嘉賓，她的年齡剛才是用x+1來表示，而現在卻用x+26來表示，這是怎么回事？

師：（感悟）看來x表示誰還真重要，但無論x怎樣變化，他們之間什么是不變的？（數量關系）

師：（小結）正如數學家開普勒所說的，數學就是研究千變萬化中不變的規律。

3.用字母表示正方形的周長和面積公式

師：（回顧）同學們，這是我們以前學過的正方形，正方形的周長如何計算？面積呢？

師：（提問）正方形的邊長用字母a表示，周長用大寫字母C表示，那它的周長該怎么表示呢？在數學里，如果還是用a做正方形的邊長，用大寫字母S表示面積，那么正方形的面積公式怎樣用字母表示呢？

師：（小結）看來，字母和字母式子還能表示圖形的周長和面積公式。

師：（比較）文字公式和字母公式，你更喜歡哪一種？說出你的理由。

4.自學乘號的簡寫規則

師：這里的c=a×4和s=a×a中的乘號在我們數學里還有更簡單的寫法。想知道嗎？好，我們一起看閱讀材料，自學簡寫規則（如表2）。

師：讀懂了嗎？好，把你學到的知識和大家分享一下。在含有字母的式子里，加號、減號、除號都不能省略，只有乘號能省略。

師：練一練，簡寫下列式子。

y×6 = b×c = y×1 = a×5+13

師：（追問）1和字母相乘為什么可以省略不寫？填寫表3（對比x2和2x的區別）。

師：（回顧）通過剛才的學習，你現在會簡寫正方形的周長和面積公式嗎？

師：同學們，其實用字母表示數，我們早就接觸過了，請大家拿出課前學習本看一下這些運算定律哪些可以簡寫，哪些不可以。

（三）解決問題，體驗用字母表示數的價值

1.逛數學樂園

師：（談話）同學們學得真棒！讓我們一起來逛一逛數學樂園。（課件出示場景圖和游玩路線，如圖1）

師：如果你在入口處，你想去哪里？

（自主表達，說說想去哪里，從入口出發要走多少米。）

2.游覽生活館

例1：光明水果店共有水果y千克，賣出了47千克，還剩（ ）千克。

例2：小明家本月的用電量是75千瓦時，交電費 c 元，那么電費每千瓦時是（ ）元。

例3：成年男子的標準體重通常用下面的式子表示：體重（千克），身高（ ）厘米。

標準體重=身高-105。

如果身高用x表示，請用含有字母的式子表示出成年男子的標準體重。

師：回家后，用這個公式算出你爸爸的標準體重應該是多少千克，看他是偏胖，還是偏瘦。

3.夢想智慧屋

例1：我國自行研發的高鐵最快每小時可行413千米，t小時可行（ ）千米。

例2：在月球上，人能舉起物體的質量是地球上的6倍，人在地球上能舉起物體的質量是x ，在月球上能舉起的質量是（ ）。

4.開心音樂吧

1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿;

2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿;

……

（ ）只青蛙（ ）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。

師：讀一讀，請你在下面再編一句。誰能用一句話說一說這首兒歌嗎？

師：今天老師和同學們一起研究了“用字母表示數”，你有什么收獲？

師：你覺得用字母表示有什么好處？為什么要學習用字母表示數？

師：在數學研究中，人們廣泛使用字母，在這里我們得感謝一位偉大的數學家—韋達，是他最早使用字母表示數，給人類的研究帶來了方便，創造了數學史新紀元。同學們，短短40分鐘，我們的探索才剛剛開始，關于用字母表示數還有許多的奧秘等著我們進一步去發現。

二、在課后反思中發展代數思維

本節課是學生從阿拉伯數字表示數量向用字母表示數量的過渡，由于用字母表示數量很抽象，特別是用一個含有字母的式子表示數量之間的關系，更是學習的難點。因此，本課教學著力培養學生的符號意識，發展代數思維，滲透數學思想。

（一）讓學生感受用字母表示數的心理需求，建立符號意識

學生理解用字母表示數需要一個長期的過程，需要經歷大量的活動，積累豐富的經驗。在低年級“20以內加減法”的教學中，我們用括號來代表未知數，如（ ）+8=14，17-（ ）=9等。學生已經認識到用括號代表一個數，既滲透了字母表示數的啟蒙，也滲透了方程的思想。可見，從算術語言到代數語言，學生已有一定的認知基礎，教師需要做的就是不斷喚醒學生已有的認知經驗。

在教學中，教師要不斷提供給學生生活中常見的情境和具體事例，讓他們在熟悉的環境中反復體會用字母表示數的現實性、代數方法的優越性。

要引導學生經歷從“具體事物-個性化地用符號表示—學會數學化地表示”這一逐步符號化、數學化的過程，在交流、分享的過程中不斷積累用字母表示數的經驗，讓學生在不確定中尋找確定性，體驗用字母表示數的特點，讓學生產生用字母表示數的強烈心理需求，感受用字母表示數的概括作用，建立符號意識。

（二）讓學生理解用字母表示數量關系和變化規律，滲透代數思維

本節課中，理解一個字母在特定情況下的取值范圍和用字母式表示兩個量之間的變化關系是一個枯燥、抽象的知識點。本課巧妙地設計成了一個“猜年齡”的游戲，通過出示學生熟悉的李老師的照片，讓學生學會用字母x表示李老師的年齡，思考x是什么取值范圍。看著李老師的外貌特點，學生迅速猜出了李老師的年齡范圍;接著，又出示了學生王明的照片，讓學生猜猜王明的年齡;再讓學生用字母表示，告訴他們李老師和王明之間相差25歲，學生學會了用“x-25”表示王明的年齡。再這樣既能讓學生體會用含有字母的式子“x-25”表示數的優點，不僅可以表示王明的年齡，又能發現李老師與王明年齡之間的相差關系。最后，讓學生猜一猜神秘嘉賓的年齡，學生的興致極高;又將神秘嘉賓與李老師和王明的年齡作比較，學生明白了“數量雖然在不斷地變化，但數量之間的相差關系不變”的規律。

這樣，游戲與探究相交融，學生只當是玩游戲，卻在不知不覺中已建構了新知識。通過對李老師與王明的年齡及與神秘嘉賓年齡變化過程的探索，讓學生經歷了“符號化”的過程，感悟了符號化思想，滲透了代數思維。

（三）讓學生在解決實際問題中深化新知，感悟數學思想

學生對字母表示數的理解不是一蹴而就的，需要反復的體驗。為了發揮學生已有的認知經驗，實現語言概括到字母表示的對比，我分層次的出示了圖形的有關公式，讓學生比較文字公式和字母公式有什么不同，讓學生體會用字母表示數的好處和作用。

課前，我安排學生回顧了已學的運算定律，課中，我讓學生把x2和2x進行了對比，激發了學生進一步去體驗符號語言的優越性，使新舊知識在深層次上達到了統一。在實際應用環節，我把教材后的練習題進行了整合，分成了三類，分別是游覽生活館、夢想智慧館、開心音樂吧，整個練習的設計把數學與學生的生活實際緊密聯系。

數學來源于生活，同時又需要利用數學去解決生活中的實際問題。基于此，我讓練習的設計由易到難，層層深入。最后，音樂吧中青蛙兒歌的游戲，讓靜止的數學變得思維涌動，將學生的意識從有限引向無限，使他們初步感悟了函數思想。

（責任編輯：楊強）