基于整體建構的數學綜合題型解法探究
——以高中數學“函數與不等式的綜合題型”為例

張漢軍

（重慶市秀山縣教師進修學校 重慶秀山 409990）

函數是貫穿初高中數學的核心內容，其地位在中學數學中舉足輕重。作為高中數學學習的必備內容，不等式仍然是高考的重要考點之一。[1]本文主要從解題思路方面對高中數學中函數與不等式綜合題型的解決辦法進行了探究，力求將高中數學中函數與不等式的交叉內容更加系統化，以幫助學生更好地處理高中數學中函數與不等式的綜合問題，使其更系統高效地掌握高中數學中該部分內容的難點。[2]

函數與不等式綜合問題的考查模式通常分為兩個大的方面，函數不等式的證明以及對函數不等式恒成立參數范圍的求解。針對不同的實際問題，我們要運用合適的解題技巧，實現題目“由難到易”的轉變。[3]

一、巧用極端值

對于高中數學中部分指定區間內函數不等式恒成立的證明，我們通常要將其轉化為兩個函數在同一區間內函數值大小的證明。這時候，由于函數在指定區間內的函數值有無窮多個，我們不可能一一比較證明。該類題目似乎沒有辦法來有效解決，題目的難點也就油然而生了。

這個時候，我們就要拓寬思維，想辦法將無窮多的取值具體化，使我們的解題“有路可尋”。

對于該類題目，我們的思路應該是：轉化為兩個函數在同一區間內函數值大小的證明后，進一步強化題目條件。只要在指定區間內前一個函數的最小（大）值大于（小于）后一個函數的最大（小）值，則在整個指定區間內，前一個函數的函數值恒大于（小于）后一個函數的函數值。

我們采用這種強化題目條件的方法，就使得原本看起來毫無頭緒的題目變得簡潔明了、簡單易行了。

該例題是在函數的背景下證明不等式。直接證明有一定困難，這時，我們便可考慮強化題目條件來證明。

二、活用放縮法

對于高中數學中函數不等式在指定區間內恒成立的證明，我們要依據實際情況選用實用的方法。其中，構造函數、利用求導的方法判斷所構造函數的單調性，從而完成函數不等式在指定區間內恒成立是常用的方法之一。然而，很多時候，我們要準確判斷指定區間內導函數值的正負并非易事，特別是導函數中出現了對數、根式等情況。這就很容易造成我們判斷上的障礙。

這時候，我們可以采用放縮的方法，將所需函數合理放大或者縮小，避開直接判斷的困難。我們可將放大或者縮小后的相對容易運算的函數作為橋梁，間接完成函數不等式在指定區間內恒成立的證明。