如何上好工科本科生數值分析

鄧鎮國

（廣西大學 廣西·南寧 530004）

0 引言

科學、技術、自然和社會中出現的大量數學問題由于無法通過解析方法得到準確解，只能尋求這些數學問題的近似解，因此借助計算機技術獲取這些數學問題近似解的方法在實踐中得到廣泛應用和深入發展。這類方法通常稱為數值計算方法，而數值分析正是這樣一門介紹這類方法的課程。

如何上好工科本科生數值分析？首先，在第一堂課要跟學生講清楚三個問題：為什么需要數值分析？什么是數值分析？如何應用數值分析？激發學生們對這門課程的學習熱情。有了良好的開端，接下來要把學生們的這股學習熱情引導到學習各種具體數值計算方法上面，引領學生重現這些方法的構造過程。通過這些過程，學生可以領悟到這些方法的構造思想和數學原理，從中獲取重溫經典的成就感。最后，作為一門實踐類課程，光是理論學習是不夠的，需要加強課外上機實驗，更好地為課堂教學服務，提高課堂教學效率。

下面將通過說課的方式，講述如何給工科學生上好數值分析第一堂課，如何講授數值分析中的各種數值計算方法，如何加強課外數值實驗。

1 如何給工科學生上好數值分析第一堂課

工科學生一般在大二第一學期或第二學期選修數值分析（或計算方法）這門課程，此時他們已經學完高等數學和線性代數，已經具備學習數值分析的數學基礎。因此，數值分析第一堂課可以從學生熟悉的高等數學和線性代數無法求解或不好求解的一些簡單問題導入為什么需要數值分析這一問題，然后通過數學軟件（如MATLAB）向學生演示數值分析可以輕松地求解這些問題，進而激發學生學習數值分析的熱情。

例如，在高等數學中，定積分的計算對工科學生來說，是個難點。學過微積分的同學都知道，利用微積分基本公式通過求被積函數的原函數計算定積分，比起通過定積分定義求一類特殊乘積和式的極限簡單多了。但是在實際問題中，被積函數可能只滿足可積條件但不存在原函數，或者原函數都很難得到，或者原函數的形式復雜，甚至不能用初等函數來表示，如

此外，在實際問題中，根本就沒有被積函數的具體表達式，只有實驗采集的數據表，這種情形下，高等數學書介紹的計算定積分的方法完全失效，只能求助數值計算方法。因此，可以先選擇上面兩個定積分以及一張用其中一個被積函數在積分區間[0,1]內一些離散點上取值構造的函數表作為應用引例導入為什么要數值分析，再用最簡單的矩形公式通過數學軟件（如MATLAB）演示數值計算方法是如何近似計算定積分的，激起學生學習數值分析的熱情，為后面深入學習數值積分法埋下伏筆。

又如，在線性代數中，解線性方程組的方法主要有克拉默法則和初等變換法兩種。根據克拉默法則，解n元線性方程組，需要計算n+1個n階行列式，當n大于3時，手工計算量很大，一般線性代數考試都不會出這類計算題，除了有歸納性質的題目。初等變換法源于高斯消去法，雖然有了很大改進，但是手工計算也是不可取的。因此，可以通過數學軟件（如MATLAB）演示高斯消去法是如何高效求解高階線性方程組的，代替手工計算，擺脫重復繁重的計算工作，煥發學生學習數值分析的激情，為后面深入學習解線性方程組的直接法和迭代法埋下引子。

又如，學習高等數學中導數應用這章時，會學到用二分法和牛頓切線法計算方程的近似根，在那里使用手工計算。盡管這兩種方法的原理和計算公式都很簡單，但是為了得到比較精確的計算結果，往往要花費很多重復的勞動。因此，可以通過數學軟件演示這兩種數值計算方法是如何計算近似值的，令學生不僅可以溫故知新，還可以看到手工計算與通過計算機計算在效率上的巨大差別，引起學生迫切了解計算機是如何做到的好奇心，產生學習數值分析的興趣。

又如，學習高等數學中常微分方程時，對最簡單的一階微分方程y'=f(x,y)，根據右端項函數f(x,y)分為可分離變量方程、齊次方程和線性方程三種類型，給出相應的積分解法。在實際問題中，右端項函數f(x,y)往往都不是這三種類型，此時積分解法就失效了。有時即使可以用積分解法求出特解，解的形式不一定時初等函數，可能含有定積分，需要用到數值積分法求解。因此，可以選擇有應用背景的馬爾薩斯人口預測模型作為引例，并通過數學軟件演示Euler方法時如何近似求解微分方程，一方面讓學生感覺到數學是可以解決實際問題的，另一方面讓學生看到高等數學在應用上的局限性，從而激發學生學習數值分析的動力。

相信通過這些應用舉例，學生應該非常清楚為什么需要數值分析了。接下來，需要告訴學生，計算機只會簡單的加減乘除運算以及邏輯運算，所以運算速度非常快，要想讓計算機處理復雜的數學問題，需要把算法通過專門的數學軟件翻譯成計算機能夠讀取的指令，計算機才能處理這些數學問題。因此就可以很順暢地向學生導入什么是數值分析了，即數值分析就是研究在計算機上處理各種離散數學問題的算法。

最后需要通過幾個簡單的數值算法演示下數值分析是如何求解數學問題的，給學生講清楚如何應用數值分析的。那么選擇什么樣的算例合適呢？例如，選擇求解近似值的牛頓切線法與求解一階微分方程的Euler折線法，這兩種算法都是一個簡單的遞推式，并且具有直觀的幾何意義，非常適合用來講解如何應用數值分析。

上好了數值分析第一堂課，能夠激發學生學習數值分析的熱情，為講授后續的數值分析內容起到了良好的開端。

2 如何講授數值分析中的各種數值計算方法

現行的數值分析教材內容大致分為誤差、數值線性代數、非線性方程(組)的數值解法、數值逼近和常微分方程數值解五個部分。除了第一部分誤差外，其他四部分內容基本相對獨立，當然部分內容之間還是會有一定的邏輯順序關系。例如，三次樣條插值問題轉化為解三對角的線性方程組，需要使用解線性方程組的追趕法；最佳平方逼近問題需要轉化為解對稱的線性方程組，當該方程組的條件數不高時，需要使用解線性方程組的高斯列主元消去法。

通常先講誤差部分，為什么還沒講方法之前，就先介紹誤差呢？因為數值分析課程的特點與已熟悉的數學課完全不同。比如在微積分中，由于研究的問題是連續的，因此，無論導數計算還是積分計算都是沒有誤差的；又如在線性代數中，因為所有的矩陣計算都是手工進行，所以也是沒有誤差的。可是，在數值分析中，總是把連續問題先離散化，此時會產生截斷誤差，然后在計算機上進行計算，因此又會產生舍入誤差。又如，在計算機上進行大規模矩陣計算時會產生舍入誤差。因此，誤差是算法討論的核心問題，必須在講算法前介紹清楚。那么如何引入誤差理論呢？一般從學生熟悉的泰勒公式引入截斷誤差，從解二元線性方程組引入舍入誤差比較好。

講完了誤差理論，就要開始介紹數值分析中的各種常見數值計算方法了。在數值分析中，每章都會針對同一問題，給出不同的數值計算方法，這些方法都有其使用范圍及優缺點，因此在講解過程中注意做比較分析。對工科學生來說，學習這門課的目的是為了遇到數值分析問題時，能夠靈活地使用適當的算法處理該問題。因此，講授每種方法時，重點放在介紹方法是怎么構造的，以及如何使用的，而不是過于抽象復雜的理論分析。建議以特殊到一般的方式介紹這些方法，不僅讓學生容易接受，又能提高學生的數學歸納能力，而且節省板書時間，從而提高教學效率。下面用幾個例子介紹如何講授數值計算方法。

首先，以解線性方程組的高斯消去法為例，介紹如何講授數值線性代數。最好從三階線性方程組的計算講起，然后引導學生從三階線性方程組的計算過程，通過觀察矩陣元素下標的變化，歸納出n階線性方程組的直接法，高斯消去法本質上是把線性代數中解線性方程組的初等行變換法轉化為計算機上能實現的算法，因此在介紹高斯消去法時，要跟學生強調初等行變換在高斯消去法中必須按照一定規律來設計，不能隨意使用。接著，介紹高斯消去法使用條件，從而引出列主元高斯消去法。關于解線性方程組的迭代法也可以類似進行講授。

其次，以n次拉格朗日插值多項式為例，介紹如何講授插值法。先從待定系數法構造n次插值多項式講起，為了得到多項式的系數，需要解線性方程組，比較麻煩，由此引出通過構造基函數的方法構造插值多項式。接著，從線性插值、二次插值講起，引導學生從低次插值的構造過程，通過觀察基函數的變化，歸納出n次拉格朗日插值多項式；緊接著，介紹下拉格朗日插值的缺點，即每增加一個節點，需要重新構造基函數。由此引出下節內容——牛頓插值多項式。

最后，以Newton-Cotes求積公式為例，介紹如何講授數值積分法。先從低階的Newton-Cotes求積公式，即梯形求積公式和拋物線求積公式(或稱Simpson求積公式)講起，然后引導學生從低階求積公式的構造過程，通過觀察求積節點與求積系數的對應關系，歸納出Newton-Cotes求積公式。接著介紹高階Newton-Cotes求積公式的缺點，即當n大于8時，求積公式是不穩定的，由此引出下節內容——復合求積公式。

從上面舉例可以看到，從特殊到一般的講授方式，對工科本科生來說，是比較容易接受的。如果先從一般形式出發，對工科本科生來說，過于抽象，會對這門課程產生畏懼感，從而影響聽課效率。

3 如何加強課外數值實驗

在數值分析的教學中，數值實驗是從理論到實踐的重要環節。通過數值實驗課，學生可以更直觀地理解算法思想和更快地掌握如何正確的使用算法；如果缺少這個實踐環節，對學生來說，算法僅僅是一堆抽象、復雜、長長的數學公式，算法的理解和使用難度都在加大，甚至無法掌握。因此，在學時數少且無數值實驗課的情形下，需要加強學生課外自主上機進行數值實驗。每章結束后至少布置一個數值實驗給學生課外練習，并提供與該數值實驗相應的指導性微課。學生課外自主上機進行實驗環節設計框架圖如圖1。

圖1：學生課外自主上機實驗環節設計框架圖

4 結論與認識

本文提出一些教學體會，包括如何給工科學生上好數值分析第一堂課，如何講授數值分析中的各種數值計算方法，如何加強課外數值實驗，可以更好地幫助學生掌握這門課程，從而提高這門課程的教學質量。