基于HPM視角下的貝葉斯公式教學設計

許 鵬 柳福祥

（三峽大學理學院 湖北·宜昌 443002）

概率論與數理統計是數學中極具實際應用性的一個分支，是理工科專業非常重要的一門基礎課。概率論與數理統計的理論方法和思想已經廣泛滲透于農業、工業、軍事、醫學、金融等各個行業甚至我們的日常生活中。在如今的大數據時代，實現人工智能化是未來各個行業的發展趨勢，概率論與數理統計又是支撐該領域的最基礎學科，因此對于理工科各專業的大學生來說，學好本課程是適應未來時代潮流的必要基礎。正是由于概率論和數理統計中的課程知識極具實際應用意義，因此在講授該課程各個知識點的過程中，應該讓學生深刻理解和掌握知識點的數學思想，而不是僅僅停留于刻板的知識表面。在講授該課程的過程中，我們發現學生往往都能很好的理解概念和知識點，但具體到解決實際應用問題時，卻常常不容易找到知識的切入點，根本原因在于學生對于知識點的理解并不深刻，沒有達到活學活用的程度。

History and Pedagogy of Mathematics(HPM)是一個致力于研究數學史和數學教學關系的研究組織，最早可以追溯到1972年，在英國召開的第二屆國際數學教育大會上成立的數學史和數學教學關系國際研究小組。HPM 的基本理念是在數學課堂教學中運用數學史，讓數學學習成為一種有趣的經歷，使得學生對數學概念得到更深刻的理解和掌握，讓枯燥抽象的數學知識點變得更加活潑和有意義。同時，許多數學知識在其歷史發展過程中往往并非一帆風順，其中的曲折和困難，可以為教師突破教學難點提供思路。概率論與數理統計課程極其實際應用化的特點，對學生更深刻的掌握知識點的本質思想提出了更高的要求，HPM提出的數學史教學方法可以更好的實現該課程的教學效果。這里將以概率論與數理統計課程中非常重要的貝葉斯公式為例，設計具體如何運用HPM的教學方法來講授該公式。

1 貝葉斯公式的發展歷史

貝葉斯公式的思想最早在18世紀由英國業余數學家貝葉斯以哲學的角度提出，并由貝葉斯的好友普萊斯幫助發表。該數學思想很容易理解，即當我們不知道某個現象發生的機理本質的時候，可以通過該現象發生的結果反過來推斷其背后發生的本質。因為現象的發生是果，發生的本質是因，換句話說，想要知道因，可以通過果來倒推出因。貝葉斯提出的數學思想是獨立于傳統的經典統計方法的另一套理念，在傳統的經典統計方法中，我們要想知道現象發生的因，可以通過大量的試驗，找出使得果發生概率最大的試驗條件就是因。因此貝葉斯提出的數學思想在當時是非常新奇的。盡管貝葉斯公式的思想是由貝葉斯本人提出，但具體的表達式是在1774年由法國著名數學家拉普拉斯提出的。拉普拉斯在研究不同性別出生到底是否遵循等可能規律的過程中，發現如果用傳統的統計學方法，需要搜集大量以往人口出生性別的數據，但往往這些數據存在或多或少的紕漏和不確定，因此很難得到真實的規律。拉普拉斯換了一種思考方式，他通過不斷的記錄新增的男女出生數據，反推男女出生的真實比例，由此確保了數據的可靠性。最后拉普拉斯提出了貝葉斯公式的具體數學表達式，也就是課程中的貝葉斯公式。

2 貝葉斯公式思想的導入

貝葉斯公式關于由果推斷因的思想不僅廣泛應用于生產和科學技術中，其實在日常生活中我們往往都可以得到具體的體現和應用。比如周末，學生約著好友一起到一條并不是特別熟悉的小吃街吃火鍋，小吃街上一共有兩家火鍋店，但都沒吃過，并不知道到底哪家火鍋店好吃。如果要想知道哪家好吃，最自然的想法就是需要到兩家火鍋店都吃上一遍，通過比較決定哪家店更好吃。顯然這樣做法固然可以得到決策，但費時費財。那我們應該怎樣在最短的時間用最經濟的方式得到最可能正確的決策呢？在概率論和數理統計中，貝葉斯數學思想就可以告訴我們如何更好更快的做出決策。

3 貝葉斯公式

直接可得到貝葉斯公式。

貝葉斯公式又稱逆概率公式，描述了A是事件的結果，其發生的所有可能的條件為，各條件發生的概率也已知，且已知不同條件下A事件發生的概率，就可以通過貝葉斯概率公式求出不同條件下發生A事件的概率。這樣就實現了已知果推斷出因。

4 貝葉斯公式應用案例

案例1：

假設在過去某一段時間，某病癥的診斷試驗中，該病癥患者呈現測試陽性的概率為0.95，非此病癥患者測試呈陰性的概率為0.95。而世界某國進行普查的結果表明：有千分之五的人為此類病癥患者，現在該國某人去醫院測試結果呈現陽性，問此人確為該病癥患者的概率為多少？

分析：該案例中，事件發生的結果為測試結果呈陰性和陽性，人是否確為該病癥患者為發生的條件。案例已知人是否確為該病癥患者的條件下，測試呈現陰性和陽性的概率，反過來求已知結果呈陽性結果，推斷是否確為該病癥患者的概率。因此需利用貝葉斯公式求解。

案例2：

分析：我們回到課堂開始時，留下的學生選擇火鍋店吃飯的問題，學生們出去吃飯，面對著兩家不熟悉的火鍋店，現在來看如何用貝葉斯公式在短時間內做出最合理的判斷，快速準確的選擇出滿意的店。顯然，基于貝葉斯公式的思想，哪家的客流量最多，哪家就好吃一些，而不用自己每家都去嘗試吃一下，最后來判斷哪家好吃。從貝葉斯公式的角度來看，A事件（條件）是第一家火鍋店好吃，則事件是第二家火鍋店好吃，B事件（結果）是第一家客流人更多，則事件是第二家客流人更多。因此我們只要從實際問題中找到根本的因果關系（該問題的因果關系是因為好吃所以才能吸引客流），就能有效的根據結果推斷出原因。

5 貝葉斯公式引領技術革命

貝葉斯公式的發展和認識已經深入到社會的各個領域，并且成為開啟現代人工智能革命的根本理念。在目前大數據、人工智能、語音識別、信息搜索等各個領域都展現了無所不能的廣泛應用。例如在機器學習領域，機器已經可以初步實現人腦的功能。我們覺得很不可思議，其實這背后隱藏的基本依據就是貝葉斯公式。人腦學習一種新知識的過程是從初步接觸一個新知識產生一種初始的理解開始，可能這種理解是有偏差的，但隨著人腦獲取更多的信息量，不斷的更新和糾正之前的理解，最終就會達到掌握知識的目的。機器學習也是基于同樣的原理，最先給定一個初始的結果，然后通過不斷的在現有數據的基礎上反復訓練，更新過去的參數模型，最后獲得可以根據學習到的模型，去解決未知的能力。在這個過程中，通過訓練中不斷的新信息輸入，更新前面學習到的模型的過程，就是應用了貝葉斯公式。

6 結束語

在HPM基礎上的概率論與數理統計教學，在課堂知識點的講述中融入數學史，有利于遵循個體學習的自然規律，順著知識點數學史發展的過程讓學生對知識點的學習更加深刻。貝葉斯公式對于學生來說，如果一開始就從公式出發，學生對于這種較為復雜的公式形式會難于理解，更不易做到活學活用。HPM教學方法通過對貝葉斯公式數學發展史介紹，讓學生深刻理解貝葉斯公式背后的理論背景和意義，不僅能激發學生的學習興趣和動機，也能順著數學史發展的脈絡，認識貝葉斯公式在哪些地方有實際應用，如何引領社會技術的變革，深刻掌握貝葉斯公式的精髓。通過HPM基礎上的課程設計，也能讓學生更大程度的拓展知識點，達到最佳的教學效果。