拉普拉斯變換及其在分數階微分方程拓展訓練

申 渝 鄒馥鴻 崔嘉慧 楊 鵬

(重慶科技學院數理與大數據學院 重慶 401331)

0 引言

拉普拉斯變換是最重要的積分變換之一，在數學分析學科和工程實踐科學中有廣泛的應用。該變換的目的是建立實變量和復變量之間的關系。如何靈活運用這一數學工具來處理專業工程實際問題將成為一項重要的課題。為了更好地應用拉普拉斯變換，本文羅列了拉普拉斯變換的基本概念及其相關重要的性質。這些基本內容將是處理工程實際問題的關鍵?；诶绽棺儞Q的方法是一種重要的求解常微分方程方法。我們可以根據這些拉普拉斯變換的基本知識處理某一類常微分方程，總結重要的數學技巧。分數階微分方程是近年來重要的研究工具，在許多工程問題中得到了應用，如圖像處理領域。我們將基于拉普拉斯變換的技巧拓展訓練到求解某一類分數階微分方程，為后續分數階微分應用到圖像處理中做準備。

1 拉普拉斯變換及其在求解微分方程中的應用

拉普拉斯變換是解決工程實際問題的強有力工具，其可把時域上的微分方程轉化為復數域的代數方程。拉普拉斯變換因其重要的性質，使其在分析線性動力系統時非常有用。拉普拉斯變換主要有如下重要性質。這些性質將用于求解微分方程。

2 分數階微分方程的拓展訓練

結合分數階導數和拉普拉斯變換的分數階積分給出拉普拉斯變換下的分數階微分。假設a大于零，且n是大于a的最小整數。假設函數存在拉普拉斯變換，則

最后，借鑒傳統的微分方程的解法和拉普拉斯下的分數階微分，我們訓練拉普拉斯變換在分數階微分方程求解應用。假設，給定方程為