通解“冰雹猜想”

張奎福

(吉林省松原市長嶺縣巨寶山鎮 131533)

一、符號

± 在3X+1中是+，在3X-1中是-

∣a∣a的絕對值

[x] 不大于x的最大整數

lnaa的自然對數

r=ln3/ln2～12.6797/8

2[nr+1]恰大于3n的2的冪

∞ 無窮大

±a(n)Q±(±a)=n

二、定義

a0是a的最大奇數因子，an是3an-1±1的最大奇數因子，求an叫做冰雹變換，n是步數.若∣an∣首先小于∣a∣，則a是n步恰小的，記做Q±(a)=n.

三、猜想

1950年考拉茨(L.Collaz1910～1990)提出：

在3X+1中，任一大于1的整數經過冰雹變換，最后得1.即：大于1的整數a經過冰雹變換，都有一個n使Q+(a)=n.在3X-1中，任一大于1的整數經過冰雹變換，最后得1，5，17中的一個.即：大于17的整數a經過冰雹變換，都有一個n使Q-(a)=n.

四、“正負相通”定理

Q+(a)=Q-(-a)，Q-(a)=Q+(-a).

證明：∵∣3X+1∣=∣-(3X+1)∣=∣3(-X)-1∣，∴Q+(a)=Q-(-a).∵∣3X-1∣=∣-(3X-1)∣=∣3(-X)+1∣，∴Q-(a)=Q+(-a).定理成立.

“正負相通”說明，光研究正數就行.

五、“等步恰小”定理

若Q±(a)=n，則Q±(2[nr+1]k+a)=n.

證明：設Q±(2tk+a)=Q±(a)=n，r=ln3/ln2.∵經過n步冰雹變換,annln3/ln2=nr，∴t的最小值是[nr+1]，3nk+an<2tk+a=2[nr+1]k+a，即Q±(2[nr+1]k+a)=n，定理成立.

“等步恰小”說明，n步以內，光研究2[nr+1]以內的數就行.

六、“加減互補”定理

Q+(2[nr+1]k+a)=Q-(2[nr+1]k-a)，Q-(2[nr+1]k+a)=Q+(2[nr+1]k-a)，

證明：由“等步恰小”定理知：

Q±(2[nr+1]k+a)=Q±(a),

Q±(2[nr+1]k-a)=Q±(-a).

由“正負相通”定理知：

Q+(2[nr+1]k+a)=Q+(+a)=Q-(-a)=Q-(2[nr+1]k-a)，

Q-(2[nr+1]k+a)=Q-(+a)=Q+(-a)=Q+(2[nr+1]k-a)，定理成立.

“加減互補”說明，光研究3X+1就行.

七、“步數無限”定理

步數沒有最大值.

證明：設n是最大值.∵Q-(1,5,17)無值，由“等步恰小”定理知：Q-(2[nr+1]k+1,5,17)>n，n步未小.由“加減互補”定理知：Q+(2[nr+1]k-1,5,17)>n，n步未小.∴假設不成立，步數沒有最大值，定理成立.

“步數無限”說明，研究沒有止境.我驗證到20步，光20步恰小就5936673個.

八、“大數必小”定理

a>17時，Q±(a)=n有解.

證明：∵每步冰雹變換都乘以3一次，除以2至少一次,∴除以2的平均次數是冰雹升降趨勢的決定因素.∵每次除以2后，結果是偶數的概率是1/2，∴平均每步冰雹變換除以2的次數為Cs=2-2-s，C∞=2-2-∞=2，(s=[ln3a/ln2]).

冰雹趨勢：2Cs<3時為升，2Cs>3時為降.當a>17時，s=[ln3a/ln2]≥[ln51/ln2]=5，當s≥5時，4>2Cs>3.914288>3.9>3，趨勢為降.雖然有一半的變換效果相當于乘以1.5(只除以一次2時，3/2=1.5)，但整體看每步變換的平均效果相當于除以1.3多(3.9/3=1.3).盡管有些數開始時徘徊上升，甚至升得很高，但由于“步數無限”，因此必將變為更小.∴Q±(a)=n有解,定理得證，“冰雹猜想”成立.

“大數必小”說明，尋找理論才是研究的捷徑.

九、逐步驗證法

n步:

恰大于3n的2的冪是2[nr+1]，驗證2[nr+1]內的n-1步未小，得到n步恰小及未小.

0步：30=1，恰大于1的2的冪是2=21，驗證整數2k±0,1知Q±(0)無值.Q±(21k)=0.0步未小2k±1.

1步：31=3，恰大于3的2的冪是4=22，驗證0步未小22k±1,3知Q±(1)無值.Q±(22k±1)=1.

1步未小22k±3(2).

2步：32=9，恰大于9的2的冪是16=24，驗證1步未小24k±3(2),7(4),11(3),15(4)知Q±(24k±3)=2.

2步未小24k±7(4),11(3),15(4).

3步：33=27，恰大于27的2的冪是32=25，驗證2步未小25k±7(4),11(3),15(4),23(3),27(37),31(35)知Q±(25k±11,23)=3.3步未小25k±7(4),15(4),27(37),31(35).

4步：34=81，恰大于81的2的冪是128=27，驗證3步未小27k±7(4),15(4),27(37),31(35),39(5),47(34),59(4),63(34),71(32),79(5),91(28),95(5),103(26),111(19),123(5),127(9)知Q±(27k±7,15,59)=4.4步未小27k±27(37),31(35),39(5),47(34),63(34),71(32),79(5),91(28),95(5),103(26),111(19),123(5),127(9).

5步：35=243，恰大于243的2的冪是256=28，驗證4步未小28k±27(37),31(35),39(5),47(34),63(34),71(32),79(5),91(28),95(5),103(26),111(19),123(5),127(9),155(25),159(13),167(18),175(5),191(8),199(5),207(9),219(5),223(19),231(7),239(12),251(17),255(8)知Q±(28k±39,79,95,123,175,199,219)=5.5步未小28k±27(37),31(35),47(34),63(34),71(32),91(28),103(26),111(19),127(9),155(25),159(13),167(18),191(8),207(9),223(19),231(7),239(12),51(17),255(8).

6步：36=729，恰大于729的2的冪是1024=210，驗證5步未小210k±27(37),31(35),47(34),63(34),71(32),91(28),103(26),111(19),127(9),155(25),159(13),167(18),191(8),207(9),223(19),231(7),239(12),251(17),255(8),283(15),287(6),303(8),319(13),327(13),347(6),359(10),367(6),383(7),411(9),415(9),423(6),447(25),463(7),479(10),487(12),495(17),507(6),511(11),539(8),543(8),559(10),575(6),583(6),603(10),615(7),623(8),639(14),667(15),671(24),679(8),703(51),719(8),735(6),743(15),751(13),763(12),767(10),795(17),799(8),815(6),831(9),839(9),859(10),871(22),879(7),895(15),923(6),927(23),935(7),959(13),975(6),991(16),999(6),1007(13),1019(7),1023(11)知Q±(210k±287,347,367,423,507,575,583,735,815,923,975,999)=6.

6步未小210k±27(37),31(35),47(34),63(34),71(32),91(28),103(26),111(19),127(9),155(25),159(13),167(18),191(8),207(9),223(19),231(7),239(12),251(17),255(8),283(15),303(8),319(13),327(13),359(10),383(7),411(9),415(9),447(25),463(7),479(10),487(12),495(17),511(11),539(8),543(8),559(10),603(10),615(7),623(8),639(14),667(15),671(24),679(8),703(51),719(8),743(15),751(13),763(12),767(10),795(17),799(8),831(9),839(9),859(10),871(22),879(7),895(15),927(23),935(7),959(13),991(16),1007(13),1019(7),1023(11).

7步：37=2187，恰大于2187的2的冪是4096=212，…一數看尾辨單雙，二除雙數取單忙，三單加一再求半，似乎早晚回一鄉，吾言此事你不信，遛遛各數可平常，其實此問多年有，八方請教無人幫，久久求證不得解，實實難壞數學狂.十分得意新思路，久求必小也相當，扒絲破繭真捷徑，其中訣竅可分享，六步恰小十二系，五內恰小十五行，似階公差怎求得，三乘幾次幾步量，二底三對乘步數，一加看整二的方.