弱Φ-可補子群對p-冪零群結構的影響

趙 勇， 孔新海

（廣安職業技術學院師范學院，四川廣安638000）

利用各種正規或可補子群來研究有限群的結構是有限群理論研究的重要課題之一.近年來，學者們利用不同的可補子群來刻畫有限群的結構，得到了大量的研究結果，例如文獻［1-7］，進一步豐富和完善了有限群結構的研究.2012年，文獻［8］引入SΦ-可補子群的概念：稱有限群G的子群H在G中是SΦ-可補的，如果存在G的一個次正規子群K，使得G＝HK且H∩K≤Φ（H），其中 Φ（H）是H的Frattini子群.2013年，文獻［9］削弱了SΦ-可補子群的條件，引入弱Φ-可補子群的概念：設H是有限群G的一個子群，稱H在G中是弱Φ-可補的，如果存在G的一個子群K，使得G＝HK且H∩K≤Φ（H）.作者在文獻［9］中討論極小子群的弱Φ-可補性對p-冪零群結構的影響，得到了如下結論：令G是有限群，N是G的一個正規子群使得G／N是p-冪零群.若N的每個極小子群均包含在Z（G）中，且N的每個4階循環子群均在G中弱Φ-可補，那么G是p-冪零群.

本文將進一步探討p子群，p2階子群的弱Φ-可補性對p-冪零群結構的影響.文中Gp表示G的一個Sylow p-子群，Φ（G）表示群G的Frattini子群，即G的所有極大子群的交.

一個群類F稱為群系，如果它關于同態像和次直積都是封閉的.一個函數f稱為一個群系函數，如果對于任意素數p，f（p）為一個群系.一個群系F稱為局部的，如果存在一個群系函數f滿足F＝｛G｜G／CG（H／K）∈f（p），對于 G 的所有主因子 H／K 且p｜｜H／K｜｝，此時稱 f局部定義了群系 F，并記作F＝LF（f）.如果一個群系滿足條件：由 G／Φ（G）∈F 總有G∈F，則稱F為飽和群系.眾所周知，一個群系是局部的當且僅當它是飽和的.在本文中，Np表示所有p-冪零群構成的群類.明顯地，Np是子群閉的局部群系.

本文所涉及到的群均為有限群，所用術語和符號都是標準的，請參見文獻［10］.

1 預備知識及引理

引理1.1［9］設G是有限群，H在G中弱Φ-可補，那么：

1）如果H≤K≤G，則H也在K中弱Φ-可補.

2）設H是G的正規子群.如果K在G中弱Φ-可補，那么K／H在G／H中弱Φ-可補.

3）設 E是 G的的一個正規子群，且（｜H｜，｜E｜）＝1，那么 HE／E 在 G／E 中弱 Φ -可補.

引理1.2設G是一個有限群.如果M≤G，那么 MNp≤GNp.

證明因為 M／M∩GNp?MGNp／GNp≤G／GNp，而 G／GNp∈Np，Np是一個子群閉的局部群系，所以

M／M∩GNp∈Np.因此 MNp≤M∩GNp.由此明顯有MNp≤GNp.

引理 1.3［11］設 G 是一個有限群，p 是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1的素因數.如果N是G的p階正規子群，則N≤Z（G）.

引理1.4［10］設H是 G的一個p-子群但不是G的Sylow p-子群，那么H＜NG（H）.

引理 1.5［12］設 G 是一個有限群，p 是｜G｜的滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數.如果 G／L是 p-冪零群并且p3｜L｜，那么G是p-冪零群.

引理1.6設G是一個有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數.若 H≤G 且｜G∶H｜＝p，則 HG.

證明若p＝2，則｜G∶H｜＝2，于是 H?G.若p＞2，由于（｜G｜，p2-1）＝（｜G｜，（p＋1）（p-1））＝1，此時G必為奇數階群，根據奇階定理，G可解.令N是群G的一個極小正規子群且N≤／H，則N是一個初等Abel群.明顯有G＝HN且H∩N?G，因此H∩N＜N.由N的極小正規性，有H∩N＝1.于是｜N｜＝｜G∶H｜＝p.由引理1.3知N≤Z（G）.由于G＝HN，則對任意的 g∈G，必有 g＝ha，其中 h∈H，a∈N.故有g-1Hg＝（ha）-1H（ha）＝a-1（h-1Hh）a＝a-1Ha.因N是初等 Abel群且 N≤Z（G），故 a-1Ha＝H，于是g-1Hg＝a-1Ha＝H，這表明H?G.

2 主要定理

定理2.1設 G是有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1的素因數.設E是G的一個正規子群使得G／E是p-冪零群.若Ep∩GNp的每個階為p或4循環子群均在G中弱Φ-可補，那么G是p-冪零群.

證明假設定理結論不成立，G是極小階反例.

1）G是極小非p-冪零群.事實上，令M是G的任意一個真子群，由于 M／M∩E＝ME／E≤G／E，故M／M∩E是 p-冪零群.不妨令 T＝M∩E，則Tp＝Gp∩T＝Gp∩M∩E≤Ep，因此由引理 1.2，Tp∩MNp≤Ep∩MNp≤Ep∩GNp.由引理 1.1 的 1），Tp∩MNp的每個階為p或4的循環子群均在M中弱Φ-可補.因此（M，M∩E）滿足題設條件，由G的極小性，M是p-冪零群，因此G是極小非p-冪零群.

2）G 有如下性質：（i）G＝Gq∝Gp，其中 Gq是非正規的循環群，GpG.（ii）當 p＞2，exp Gp＝p；當 p＝2，exp Gp≤4.（iii）Gp／Φ（Gp）是 G／Φ（Gp）的極小正規子群.（iv）Gp≤E.

由文獻［13］，G是極小非冪零群.由 It?定理［13］，（i）～ （iii）成立.且 Gp＝GNp是 G 的 Np剩余類，因 G／E 是 p-冪零群，故（iv）成立.此時 Ep∩GNp＝Gp.

3）exp Gp≠p.如果 exp Gp＝p，令 x∈Gp＼Φ（Gp），則 o（x）＝p且〈x〉在 G 中弱 Φ -可補.于是存在G的子群 K使得 G＝〈x〉K且〈x〉∩K≤Φ（〈x〉）＝1，則｜G∶K｜＝｜〈x〉｜＝p.不妨令 H＝Gp∩K.若 H＝1，則｜Gp｜＝｜G∶K｜＝｜〈x〉｜.注意到〈x〉≤Gp，于是 Gp＝〈x〉G 且 G／〈x〉是 p-冪零的.由引理1.3，〈x〉≤Z（G），因此G／Z（G）是p-冪零的.這表明G是p-冪零的，矛盾.因此H≠1.因為 K≤NG（H），由引理1.4，H ＜ NGp（H）.于是｜G∶NG（H）｜＝｜Gp∶NGp（H）｜＜ ｜Gp∶H｜.由于 G＝GpK，｜Gp∶H｜＝｜Gp∶Gp∩K｜＝｜G∶K｜≤p.因此G＝NG（H），HG.這表明 HΦ（Gp）／Φ（Gp）?G／Φ（Gp）.由 Gp／Φ（Gp）的極小正規性，有 HΦ（Gp）＝Φ（Gp）或者 HΦ（Gp）＝Gp.若 HΦ（Gp）＝Φ（Gp），則 Gp∩K＝H≤Φ（Gp），因此 Gp＝Gp∩〈x〉K＝〈x〉（Gp∩K）＝〈x〉Φ（Gp）＝〈x〉.因此〈x〉G.由引理1.3，〈x〉≤Z（G），于是 G／Z（G）是 p-冪零的.這表明 G 是 p-冪零的，矛盾.若 HΦ（Gp）＝Gp，則 Gp＝HΦ（Gp）＝H＝Gp∩K.因此 Gp≤K，這樣導致 G＝K，矛盾.

4）最終矛盾.由 2），exp Gp＝4.令 x∈Gp＼Φ（Gp），則o（x）＝4 且〈x〉在 G 中弱 Φ -可補.于是存在G的一個子群N使得 G＝〈x〉N且〈x〉∩N≤Φ（〈x〉）＝〈x2〉.因此，｜G∶N｜＝｜〈x〉N／N｜＝｜〈x〉／〈x〉∩N｜＝｜〈x〉｜／｜〈x2〉｜＝2，于是必有NG.由 于 Gp／Φ （Gp）∩ NΦ （Gp）／Φ （Gp）G／Φ（Gp），由Gp／Φ（Gp）的極小性可得 Gp∩NΦ（Gp）＝Gp或Φ（Gp）.如果 Gp∩NΦ（Gp）＝Gp，則 Gp≤N，從而〈x〉∩N＝〈x〉，矛盾.如果 Gp∩NΦ（Gp）＝Φ（Gp），則 Gp＝Gp∩〈x〉N＝〈x〉（Gp∩N）＝〈x〉.矛盾.此矛盾表明極小階反例不存在，定理結論成立.

推論2.1設 G是有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1的素因數.設E是G的一個正規子群使得G／E是p-冪零群.若Ep的每個p或4階循環子群均在 G中弱 Φ-可補，那么G是 p-冪零群.

推論2.2設 G是有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1 的素因數.若 Gp∩GNp的每個 p或4階循環子群均在G中弱Φ-可補，那么G是p-冪零群.

推論2.3設 G是有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1 的素因數.若 Gp的每個 p或4階循環子群均在 G中弱 Φ-可補，那么G是 p-冪零群.

推論2.4設 G是有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1 的素因數.若 GNp的每個 p或 4 階循環子群均在G中弱Φ-可補，那么G是p-冪零群.

注1以上定理2.1和推論2.1～2.4中的條件“（｜G｜，p-1）＝1”必不可少.比如 G＝S3，取 p＝3，G每個3階子群在S3中弱Φ-可補，但S3不是3-冪零群.

定理 2.2設 G 有限群，p是｜G｜滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數.設E是G的正規子群使得G／E是p-冪零的.若Ep∩GNp的每個階為p2的子群均在G中弱Φ-可補，則G是p-冪零的.

證明假設定理結論不成立，G是極小階反例.

1）G是極小非 p-冪零群.由引理1.5，有｜Ep｜＞p2.令 L 是 G 的一個真子群，由于 L／L∩E?LE／E≤G／E，因此 L／L∩E 是p-冪零的.因 L／L∩E是p-冪零的，所以LNp≤L∩E.不妨令R＝L∩E.若｜R ｜p≤p2，由引理 1.5，L 是 p- 冪零的.若｜R｜p＞p2.不實一般性，有 Rp∩LNp＝.若｜Rp∩LNp｜p≤p2，則≤p2，則由引理1.5 知 L 是 p-冪零的.若｜Rp∩LNp｜p≥p3，由引理 1.1 的 1）知 Rp∩LNp的每個階為p2的子群均在L中弱Φ-可補.由G的極小性知L是p-冪零的.于是G是極小非p-冪零群.

2）G具有下列屬性：（i）G＝Q∝Gp，其中Q是G的循環非正規子群，GpG；（ii）當 p＞2，exp Gp＝p；當 p＝2，exp Gp≤4；（iii）Gp／Φ（Gp）是 G／Φ（Gp）的極小正規子群；（iv）p3｜｜Gp｜；（v）Gp≤E.

由1）和文獻［13］，G 是極小非冪零群.由 It?定理［13］，（i）～ （iii）成立.由引理 1.2 知（iv）成立.因為Gp＝GNp是 G的 p-冪零剩余類，而 G／E是p-冪零的，故（v）成立.此時 Ep∩GNp＝Gp.

3）Gp不是循環群.假設Gp是循環群.若exp Gp＝p，則｜Gp｜＝p，因而 Aut（Gp）＝p-1.若 exp Gp＝4，則｜Gp｜＝4，因而 Aut（Gp）＝2.由于 NG（Gp）／CG（Gp）Aut（Gp）且（｜G｜，p-1）＝1，有 NG（Gp）／CG（Gp）＝1.由“N／C 定理”，G 是p-冪零的，矛盾.

4）存在Gp的一個子群T使得｜T｜＝p2且 T≤／Φ（Gp）.若 Φ（Gp）＝1，則 4）成立.假設 Φ（Gp）≠1.若｜Gp｜＝p3，則 Gp存在階為 p2的極大子群.由3），Gp不是循環群，于是Gp至少存在2個不同的極大子群 U1和 U2.若 U1和 U2均包含在 Φ（Gp）中，那么 Gp＝U1U2≤Φ（Gp），矛盾.因此，可假設｜Gp｜＞p3.令 x∈Gp＼Φ（Gp）且 a∈Φ（Gp），其中｜a｜＝p.因為 Φ（Gp）≤Z（Gp），所以〈x〉〈a〉≤G.由 2）有｜x｜＝p或｜x｜＝4.若｜x｜＝4，可以選擇 T＝〈x〉.若｜x｜＝p，則｜〈x〉｜｜〈a〉｜≤p2.若｜〈x〉｜｜〈a〉｜＝p，則〈x〉＝〈a〉，矛盾.因此｜〈x〉｜｜〈a〉｜＝p2.此時可取T＝〈x〉〈a〉.

5）最終的矛盾.由4）得｜T｜＝p2.由定理假設T在G中弱Φ-可補.因此，存在G的一個子群K使得G＝TK 并且 T∩K≤Φ（T）.因｜T｜＝p2，故｜Φ（T）｜＜p2.因此，｜T∩K｜＝p或｜T∩K｜＝1.不妨令 H＝K∩Gp且 H≠1.事實上，若 H＝1，因為 G＝TK＝GpK，所以Gp＝Gp∩G＝Gp∩TK＝T（K∩Gp）＝T.因此 G／T＝G／Gp是 p-冪零的.由引理1.5，G 是p-冪零的，矛盾.因此H≠1.下面分2種情況討論：

（i）若｜T∩K｜＝p，則｜G∶K｜＝p.因為 K≤NG（H）且 H ＜NGp（H），所以｜G∶NG（H）｜＝｜Gp∶NGp（H）｜＜ ｜Gp∶H｜＝｜Gp∶Gp∩K｜＝｜G∶K｜＝p，由此可推斷 G＝NG（H），于是 HG.因此，HΦ（Gp）／Φ（Gp）G／Φ（Gp）.由于 Gp／Φ（Gp）是G的極小正規子群，故 HΦ（Gp）＝Φ（Gp）或者HΦ（Gp）＝Gp.若 HΦ（Gp）＝Φ（Gp），則 Gp∩K＝H≤Φ（Gp），因此，Gp＝Gp∩TK＝T（Gp∩K）＝TΦ（Gp）＝T，矛盾.若 HΦ（Gp）＝Gp，則 Gp＝HΦ（Gp）＝H＝Gp∩K，因此 Gp≤K.由此可推出G＝K，矛盾.

（ii）若｜T∩K｜＝1，則｜G∶K｜＝p2.類似于（i）的討論可得｜G∶NG（H）｜＜ p2.若｜G∶NG（H）｜＝1，則 HG.類似情況（i）討論可得矛盾.若｜G∶NG（H）｜＝p，則 NG（H）是 G 的極大子群，由引理1.6知 NG（H）G.令 R＝Gp∩NG（H），則 RG.若R≤Φ（Gp），則 Gp＝Gp∩TK＝Gp∩TNG（H）＝T（Gp∩NG（H））＝TR＝TΦ（Gp）＝T，矛盾.若 R≤／Φ（Gp），則1≠RΦ（Gp）／Φ（Gp）G／Φ（Gp）.因為Gp／Φ（Gp）是 G 主因子，故 Gp＝RΦ（Gp）＝R＝Gp∩NG（H）.因此 Gp≤NG（H），而 K≤NG（H），于是G＝GpK＝NG（H），因此 H ?G，且 HΦ（Gp）／Φ（Gp）G／Φ（Gp）.由于 Gp／Φ（Gp）是 G 的極小正規子群，故 HΦ（Gp）＝Φ（Gp）或者 HΦ（Gp）＝Gp.若 HΦ（Gp）＝Φ（Gp），則 Gp∩K＝H≤Φ（Gp），因此 Gp＝Gp∩TK＝T（Gp∩K）＝TΦ（Gp）＝T，矛盾.若 HΦ（Gp）＝Gp，則 Gp＝HΦ（Gp）＝H＝Gp∩K，因此Gp≤K.由此可推出G＝K，矛盾.此矛盾表明極小階反例不存在，定理結論成立.

推論 2.5設 G 有限群，p是 ｜G｜滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數.設E是G的正規子群使得G／E是p-冪零的.若Ep的每個階為p2的子群均在G中弱Φ-可補，則G是p-冪零的.

推論 2.6設 G 有限群，p是 ｜G｜滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數.若 Gp∩GNp的每個階為 p2的子群均在G中弱Φ-可補，則G是p-冪零的.

推論 2.7設 G 有限群，p是 ｜G｜滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數.若Gp的每個階為p2的子群均在G中弱Φ-可補，則G是p-冪零的.

推論 2.8設 G 有限群，p是 ｜G｜滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數.若GNp的每個階為p2的子群均在G中弱Φ-可補，則G是p-冪零的.