循環(huán)卷積在濾波多載波干擾分析中的應用＊

申江慢

循環(huán)卷積在濾波多載波干擾分析中的應用＊

申江慢

（麗水職業(yè)技術學院，浙江 麗水 323000）

循環(huán)卷積是數(shù)字信號處理領域中的核心數(shù)學工具之一，是連接時頻域之間的重要橋梁。干擾分析一直是濾波多載波技術的難題之一，受限于較長的濾波器長度，符號間干擾不可忽略。直接用線性卷積進行分析會導致公式形式繁冗，且各級求和上下限高度耦合，導致后續(xù)分析難以推進。通過延長觀察窗口，構(gòu)成物理上循環(huán)移位的結(jié)構(gòu)，將循環(huán)卷積引入到濾波多載波的干擾分析中，將時域卷積轉(zhuǎn)換成頻域點乘，大大降低了分析難度。通過仿真驗證，提出的分析方法可以準確構(gòu)造出干擾的表達式，為后續(xù)的信干比分析及濾波器設計等工作打下了很好的基礎。

循環(huán)卷積；線性卷積；濾波多載波；干擾分析

1 引言

濾波多載波技術是5G后（5G and beyond）的基礎波形技術[1]，通過對子載波或者子帶進行濾波，大大降低干擾泄漏（out-of-band emission，OOBE），從而將用戶間干擾控制在很小的范圍之內(nèi)。但是大部分的濾波多載波技術中使用的濾波器長度都遠超循環(huán)前綴（cyclic-prefix，CP）的長度，這使得濾波多載波接收信號不再具有類似CP-OFDM接收信號中循環(huán)移位的特殊結(jié)構(gòu)，符號間干擾（inter-symbol interference，ISI）無法避免[2]，這也使得循環(huán)卷積無法直接應用到其中。一種近似的分析方法是忽略ISI的存在，直接在頻域進行干擾分析，這樣處理的弊端是非常明顯的，無法分析ISI及異步傳輸對于干擾的影響，也無法準確分析子載波間干擾（inter-carrierinterference，ICI）和子帶間干擾的影響。更準確的分析方法是在時域展開干擾分析，目前在通用濾波多載波（universal filtered multicarrier，UFMC）[3]、基于成型濾波器函數(shù)設計的交錯正交幅度調(diào)制正交頻分復用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing With Offset Quadrature Amplitude Modulation，OFDM/OQAM）[4]中都有類似的分析方法。這樣分析的優(yōu)點是準確度高，但是在（filtered Orthogonal Frequency Division Multiplexing，f- OFDM）[5]中，傳統(tǒng)的直接用線性卷積在時域開始分析的方法并不適用。因為f-OFDM中收發(fā)兩端都有基于子帶的濾波操作，而且濾波器長度遠超CP長度，由于發(fā)送濾波器、多徑信道和接收濾波器三者都可以視為線性時不變系統(tǒng)，因此接收時域信號相當于發(fā)送時域信號依次和這三者線性卷積的結(jié)果。如果直接用線性卷積對接收信號進行建模，雖然邏輯上最容易理解，但是由于線性卷積的特點，多級線性卷積操作之間的上下限相關性很強，這使干擾本身的建模難度非常大，而且對后續(xù)的方差推導等工作帶來諸多不便。

2 卷積介紹

2.1 線性卷積

線性卷積是數(shù)字信號處理領域的重要數(shù)學工具，尤其是對線性時不變離散時間系統(tǒng)而言，它描述的是線性移不變系統(tǒng)的輸入輸出關系，體現(xiàn)系統(tǒng)的內(nèi)在特性。假設一個輸入序列（）輸入到一個單位脈沖響應為（）的線性移不變系統(tǒng)中，由于線性系統(tǒng)的疊加屬性，系統(tǒng)輸出可以表示為：

式（1）中：*表示線性卷積運算。

當（）和（）均為有限長，且長度分別為X和H時，修正為：

從式（2）看出，線性卷積等效于用（）的抽頭加權（）的各個時延版本，然后再求和。

舉例說明，假設（）=[1，2，2]，（）=[1，2，3，4]，則（）=（）*（）可以通過如下計算過程得到：

（）=[1，4，9，14，14，8]，由式（3）可知，線性卷積中存在移位、加權和求和等操作，而且計算結(jié)果的序列長度為原序列長度和減1。

2.2 循環(huán)卷積

與線性卷積相對的，（）和（）的循環(huán)卷積可以表示為：

由式（4）可知，循環(huán)卷積的基本計算過程也是由移位、加權和求和三步組成，但和線性卷積不同的地方在于，線性卷積的移位是線性右移，這會導致輸出序列長度變長。而循環(huán)卷積的移位是循環(huán)右移，并不會增加輸出序列的長度[6]。為了說明情況，同樣以上面的例子為例，序列（）=[1，2，2]和（）=[1，2，3，4]的循環(huán)卷積結(jié)果為：

循環(huán)卷積的應用主要在離散傅里葉變換（DFT）中，在DFT中，兩個序列循環(huán)卷積的DFT等價于它們各自DFT變換的點乘，即：

循環(huán)卷積的主要意義在于，配合DFT進行適當時頻轉(zhuǎn)換，可以通過點乘來代替卷積運算，降低分析難度和運算量。

2.3 線性卷積和循環(huán)卷積的相互轉(zhuǎn)化

從上面的分析可知，一般情況下，序列（）和（）的線性卷積和循環(huán)卷積由于移位的規(guī)則不一樣，造成其輸出序列的長度及數(shù)值不同。但是如果將兩個序列分別先通過補零延長到X+H－1以上，得到（）和（），則：

只要適當延長卷積操作的窗口，就可以利用循環(huán)卷積來計算線性卷積[7]。

3 應用對比

OFDM的時域發(fā)送信號可以表示為：

式（8）中：n（）為第個OFDM符號中第個樣點的時域信號；為子載波數(shù)；n（）為第個OFDM符號中第個子載波上的頻域信號。

3.1 基于線性卷積的干擾分析

在濾波多載波的收發(fā)機中，收發(fā)兩端的濾波器以及多徑信道都可以建模為線性移不變系統(tǒng)，因此可以非常直觀地使用線性卷積對接收信號進行建模。

時域發(fā)送信號經(jīng)過發(fā)送濾波、過多徑信道和接收濾波之后，干擾結(jié)構(gòu)如圖1所示。

注：LO為由發(fā)送濾波器、多徑信道及接收濾波器組成的等效信道he（k）的長度；LCP為CP的長度；LS為群延時的長度。

從圖1看出，會對第個符號n（）造成pre干擾的是第－1個符號n－1（）中的倒數(shù)個樣點，即n－1（），－（O－1－CP－S）≤≤－1。數(shù)據(jù)信號n－1（）、等效濾波器e（）、多徑信道（）三者線性卷積之后得到+O－1個樣點。直觀地用線性卷積對接收信號進行建模：

由于發(fā)送濾波器、多徑信道、接收濾波器都可建模為線性移不變系統(tǒng)，是可以交換順序的。

不妨將發(fā)送濾波器和接收濾波器視為一個長度為的等效濾波器e（），原來的等效信道即為等效濾波器和多徑信道的卷積，即：

可以得到：

e（）中0≤≤－1，需要滿足：

不難發(fā)現(xiàn)，使用線性卷積分析干擾雖然理解上非常直觀，但是多個線性卷積在表示上會引起多層求和運算，導致接收信號的表達式非常繁冗。

此外，加上多層求和運算變量之間的高度耦合，會導致變量范圍界定困難，并造成干擾表達式被割裂為多個多項式之和的形式。

這些結(jié)果給后續(xù)的干擾方差計算帶來了非常大的難度，不利于干擾分析的推廣應用。

3.2 基于循環(huán)卷積的干擾分析

為了將三者的線性卷積轉(zhuǎn)換為循環(huán)卷積，將三者各自的尾部補零至≥+O－1個樣點之后，pre干擾部分可以表示成下式：

對比式（9）和式（11）不難發(fā)現(xiàn)，使用循環(huán)卷積進行干擾分析可以使干擾表達式更緊湊，避免了多重變量耦合和解析式分段，有利于后續(xù)的進一步干擾分析。

4 仿真驗證

為了驗證本文所提出方法的準確性，本文使用蒙特卡洛方法進行仿真，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設置

采樣率/MHz30.72 子帶寬度/kHz720 IDFT長度2 048 CP長度32 子載波分布位置148～195 調(diào)制階數(shù)4QAM 每幀中的Block數(shù)14 濾波器長度1 024 多徑信道Extended Pedestrian A model 均衡方法迫零均衡 蒙特卡洛實驗次數(shù)10 000

為了驗證用循環(huán)卷積構(gòu)造出的干擾的準確性，首先給出原始的頻域接收信號星座圖，如圖2所示。

圖2 原始接收信號星座圖

如圖2所示，原始的接收信號的星座點凌亂地散布在目標星座點附近，這是因為在濾波多載波中，濾波器的長度大于CP長度，單純?nèi)コ鼵P的操作無法去除ISI等干擾。去除干擾后的接收信號星座如圖3所示。

圖3 去除干擾后的接收信號星座圖

如圖3所示，在去除式（11）重構(gòu)的干擾之后，剩余干擾被完全去除，完美恢復出了功率歸一化之后的發(fā)送信號。

進一步地，對pre的仿真功率進行驗證，如圖4所示。

圖4 驗證ISIpre的仿真功率

從圖4可以清楚地看出，pre功率的實際仿真和理論計算值非常貼近，這進一步驗證了本文提出的基于循環(huán)卷積的干擾分析的可行性和準確性。

5 總結(jié)

干擾分析是波形技術發(fā)展的基礎性工作，對于后續(xù)的信道估計與均衡、同步估計與補償?shù)榷加兄苯拥年P系。

本文針對f-OFDM的結(jié)構(gòu)特點，通過延長時域觀察窗將循環(huán)卷積引入到干擾分析中。

從頻域關系出發(fā)，通過時頻轉(zhuǎn)化，將不同符號間的多種子干擾成功解耦，避免了傳統(tǒng)干擾分析方法中直接從時域出發(fā)，使用線性卷積進行干擾建模，導致多個符號間各種子干擾耦合嚴重的問題。

從算法上看，本文提出的分析方法思路清晰，結(jié)構(gòu)簡單，非常便于后續(xù)的干擾方差推導等進一步分析。

另外，本文算法的準確性也得到了仿真驗證，去除理論干擾后的接收信號得以完美恢復，根據(jù)理論計算的干擾功率曲線和仿真曲線也基本吻合，達到了設計預期目標。

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TN92

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2020.02.006

2095－6835（2020）02－0022－04

麗水職業(yè)技術學院青年基金項目“循環(huán)卷積在濾波多載波干擾分析中的應用研究”（編號：LZYC201801）

〔編輯：嚴麗琴〕