如何對初中數學課本中的“探究活動”進行深度開發

虞麗麗

(北京外國語大學附屬杭州橄欖樹學校 浙江杭州 310000)

在目前的課堂探究活動教學中，主要存在兩種傾向：一種是忽視探究活動的過程，或減少學生必要的思考和嘗試的過程，直接把結論拋給學生；另一種是探究活動的過程拉得太長，本來已經水到渠成的時刻，卻遲遲不見結論，導致后續教學匆忙收場。這兩種傾向都不利于課堂教學的順利進行。

探究活動的“增效”教學，是以教師尊重和了解教材為前提，充分發揮個人智慧，建設性地對課本上的探究活動的教學內容進行加工和深度開發，進一步適應學生的需求和教學情境，以教材為本，又高于教材。[1]

一、教學片段與思考

片段一：增強變式，提升思維含量

出示原題(八上數學課本P122)如圖，DF，EF是△ABC的兩條中位線。我們探究的問題是：這兩條中位線和三角形的兩條邊所圍成的四邊形的形狀與原三角形的邊或角有什么關系？建議按下列步驟探索：

(1)圍成的四邊形是否必定是平行四邊形？

(2)在什么條件下，圍成的四邊形是菱形？

(3)在什么條件下，圍成的四邊形是矩形？

(4)你還能發現其他什么結論嗎？

師1：問(1)的答案和理由是什么？

生1：一定是平行四邊形，由中位線的性質可以證明。

師2：有幾種方法可以證明？

生2：根據平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

根據平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

根據平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

師3：這位同學回答得非常全面。對于問(2)，哪位同學心中已經有了答案？

生3：因為有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以需要線段BD=BE，即線段AB=BC時，四邊形是菱形。

師4：說得非常好。誰來回答問(3)？

生4：因為有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以需要直角，即∠ABC=90°時，四邊形是矩形。

師5：同學們說得非常好，那么對于問題(4)，大家有什么結論呢？

生5：四邊形DBEF的面積是三角形ABC面積的一半，四邊形DBEF的周長等于AB+BC。

生6：當線段AB=BC且∠ABC=90°時，四邊形是正方形。

師6：看來這位同學預習過后面的知識了，說得很好。那么接下來我們再來看一下我們在第四章做過的一個例題(書本P99)。

已知：如圖，在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。

求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

分析：由E，F，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點，聯想到運用三角形的中位線定理來證明。

師7：連接四邊形各邊中點所得的新四邊形我們稱它為中點四邊形。

變式1：中點四邊形的形狀與原四邊形有什么關系？建議按下列步驟探索：

(1)圍成的中點四邊形是否必定是平行四邊形？

(2)在什么條件下，圍成的中點四邊形是菱形？

(3)在什么條件下，圍成的中點四邊形是矩形？

(4)你還能發現其他什么結論嗎？

變式2：特殊四邊形的中點四邊形是什么圖形？有了前面的學習，對于這個問題，學生都能夠輕松地回答。

變式3：順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是＿＿＿。

變式4：順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形，則下列四邊形滿足條件的( )

①平行四邊形 ②菱形 ③對角線互相垂直四邊形

A.①③ B.②③ C.①② D.①②③

在探究活動的教學過程中，當學生學會某種基本解法時，教師應主動引導學生發掘題目的潛在價值，通過改變題目的條件、探求結論或改變情境等多種變式途徑，強化學生對方法和知識的理解，幫助他們對問題進行多層次多角度的思考。本次探究活動，通過一題多變，讓學生充分認識到，要想讓一個四邊形成為特殊的四邊形，不僅可以從原圖形的邊和角去考慮，對角線對中點四邊形的形狀也是起了舉足輕重的作用。對于特殊的平行四邊形，它的中點四邊形只要去考慮對角線的數量和位置關系即可。一題多變，對提高學生的應變能力、思維能力是大有益處，也給本次探究活動的學習增加了很多意想不到的效果。[2]

片段二：畫一畫——再觀察——細推敲——得結論

出示原題(八上數學課本P63)如圖2-26，有甲、乙兩個三角形。甲三角形的內角分別為10°，20°，150°；乙三角形的內角分別為80°，25°，75°。你能把每一個三角形分成兩個等腰三角形嗎？畫一畫，并標出各角的度數。

學生動手畫一畫，計算角度，然后師生一起分享最后得出的答案。

師1：請同學們觀察這兩個三角形的三個內角的度數，你發現什么特殊之處？

生1：甲三角形有一個角是另一個角的2倍，乙圖中有一個角是另一個教的3倍。

師2：這位同學觀察的很仔細，那么這2倍，3倍之間，有什么玄妙之處呢？接下來請你設計一個三角形，使這個三角形可以被分割成兩個等腰三角形。

小組討論

……

師生共同歸納得出：

若BD=AD，則△ABD為等腰三角形，要使△ACD為等腰三角形，則

①AD=CD，則α-β=γ，即α=90°；

②AC=CD，則α-β=2β，即α=3β；

③AC=AD，則γ=2β。

師3：在Rt△ABC中，∠C=90°，問：△ABC一定能夠被分割成兩個等腰三角形嗎？如果能，怎么分？

生2：能，分直角，把直角分成和兩個銳角相等的角，就可以得到兩個等腰三角形。

師4：在△ABC中，∠B=β，∠A=3β，問：△ABC一定能夠被分割成兩個等腰三角形嗎？如果能，怎么分？

生3：分∠A，也就是3倍角，就可以得到兩個等腰三角形。

師5：在△ABC中，∠B=β，∠C=2β，問： 一定能夠被分割成兩個等腰三角形嗎？

生4：分∠A，也就是分第三個角。

師6：在△ABC中，設∠A=36°，∠B=96°，∠C=48°，怎么畫呢？

生5：畫不出來。

師7：三角形有一個角是另一個角的2倍時，不一定能夠被剪成兩個等腰三角形。那需要增加什么條件呢？這個角有什么限制呢？大家分組討論。

……

生6：第三個角要大于45°。

師8：請一位同學最后歸納總結一下。

生7：原三角形是直角三角形，分直角；

原三角形一個角是另一個角的3倍，直接分3倍角；

原三角形一個角是另一個角的2倍，當第三個角大于45°時，分第三個角，當第三個角小于等于45°時，不能分成兩個等腰三角形。

師9：這位同學總結得非常到位，接下來我們一起來看一道中考題。

中考鏈接：

(1)如圖1中，∠C=90°，請用直尺和圓規作一條直線，把△ABC分割成兩個等腰三角形(不寫作法，但須保留作圖痕跡)。

(2)已知內角度數的兩個三角形如圖2、圖3所示。請你判斷，能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形？若能，請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數。

思考提升：已知等腰△ABC的頂角∠A=72°，你會將等腰△ABC分割成三個小等腰三角形嗎？

本次探究活動的設計，從教材上的動手畫一畫開始，能夠調動起學生學習的積極性。本題完成之后，如果教師就此打住，那么學生的收獲就僅僅局限在這個題目上，能力不能夠得到很好的提升。教師隨機拋出一個問題“請你設計一個三角形，使這個三角形可以被分割成兩個等腰三角形”。學生從問題的回答者轉變成了問題的設計者，充滿了挑戰。由于問題的切口比較大，加之這樣的設計題本身有難度，適合小組合作完成。教師給予學生一定的思考時間，在師生的共同努力下，給出清晰、完整的答案。“中考鏈接”這個環節的設計，能夠很好地檢驗學生在前一環節參與探究活動的實效性。“思考提升”這個環節的設計能夠進一步豐富學生的課外學習，由易到難實行正遷移，并能夠引發聯想、激活思維、學習增效，從而順利解決問題。[3]

二、教師在探究活動中需要注意的方面

(一)教師扮演的角色

數學課程標準(實驗稿)指出：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。在完成“探究活動”這個環節時，學生的積極參與很重要，同時也要強調教師的引導作用。教師在備課這個環節會花費比較多的時間，對知識與知識之間的內在聯系要求耳熟能詳，對于哪些探究活動適合花時間進行深度開發，哪些不適合，要做到心中有數。

(二)三個關注點

從數學探究活動的角度來看，在具體設計數學探究活動時，有以下幾點需要特別關注：

1.多關注學生的數學思維方法。在每次探究活動中，教師應該多向學生發問：這個問題你是怎么想的？理由是什么？還有其它的方法嗎？引導學生進行積極的思考。只有這樣，教師才能讓學生們更多地參與進來，在活動中提升思維含量，增效學習。

2.多關注數學探究活動的“內化”。在探究活動中，尤其是幾何的探究活動中，教師要設計相關的問題，引起學生進行抽象或更進一步的思考，并由此構建起相應的數學知識。如片段一，為了清晰地了解一個四邊形成為特殊四邊形所需要的條件，教師設置了幾個遞進的問題：開始的問題更多地讓學生通過動手畫圖證明，后面的問題是引導學生對具體的特殊四邊形進行思考，這正是數學課堂所要關注的。對于片段二，需要花費的時間比較多，教師就需要另外單獨安排出一節課進行探究活動。

3.內容選取要恰當。對于探究活動課，教師更應關注學生的最近發展區，讓學生積極參與、主動探索，讓學生在探索和思考的過程中積累數學活動經驗，感悟數學思想。上面兩個片段的設計符合“跳一跳摘桃”的“最近發展區”理論，有了方式、方法，學生在解決類似問題時，就能化繁為簡，扣住問題的本質屬性，為問題的解決增效加分。

通過對探究活動的深入專研，教師不僅個性化創造性地使用了教材，更是為了讓每一次“探究活動”都能夠伴隨教師“關注學生”的目光，成為促進學生進步的又一新起點，從而最終得到了更好的教學效果，達到“增效”的目的。同時，對于探究活動的深度開發，教師可以使學生在小組活動交流中互相促進，掌握探究方法；學生在體驗中提升能力，提高數學素養；在教師的引導下，學生可以構建自己的數學體系，感受數學所具有的獨特的魅力。