基于范希爾理論的“圓的標準方程”教學(xué)

李良

[摘要]范希爾理論是針對幾何教學(xué)提出的，但它體現(xiàn)的是認識事物的一般規(guī)律，因此對其他方面的教學(xué)也有很好的借鑒價值.文章借助范希爾理論具體分析學(xué)生掌握圓和圓的標準方程所需要經(jīng)歷的層次，并給出每一層次的教學(xué)案例及具體設(shè)計意圖.[關(guān)鍵詞]范希爾理論;幾何思維水平;圓的標準方程

[中圖分類號]G633.6? [文獻標識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0028-02

“圓的標準方程”是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一.圓作為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典內(nèi)容，在高中階段被安排在直線之后.通過直線方程的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步了解了用代數(shù)方法研究幾何問題.本節(jié)內(nèi)容的研究為后續(xù)學(xué)習(xí)橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程提供思路，在整個平面解析幾何中起承上啟下的作用.筆者借助范希爾理論對本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)進行思考，希望以此強化教學(xué)效果，提升學(xué)生的理解能力.

一、范希爾幾何思維水平理論簡述

荷蘭學(xué)者范希爾夫婦對學(xué)生的幾何思維進行了大量的研究，通過研究他們發(fā)現(xiàn)：在教學(xué)過程中，教師的教學(xué)或者教材的專業(yè)知識和語言經(jīng)常會超過學(xué)生的思維，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率低下，教學(xué)效果不佳.由此，他們總結(jié)出幾何思維的五個水平以及相對應(yīng)的五個階段.水平0：直觀感受.學(xué)生能注意到直觀形狀的某些特征;能通過整體輪廓辨認圖形;能畫圖或仿畫圖形，使用標準或不標準名稱描述幾何圖形.水平1：分析.學(xué)生能分析圖形的組成要素及特征，并以此建立圖形的特性，能根據(jù)組成要素比較圖形，會利用某一性質(zhì)建立圖形間的關(guān)系、圖形性質(zhì)的順序，進行圖形的分類.水平2：抽象/關(guān)聯(lián).學(xué)生能建立圖形及圖形性質(zhì)間的關(guān)系，能形成抽象定義，通過圖形與性質(zhì)的交互聯(lián)系重組所獲得的思想.水平3：形式推理.在公理化系統(tǒng)中建立定理，能夠以此進行形式推理.水平4：嚴密性數(shù)學(xué).在數(shù)學(xué)系統(tǒng)下進行形式推理，分析比較不同的集合系統(tǒng).

與之對應(yīng)，范希爾夫婦提出五個教學(xué)階段，便于指導(dǎo)教師教學(xué).階段1：學(xué)前咨詢.教師和學(xué)生就所學(xué)對象進行雙向交談.階段2：引導(dǎo)定向.教師仔細安排活動順序，使學(xué)生認識到學(xué)習(xí)進行的方向，逐漸熟悉所學(xué)對象的結(jié)構(gòu)特性.階段3：闡明.教師提供最低程度的提示，學(xué)生明確詞匯意義，能夠表達內(nèi)在結(jié)構(gòu)的看法，開始形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng).階段4：自由定向.學(xué)生能碰到多步作業(yè)或能以不同方式完成作業(yè)，在尋找方法和解決問題的過程中獲得經(jīng)驗.階段5：整合.學(xué)生回顧自己所用的方法并形成一種觀點，教師對學(xué)生理解的東西做全面的評述，幫助學(xué)生完成這一過程.

范希爾理論最初是針對幾何教學(xué)提出的，但它也揭示了人類認識事物的一般規(guī)律，對促進學(xué)生有效學(xué)習(xí)與理解，指導(dǎo)教師制訂有效的教學(xué)計劃都有重大的意義.

二、學(xué)生掌握圓需要經(jīng)歷的層次圓是日常生活中非常常見的圖形，對它的認識是一個不斷深化發(fā)展的過程，結(jié)合范希爾理論，筆者認為學(xué)生掌握圓需經(jīng)歷以下五個層次.

層次1.對圓的初步感知.

該層次相當于范希爾理論中的直觀感知水平，學(xué)生能從生活中體會到圓的存在，從而產(chǎn)生研究圓的興趣.

【案例1】

方案1.現(xiàn)實生活中有許多圓的例子，讓學(xué)生舉出幾個.

方案2.展示硬幣、圓形盾牌、奔馳車標、奧迪車標等的圖片，問學(xué)生從中能發(fā)現(xiàn)什么幾何圖形.

方案3.播放游樂園的簡介視頻（內(nèi)含摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬等）.

設(shè)計意圖：方案1是從學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)進行課程導(dǎo)入.此設(shè)計基于兩點：（1）圓作為現(xiàn)實中的常見圖形普遍存在于日常生活.（2）作為高中生，經(jīng)過義務(wù)教育階段知識、經(jīng)驗的積累對于“圓”這個名詞已經(jīng)有了清楚的認知.因此，問題一經(jīng)拋出，學(xué)生就能發(fā)揮自身的能動性，將客觀事物的形象完美地呈現(xiàn)在腦海中.方案2和方案3是教師帶動學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形導(dǎo)入課程.方案2選擇的圖形是靜態(tài)的，此時整個圓的形象更容易呈現(xiàn).圖片中放置了兩個汽車車標，目的是初次呈現(xiàn)圓與圓的區(qū)別：大小不一，位置不同.方案3中視頻展現(xiàn)的圓是動態(tài)的，與接下來圓的作法可以做到有機街接.在實際操作中也可以將這三個方案結(jié)合使用.

層次2.對圓概念的初步認識.

該層次相當于范希爾理論中的分析水平.在此水平上，學(xué)生清楚構(gòu)成圓的要素與特征，但還不能用數(shù)學(xué)語言進行描述.本層次的目標是經(jīng)過教師的“引導(dǎo)定向”，讓學(xué)生學(xué)會畫圓，為之后圓的定義與求圓的標準方程做好鋪墊.

【案例2】探究如何畫圓

師：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何畫圓？

預(yù)設(shè)答案：使用圓規(guī)作圓，將圓規(guī)的兩只腳張開一定的角度，將其中一只腳放在固定點上，另一只腳緊貼點所在平面，然后轉(zhuǎn)動圓規(guī)一周，畫出的圖形就是圓.

師：如果沒有圓規(guī)，你能畫圓嗎？（學(xué)生思考）

預(yù)設(shè)答案：（可能情況）

1.固定兩根手指，類似圓規(guī)作圖.

2.尺子上有圓孔，沿著圓孔邊緣畫一圈.

3.比著圓形器物（如硬幣等）的邊緣畫一圈.

4.用電腦軟件繪制圓.

師：如果給你一根線（無彈性），你能畫出圓嗎？

生：能.（學(xué)生在紙上先固定線的一端，在線的另一端綁支筆，拉緊線后繞一圈畫圓）

設(shè)計意圖：通過不同形式畫圓，使學(xué)生逐步建構(gòu)圓的概念.數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動地構(gòu)建數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，并能促進師生的共同發(fā)展.教師要創(chuàng)造適當?shù)沫h(huán)境，以造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，滿足后續(xù)的學(xué)習(xí)需要.最后用線作圓為之后圓的概念的引出起到鋪墊作用.

層次3.對圓概念的抽象認識.

該層次相當于范希爾理論中的抽象關(guān)聯(lián)水平.在這一水平，學(xué)生能掌握建構(gòu)圓所要的要素，能借助數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系進行思維活動，能運用數(shù)量關(guān)系判定幾何圖形是否為圓.

【案例3】

問題1：用線作圖可以得到哪些圖形？

預(yù)設(shè)答案：線段、扇形和圓.

問題2：線是否可以有彈性？為什么？在作一個圓的過程中觀察哪些量是固定的？

預(yù)設(shè)答案：線長不能有彈性，不然畫不出圓.其中一端點定下后是固定的，線長固定.

問題3：結(jié)合上面的討論，試總結(jié)圓是什么樣的點的軌跡？

預(yù)設(shè)答案：圓是平面內(nèi)到定點的距離為定長的點的軌跡，注意前提是“平面內(nèi)”，與球相區(qū)別.定點為圓心，定長為半徑.

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)定義是對客觀現(xiàn)象的理性認識，本層次致力于用準確的數(shù)學(xué)語言描述圓的定義.通過師生對話，增進知識的理解，活躍課堂氣氛.

層次4.對圓概念的全面把握.

該層次是范希爾理論中的形式推理水平.此時學(xué)生能用演繹推理的方式證實猜想，得到圓的標準方程，并將該知識納入自己的認知結(jié)構(gòu).

【案例4】

問題1：如何用集合語言描述以點C為圓心，r為半徑的圓？

預(yù)設(shè)答案：設(shè)M是圓上任意一點，則圓上點的集合為：[={M}.

直角坐標系中如何研究圓的標準方程？

問題2.解析幾何問題研究的基本思想是什么？

預(yù)設(shè)答案：數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合可以形助數(shù)也能用數(shù)解形，由之前的直線內(nèi)容可知，解析幾何側(cè)重于后者.

問題3：如何建立圓的標準方程.

基本步驟：建坐標系，設(shè)點，找等量關(guān)系，代入坐標，化簡.

設(shè)圓心C為（a，b），點M為（x，y），由P={M}可得

上式兩邊平方，得（x-a）²+（y-b）²=r²，這就是我們所要推導(dǎo)的圓的標準方程.

問題4.寫出當C（0，0），半徑為r時圓的標準方程;當r=0，圖形是什么？

預(yù)設(shè)答案：圓的標準方程為x²+y²=r²;圖形為點.

問題5.圓心與半徑分別決定了什么？

預(yù)設(shè)答案：圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大小.

問題6.如何判斷點與圓的位置關(guān)系.

預(yù)設(shè)答案：點與圓心的距離為d，比較d與r的大小關(guān)系來判斷點與圓的位置關(guān)系.

整個教學(xué)過程，師生積極參與，逐步建構(gòu)知識，完成方程的推導(dǎo).

設(shè)計意圖：從集合描述入手，借助數(shù)形結(jié)合思想，利用舊知識獲得新的知識，同時激發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生處理問題和解決問題的能力.

層次5.對圓概念的形式化認識.

該層次是范希爾理論中的嚴密性數(shù)學(xué)水平.在此水平，學(xué)生對圓的概念進入形式化階段，能用圓的知識解決一些簡單的問題，同時對笛卡兒思想、數(shù)形結(jié)合思想和方程思想有了進一步的感悟.

【案例5】圓的標準方程的運用

1.已知圓的標準方程，求圓心和半徑.

①（x-3）²+（y+4）²=r²;

②（x+1）²+y²=r²;

③x²+（y-2）²=r².

2.通過已知條件求圓的標準方程.

①求以點C（0，2）為圓心，r=1為半徑的圓的標準方程.

②設(shè)點A（2，3），B（4，1），求以線段從為直徑的圓的標準方程.

3.學(xué)生分組討論，借鑒1、2互相編題解題.

4.圓的實際應(yīng)用（能力提升題）.

已知隧道的截面是半徑4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，問一輛寬2.7 m，高3 m的貨車能否駛?cè)脒@個隧道？

設(shè)計意圖：選取典型例子，幫助學(xué)生深化對圓的定義和標準方程的理解.組織編題解題的活動目的是推進學(xué)生自主變式訓(xùn)練，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，提升教學(xué)效果.加入應(yīng)用題表明數(shù)學(xué)是客觀事物的抽象，有著實際的應(yīng)用價值，能增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

人類認識事物的過程中需要經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象.范希爾理論正揭示了人類認識事物的一般規(guī)律，筆者借此理論比較具體地分析了學(xué)生對圓和圓的標準方程的掌握需要經(jīng)歷的層次.基于此，教師應(yīng)按照學(xué)生的實際情況進行因材施教，引導(dǎo)學(xué)生對概念不斷深化理解，并在此基礎(chǔ)上推進實際應(yīng)用.

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