“數形結合”思想在小學數學教學中的應用

林花

“數學思想方法是數學的靈魂。如果用一個直角坐標系衡量學生的數學素質，數學知識、技能就是橫軸上的因素，而數學思想方法就是縱軸上的內容，淡化或忽略思想方法的教學，都不利于學生更好地掌握數學知識和能力的發展。”作為眾多思想中的一種，“數形結合”思想的內涵是什么？該如何把它應用到小學數學教學中，以提高學生的數學素養呢？下面來談談筆者的粗淺認識。

一、對“數形結合”思想的理解

（一）何謂“數形結合”

“數形結合”一詞最早出現在華羅庚先生《談談與蜂房結構有關數學問題》的科普小冊子中。這個名詞推出不久，立即獲得了數學界的普遍認同。早期的“數”是指古代的計數，現在表示數量的概念；“形”早期是古代的形狀，現在表示空間的概念。數形結合是把數或數量關系與圖形對應起來，借助圖形研究數量關系或者利用數量關系研究圖形的性質，是一種重要的數學思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化。

劉加霞教授曾經于2012年在《“數形結合”思想的內涵、發展及其在小學數學教學中的滲透》中提出：“‘數主要是指數、數量關系式、運算式、函數、關系式、方程等，其核心是抽象的代數式、函數解析式、方程；‘形則主要指幾何圖形與直角坐標系下的函數圖像。”

但是也有人認為，“數”指數學術語、數學符號、數學公式及用語言文字表現的數量信息和呈現方式；“形”不僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實物類教學資源等形象材料，以及用這些材料呈現數學信息的方式。

以上可知，研究者們對“數形結合”思想中“數”和“形”所指為何物，理解并不相同。但從小學數學一線教師教學實際的角度來說：如何理解“數”與“形”的內涵固然重要，而能從“數”與“形”緊密聯系、互相解釋和相互轉化的角度認識和思考問題，且在當下的課堂教學中滲透這一思想方法，以提升學生的數學素養可能更加重要。

（二）“數形結合”與“幾何直觀”之辨析

《課程標準（2011年版）》提出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”而有相當一部分的數學老師將其與“數形結合”混為一談。顯然，這兩個概念都是以圖形作為對象，凸顯了幾何圖形在數學課程以及數學學習中的重要作用。但“幾何直觀”是以圖形為研究問題的載體，看圖想事，看圖說理，更多指向“直觀”；而數形結合，“形”只是研究問題的一個方面，可能是“以形助數”，也可能是“以數解形”，更突出的應是二者的“結合”，但“結合”的最終目的是為了幫助學生形成數學直觀能力。通俗地說，數形結合是一種數學思想，幾何直觀是一種教、學的手段。在課堂教學中，常常會在“數形結合”的思維模式下，采用“幾何直觀”的手段解決復雜的問題。

二、“數形結合”思想在小學教學中的應用

《課程標準（2011年版）》指出：“數學中有一些重要內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的，如分數、函數、概率、數形結合、邏輯推理、模型思想等。”明確了“數形結合”思想之于數學學習的重要價值以及逐步理解和掌握的過程特征。

數形結合思想的核心就是，數學的兩大研究對象“形”與“數”之間的相互轉化、相互表達和相互解決。而這種“相互轉化、相互表達和相互解決”則是數學教學培育學生建立數學直觀能力的重要方式。

（一）形數轉化，形象直觀

就“數”與“形”的“相互轉化”而言，我們可以利用“形”來加深對“數”的理解，也可以通過“數”加深對“形”的理解。比如：在“用數對確定位置”一課的教學中：

指名學生說出張亮的位置。

學生可能會說：周明的左邊，孫芳的后面，也可能會說：第二組第3個，還可能會說：第2組第3行等。

師引導學生用“列、行”來表達，并強調：一般先說列，再說行。

第二個環節在學生能用語言正確描述物體位置后，將情境圖抽象為網格圖（如上圖2），再描述同學的位置或根據描述的位置找出是哪位同學。

第三個環節要求學生將表示位置的方法變得更簡練一些，最后引出用“數對”來表示位置。

這節課中，教師引導學生用行與列、組與行、橫排與豎排的“序數”等“數”（數對）來幫助小學生明確人或物在“二維平面”上的位置。并通過各種練習以加深學生看到“形”就想到“數（數對）”，熟練地用“數（數對）”來表達“形”，形象、直觀地實現“由形到數，由數至形”的良好轉化與表達。

再譬如，在學習“認識負數”一課中，教師可以通過溫度計“零上溫度與零下溫度”、往東和往西（或南北）相反方向走幾步的“距離”、收入或支出等“形”（數軸）來幫助小學生理解正、負數要表達的“兩種相反意義的量”。逐漸把一個實際問題抽象成一個數學直觀模型。反之，也可以培養學生把直觀模型“還原”為實際問題的能力，即能根據數軸上的點以及對應的正、負數說出其代表的實際含義。這一舉例也體現了———“形”是直觀的，“數”離不開抽象。抽象的“數”更不能脫離“形”的直觀、形象。

（二）以形解數，加強聯系

就“數”與“形”的“相互表達”而言，我們可用“形”來表示“數”以把握“數量之間”的關系，也可用“數”來表示“形”以把握“形之屬性”，從而加深二者之間的聯系、溝通與理解。比如，在解決問題的教學中，為了更好地分析信息與信息之間、信息與問題之間的內在聯系，分析各個數量的意義，教師可以充分利用學生形象思維的特點，利用“形”來解釋、演示、幫助理解抽象的“數”。在課堂教學中，教師可以利用線段圖這個“形”，將抽象的數學語言與直觀的圖例結合起來，幫助學生建立已知與未知的內在聯系。讓抽象的數學問題直觀呈現，變抽象思維為形象思維，化難為易，從而使問題迎刃而解。

如：三年級《求一個數的幾倍是多少》中：“一盒軍棋8元，一盒象棋的價錢是軍棋的4倍。一盒象棋多少元錢？”為了更好地引導學生理解一倍量與多倍量之間的關系，教師可以有意識的把“數形結合”思想滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中，引導學生利用線段圖進行分析。（如下圖）

讓學生明確這里是把軍棋的單價8元作為一份，象棋的單價是軍棋的4倍，也就是有4個8，列出算式：8×4=32（元）。在此基礎上還可以進行拓展提高：一盒軍棋8元，一盒象棋的價錢比一盒軍棋價錢的4倍少2元，一盒象棋多少元錢？當學生理解了第一道題數量間的關系后就能輕車熟路地再次利用線段圖理解題意解決問題了。

利用線段圖（當然還可以根據年級特點，用其他的直觀形象來表達），用“形”的直觀表達數量間的關系，將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，使一些學生難于理解的問題，迎刃而解。事實證明，“以形解數”是讓形象思維與抽象思維協同應用的過程，其教學效果顯而易見，學生思維變清晰了，思路也開闊了。

（三）數形“結合”，理解應用

就“數”與“形”的“相互解決”而言，它是在“以形助數”和“以形解數”基礎上，幫助學生形成“數形結合”之數學直觀能力，以便其更好地理解、學習并應用于數學學習中。

比如《正比例的意義》一課中，在理解了“正比例的意義”之后，讓學生認識正比例關系圖像。學生之前已經具備了數對與平面上的點一一對應的知識基礎，教師在這節課就可以進一步擴展，即把成正比例關系的兩個量中相對應的兩個數都看作是一個“數對”。

1.借“數”明“形”，解決問題。即借助“數”精確性和嚴密性來闡明“形”的屬性，即以“數”作為手段，“形”作為目的。教學時，先出示方格圖（如下）：

（1）如果將表格中每兩個相對應的數看作一個數對，（1，3.5）對應的位置在哪里？你能將例題表格中的其他數對一一表示出來嗎？

（2）思考：請你把這些點連起來。這是一條什么線？（0，0）表示什么？每個點相對應的兩個數的比值是否相等？為什么？通過這些問題，讓學生看到正比例圖象是一條從原點出發無限延伸的射線，這條線上所有點對應的兩個量的比值都相等。當然反過來也可以說這條射線上的每一個點對應的就是成正比例關系的兩個量的某一組具體值。這個環節借“數”明“形”，讓學生經歷成正比例圖象的過程，通過“數對”精確地闡明正比例圖像的特征。

2.借“形”明“數”，探索圖像特征。即借助“形”的生動性和直觀性闡明“數”之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的。比如本節課在學生初步理解圖像特征的基礎上，讓學生思考、討論：（10，35）和（12，42）這兩個點是否也在這條射線上？然后再連一連，進行驗證。接著讓學生學會直接利用圖像思考完成第（3）題。再延升到：如果買了am彩帶，付了b元錢，a和b是什么關系？使學生理解線上的點與相關聯的量的數存在著一一對應關系。最后引導學生完成第（4）題，體會利用數形結合的方法解決問題的直觀性與便捷性。

這就是“成正比例”的量之“形”與“數”的相互分離、相互轉化、相互表達和相互解決，最終促使我們把握其本質特征的一種思維方式──數形結合思想的關鍵。

“數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非。”華羅庚先生的這首小詞明確告訴我們：數形結合是一種重要的學習方法，也是一種重要的數學思想。教師在小學數學課堂教學中應有意識地強調與滲透，牢牢地抓住數與形之間的聯系，能夠全面提升學生的數學素養，進而提高課堂教學的效果。

【參考文獻】

[1]高崇輝.數形結合思想的歷史發展及其思維意蘊與教學價值[J].小學數學教育

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[M].北京師范大學出版社