高中古典概型的交匯命題教學實踐與反思

楊 瑩

（福建省三明市第二中學，福建三明 365000）

引 言

概率是高中數(shù)學的重點內(nèi)容。新課程改革以來，概率在高中數(shù)學的地位日益重要，它不僅有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力，而且也是學生在高等數(shù)學學習中必不可少的基礎知識。古典概型是一種特殊的數(shù)學模型，也是最基本的概率模型。它的引入避免了大量的重復實驗，得到的是概率的準確值。筆者在實際教學工作中發(fā)現(xiàn)，許多學生在解答與古典概型有關的題型時常常因不得要領而發(fā)生錯誤，為此，研究近年來高考中有關古典概型的考題，發(fā)現(xiàn)考題背景新穎、設問巧妙，且常在與其他數(shù)學知識點，如平面向量、立體幾何、函數(shù)、統(tǒng)計等知識網(wǎng)絡交匯處設計試題。

一、古典概型與平面向量的交匯命題

對古典概率與向量交匯的考查是高考?？济}之一，可將古典概型與平面向量的平行與垂直及坐標表示、平面向量坐標運算等基礎知識有機結合。案例中使成立的(m,n) ，滿足mn=?2 ，所以事件A 發(fā)生的情況有（-2，1），（-1，2），（1，-2），（2，-1），所求的概率為：使成立(m,n) 的條件滿足m(m? 4) + 2n+ 1 =0，即m2? 4m=?1 ?2n，事件B 發(fā)生的情況有（1，1），故所求概率為：。解此類問題，要先根據(jù)平面向量的知識進行坐標運算，得出事件滿足的約束條件，再根據(jù)約束條件（等式或不等式）列舉出所有符合條件的結果，最后利用古典概型的概率計算公式求解概率。特別注意的是，用列舉法列出事件的所有可能結果時，要按一定的順序，避免重復、遺漏。

二、古典概型與統(tǒng)計的交匯命題

案例：清明節(jié)期間，高速公路車輛較多，某調(diào)查公司研究了服務區(qū)中七座以下的小型汽車，按進服務區(qū)的先后每間隔50 輛就抽取一輛的抽樣方法，抽取40 名駕駛員進行調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成6 段：（60，65）、[65，70）、[70，75）、[75，80）、[80，85）、[85，90）后得到如圖1 所示的頻率分布直方圖。

（1）該公司在調(diào)查取樣中用的是哪種抽樣方法？

（2）若從車速在[60，70）的車輛中任取2 輛，求抽出的2 輛車的速度在[60，65）和[65，70）中各1 輛的概率。

對古典概率與統(tǒng)計交匯的考查是高考常考命題之一，其考點豐富，難度適中。此類題從考查統(tǒng)計的基礎知識入手，側重考查學生分析數(shù)據(jù)的能力，具有一定的綜合性與靈活性。本案例考查了系統(tǒng)抽樣和頻率分布直方圖等基本知識。解此類問題，重點要先分析相關數(shù)據(jù)，如頻率分布直方圖的有關特征問題，再用古典概型公式計算。易錯點是用列舉法列出事件所有的可能結果時沒有按一定順序而出現(xiàn)遺漏。

圖1 頻率分布直方圖

三、古典概型與立體幾何的交匯命題

案例：如圖2 所示，從A1(1，0，0)、A2(2，0，0)、B1(0，1，0)、B2(0，2，0)、C1(0，0，1)、C2(0，0，2)這6 個點中隨機選取3 個點，

（1）求這3 點與原點O恰好是正三棱錐四個頂點的概率；

（2）求這3 點與原點O共面的概率。

高考中這一類型的交匯命題屬于中難題型，題型新穎，綜合性強，巧妙地將古典概型與立體幾何知識合理融合，既有趣味性，又考查了學生將二者綜合分析的能力，對學生的思維能力要求較高。求解此類問題，應先利用立體幾何知識求出基本事件總數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，再利用古典概型公式計算求得。在求一些較復雜的基本事件個數(shù)時，還可以利用排列組合知識解決問題，或者先求其對立事件的概率，進而再求解。案例中，從這6 個點中任取3 個點分三類：在x 軸上取2 個點、1 個點、0 個點，共有＝20 種取法，選取的3 個點與原點O恰好是正三棱錐頂點的取法有2 種，概率第二小題根據(jù)立體幾何知識有兩種方法。方法一：選取的3 個點與原點O共面的取法有＝12 種，所求概率為方法二：選取的3 個點與原點不共面的取法有＝8 種，這3 個點與原點O共面的概率

圖2

四、古典概型與函數(shù)相結合

高考中，函數(shù)知識的命題屬于中難題型。這類問題將函數(shù)知識融入概率相關知識，形成新的命題情景，加大了對學生的考查力度。解此類問題，要根據(jù)函數(shù)的相關性質，確定相關系數(shù)應滿足的條件，如f(x)＞b恒成立，可轉化為，再根據(jù)系數(shù)滿足條件分類考慮，求出所有符合條件的基本事件個數(shù)，即事件A 包含：（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10 個，最后利用古典概型概率計算公式求解概率得

結 語

古典概型作為一種知識媒介，可以和高中數(shù)學中的許多知識進行交匯[1]。除了以上四種情況，它還可以和不等式、數(shù)列、集合等知識“聯(lián)袂出演”，創(chuàng)設出新的命題情境。整合后的命題綜合性得到進一步加強，有利于提高學生學習的系統(tǒng)性、綜合思維能力，這體現(xiàn)了高考題注重雙基和能力的宗旨。教師在教學中應該注重古典概型的概念教學。只有學生真正地深刻理解了基本概念，掌握了思想方法，才能有效提高學生的應用能力，靈活解決位于知識網(wǎng)絡交匯處的問題。