從中考試題看幾何教學
——以2019年長春市中考數學試題中幾何解答題為例

遲立祥

(吉林省長春市東北師大附中初中部 130000)

一、2019年長春市中考數學試題幾何解答題概述

第18題：如圖，四邊形ABCD是正方形.以邊AB為直徑作⊙O，點E在BC邊上，連結AE交⊙O于點F，連結BF并延長交CD于點G.

(1)求證：△ABE≌△BCG.

這是一道“推理+運算”的幾何試題，與往年相比最主要變化體現在試題形式上，以往的試題要么單獨考查三角形或平行四邊形的知識，要么單獨考查圓的知識，今年此題將全等三角形與圓的知識結合起來考查，難度不大，但體現出中考對核心知識的考查的形式靈活多樣，不拘泥于固定模式.

第22題：教材呈現：以下是華師版九年級上冊數學教材第78頁的部分內容.

證明：連結DE.

請根據教材提示，結合圖①，寫出完整的證明過程.

此題是以幾何知識為背景的“探究+應用”型問題.此類試題一方面考查學生基本的幾何推理、運算能力，另一方面也考查了學生對新知識的應用能力，體現了數學研究：猜想——論證——應用的過程，對學生的數學學習具有一定指導意義.2019年中考試題中第22題與以往相比的變化主要體現在兩方面：一是試題背景源于教材；二是以相似三角形的知識為背景，以往多以全等三角形、平行四邊形為背景.這兩點變化體現出中考試題的立意對幾何教學的指導意義，即希望在教學過程中應重視教材，貫徹教材編寫意圖，挖掘教材中典型題目.

第23題 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15.點P從點A出發，沿AC向終點C運動，同時點Q從點C出發，沿射線CB運動，它們的速度均為每秒5個單位長度，點P到達終點時，P、Q同時停止運動.當點P不與點A、C重合時，過點P作PN⊥AB于點N，連結PQ，以PN、PQ為鄰邊作PQMN.設PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒.

(1)①AB的長為____；

②PN的長用含t的代數式表示為____.

(4)當過點P且平行于BC的直線經過PQMN一邊中點時，直接寫出t的值.

此題為圖形運動問題.這道試題在命題立意方面與往年相比并沒有明顯的變化，但在命題時充分考慮到回避高中知識，運用高中解析幾何知識解決此題不占優勢.

二、初中幾何教學的建議

1.注重滲透研究幾何對象的基本模式

教科書對于幾何內容的編寫自始至終注重滲透研究幾何圖形的基本方法.在華師版數學教材七年級上冊“相交線與平行線”一章中，教材就向學生呈現了研究幾何圖形的模式：定義→性質→判定.對于全等三角形、等腰三角形、平行四邊形等幾何對象的學習，這一研究模式的主線更加清晰.

教學中注重對幾何圖形研究模式的滲透，將對學生公理化體系的建立起到極大的助力作用.初中平面幾何的特點是定理多，這是學生學習幾何的一大障礙，如果學生在學習每個幾何圖形時都能按上述基本模式研究、梳理，那么將形成自己的定理體系，在推理論證時就會有理有據，邏輯清晰.

2.注重對學生幾何語言表達能力的培養

教材對于學生幾何語言能力的培養是循序漸進的，主要分三個階段：第一階段，在“相交線與平行線”一章中，邏輯推理過程要求寫出推理依據，要求有理有據；第二階段，在“全等三角形”一章中，在證明兩個三角形全等時，推理過程強調“在哪兩個三角形中，條件按定理順序羅列”，要求定理結構清晰；第三階段，在“平行四邊形”一章中，要求語言準確、邏輯清晰.這三個階段逐層遞進，每個階段目標的達成程度將直接影響下一階段的學習.

在教學中培養學生的幾何語言表達能力要注意以下兩點：一是，培養學生不同語言形式間相互轉換的能力.初中幾何教學中涉及文字語言、符號語言、圖形語言，在教學中注重訓練學生三種語言間的相互轉換.二是，培養學生理清論證過程中的邏輯關系，理清楚“先有誰，后有誰”，這樣按照“先后”順序將所需定理和結論的符號敘述串聯起來，便是邏輯清晰的推理過程了.

3.挖掘典型問題，聚焦基本圖形

在初中平面幾何知識中有大量的典型問題，而這類問題往往又與基本圖形相伴而行，所以我們教學選題時應關注經典問題，幫助學生積累基本解題思路和經典模型的性質，以便于學生在面對陌生問題時能夠在復雜圖形中抽象出基本圖形，轉化為典型問題進行求解.

4.關注知識間的聯系，讓知識體系形成網格式交叉

初中幾何知識之間的聯系分兩類：一類是圖形之間的聯系，另一類是結論之間的聯系.對于圖形之間的聯系，教材呈現較為明顯，有的是從一般到特殊，例如三角形→等腰三角形、直角三角形，有的是從特殊到一般，例如，全等三角形→相似三角形.關注圖形之間的特殊與一般的關系，可以利用類比的方式對比研究不同圖形的性質與判定，幫助學生將知識體系“鏈”化.對于結論之間的聯系，教材呈現相對無序，需要教師引導學生在學習過程中留意整理.例如，與線段相等相關的結論，與角相等相關的結論.對結論之間聯系的梳理，有助于提高學生分析問題、解決問題的能力.在學習過程中，如果將這兩種聯系橫縱交叉，就會形成幾何知識體系的網格化，學生將在知識體系的建立、幾何探究能力、問題解決能力等方面得到全面的提升.

5.加強教師的板書示范

隨著各種教學模式的不斷出新，教學設備的不斷改善，數學課堂的知識容量也在不斷的加大，表面上看，課堂效率是在不斷的提高，但實際上，也會造成學生部分學習能力的缺失.傳統課堂并不是一無是處，至少教師的示范作用就是不可或缺的.初中生所處的年齡和心理特征決定，教師的示范對學生良好學習方法和學習習慣的養成起到非常重要的作用.很多學生是老師怎么寫，他就怎么寫，老師認真寫，他才認真寫.因此，數學課堂上，教師板書的陣地不能丟，不能認為課件展示就可以全部代替教師的板書，不能因為擔心課堂任務完不成就不板書.

總之，中考試題對教師的教學具有導向作用，但不代表考什么就教什么.而應分析試題背后的命題立意，分析課程標準的指向，分析學生的學習現狀，將三者結合起來看，找到教學與測試目標的差距，在現實學情的基礎上尋找教學方式上的突破.