基于合作博弈模型的公共河流水資源分配方案研究

王先甲，劉 佳

(1.武漢大學經濟與管理學院，湖北 武漢 430072；2.武漢大學系統工程研究所，湖北 武漢 430072)

1 引言

人類社會的高速發展使得水資源的使用與消耗速度逐步增加，此外河流、湖泊、地下水的污染使得可用的水資源逐步減少，水資源的稀缺性日益突出。流域中各地區受其經濟環境和地理位置等因素的影響，水資源產生的效用也各不相同。如何合理地分配水資源成為水資源管理的重要問題。

公共河流是指流經不同行政地區的河流[1-2]。受地形環境、政治等因素的影響，公共河流流經的各用水主體之間充滿了沖突與矛盾[3-4]，研究公共河流的水資源分配問題有著重要的現實意義[4]。例如黃河自西向東流經中國9個省，長江干流流經中國11個省、自治區、直轄市。在流經省市之間合理地分配黃河和長江的水資源影響著整個黃河和長江地區人們的生產、生活。可以說，公共河流中的水資源分配結果影響整個地區的經濟、政治活動。

根據水流的流向，公共河流的用水主體具有上下游關系。河流下游用水主體的用水策略受到上游用水主體用水策略的影響，上下游之間的用水存在沖突與矛盾，優化理論和博弈論是處理這種沖突問題的有力工具。以往水資源分配問題的研究主要集中在各用水主體之間關于水資源分配的競爭問題或者合作問題上。分析競爭問題時，以最大化產生的經濟效用、環境收益等為目標，建立優化模型或者博弈模型，進而依據優化理論與博弈論得到水資源分配的優化策略[5-10]，如Madani[5]對使用一系列非合作博弈模型來解決水資源管理和沖突中的問題進行了綜述；劉文強等[6]使用博弈論對流域水分配問題中用水沖突矛盾進行揭示和解釋；肖志娟等[7]應用博弈論原理與方法求解應急調水的合理補償量問題，解決調水各方的利益沖突；魏守科等[8]運用非合作與合作博弈的方法，對南水北調中線工程水資源管理中的有關利益沖突進行模擬和分析。Ahmad等[9]使用兩層多目標模型來研究水庫管理者與用水部門之間的水資源分配問題；Fu Yicheng等[10]從可持續發展的角度出發，使用多目標優化模型來分析考慮社會公平等條件影響下的水資源分配方案。這些模型使得各用水主體的目標達到最優，并體現他們之間通過競爭來分配水資源的過程。而分析合作問題時，一般以合作博弈理論為基礎，研究各用水主體對水資源進行統一分配時的合理分配結果[11-18]，如付湘等[11]采用合作博弈方法建立水資源用戶合作博弈模型, 使得使用合作博弈分配方式的總效益大于使用非合作博弈方法分配的總效益；張樂等[12]對突發水災害應急管理中的多主體合作問題進行了探討；Wang等[13]考慮水權和水資源轉移對水資源分配結果的影響；Parrachino等[14]綜述了合作博弈理論在水資源問題上的應用；Ni Debing和Wang Yuntong[15]、Avarideh等[16]從國際法律對分配的約束的角度出發，使用合作博弈理論研究污染河流治污成本的分攤問題；Xiao等[17]在一個綜合的合作水分配框架內研究了水需求管理方案對水系統及其用戶的影響；Degefu等[18]使用Nash協商的方式來研究稀缺性的水資源分配問題。這些合作博弈模型體現了各用水主體通過合作方式來分配水資源的過程。現實的水資源分配問題中，各用水主體之間可能既存在競爭，又存在合作。目前，水資源分配問題的研究忽略了各用水主體之間的競爭與合作并存的現象，從而導致現有模型只能從一方面，即競爭方面或者合作方面，來研究水資源分配問題，無法綜合考慮用水主體之間競爭與合作并存時的水資源分配問題。

公共河流的水資源分配問題中，各用水主體之間可以根據經濟、政治、地理環境等因素組成相應的聯盟，從而加強自身競爭能力，這種形成聯盟的行為體現各用水主體之間的合作行為。聯盟之間通過競爭的方式來分配公共河流的水資源，這種水資源分配方式體現了各用水主體之間的競爭行為。因此，如何描述這種聯盟之間競爭、聯盟之內合作的行為，提出相應的最優分配方案并確定各用水主體之間聯盟的具體形式，為合理使用公共河流的水資源提供了相應的理論依據和方法指導。

受外部性影響，參與者之間可以形成聯盟來進行博弈，并且聯盟的收益不僅與聯盟自身有關，而且與聯盟之外參與者的聯盟結構有關。傳統合作博弈理論假設聯盟的收益僅與聯盟自身有關，而與聯盟之外其他參與者的聯盟結構無關。因此，無法使用傳統的合作博弈模型來直接描述外部性環境中的水資源分配問題。本文建立具有外部性的合作博弈模型來分析公共河流的水資源分配問題，研究聯盟之間競爭、聯盟之內合作這種競爭與合作并存時各用水主體之間的最優水資源分配方案，解決了現有優化或者博弈模型中分別討論競爭或者合作行為的不足，得到了使得水資源分配的合理方案和參與者之間形成聯盟的具體形式。

2 博弈模型分析

為了描述公共河流沿線的各用水主體之間在聯盟之內合作、聯盟之間競爭這種現象，分析各用水主體之間同時存在競爭與合作行為時對水資源分配結果產生的影響，首先本文給出具有外部性的合作博弈模型，然后在聯盟之間通過動態博弈的方式來確定聯盟的均衡水資源分配量，在聯盟之內各參與者之間通過Nash協商的方式分配聯盟的均衡水資源分配量。比較各種方案下用水主體產生的總效用，進而得到公共河流用水主體之間競爭與合作并存時最優的水資源分配方案和其形成聯盟的具體形式。

2.1 具有外部性的合作博弈模型

一條河流流經多個國家、省市或者地區，這些國家、省市或者地區稱為是各用水主體。所有用水主體組成的集合記為N={1,2,…,n}，且|n|≥2。不失一般性，假設用水主體按順序從上游到下游排列，即?i,j∈N且i

假設用水主體形成m+1個聯盟，本文使用集合N的一個劃分，如下P={[1,s1],[s1+1,s2],…,[sm-1+1,sm],[sm+1,n]}表示用水主體之間形成聯盟的形式，即為聯盟結構。所有聯盟結構組成的集合記為。用水主體之間為了得到更多的水資源量而形成聯盟。形成聯盟后，由于下游聯盟受到上游聯盟結盟行為的影響，這種聯盟的效用受到聯盟之外用水主體結盟行為的影響稱為外部性影響。此時需要描述具有外部性環境影響下各用水主體形成聯盟的效用。本文使用函數π描述此時聯盟的效用。其中對于表示聯盟結構P中的聯盟[i,j]分配x單位的水資源產生的效用，即它是關于聯盟分配的用水量的函數。

本文使用的具有外部性的合作博弈模型記為(N,,其中N為用水主體集合，為所有聯盟結構組成的集合，ui為用水主體i分配用水量的效用函數，為聯盟結構P中聯盟[i,j]的效用函數，q為公共河流的總來水量。用水主體之間可以形成聯盟[i,j]，其中i,j∈N且i≤j。聯盟之間通過競爭的方式來分配公共河流的總來水量q，由于河流具有流向，聯盟之間具有上下游的關系，此時聯盟之間通過Stackelberg模型分配總來水量q。各聯盟按照這種分配方式分得河流的總來水量之后，各聯盟內部通過協商的方式分配聯盟的均衡水資源分配量。本文采用Nash協商模型在每一個聯盟中分配聯盟的均衡水資源分配量。

例1：外部性環境對聯盟的均衡水資源分配量的影響。

一條公共河流流經四個不同的地區，從上游到下游按順序記為1,2,3,4，所有用水主體組成的集合記為N={1,2,3,4}。四個用水主體形成的聯盟結構為：{{1},{2},{3},{4}}、{{1},[2,3],{4}}、{{1},{2},[3,4]}、{{1},[2,4]}、{[1,2],{3},{4}}、{[1,2],[3,4]}、{[1,3],{4}}和{[1,4]}。

這里以聯盟[1,2]的收益為例來說明外部性環境的影響。假設在聯盟結構{[1,2],{3},{4}}中，聯盟[1,2]分配的均衡水資源分配量為15；在聯盟結構{[1,2],[3,4]}中，聯盟[1,2]分配的均衡水資源分配量為10。受到外部性環境的影響，聯盟[1,2]的收益受到其他參與者3和4的聯盟結構的影響。從聯盟[1,2]的角度出發，為了得到盡可能多的水資源，聯盟[1,2]希望參與者3和4形成{{3},{4}}的聯盟結構，進而形成聯盟結構{[1,2],{3},{4}}并得到15個單位的水資源。

2.2 聯盟之間的競爭

用水主體之間通過競爭的方式來確定聯盟的收益。受到水流流向的限制，用水主體之間存在上游或者下游的關系。因此，上游用水主體的用水策略會影響下游用水主體的決策，此類問題可以使用動態博弈的方法來處理。該問題實際上是一個上游用水主體主導的Stackelberg寡頭競爭問題。

(1)

s.t.W[1,s1](yP)≥0

(2)

s.t.W[s1+1,s2](yP)≥0

(3)

s.t.W[sm+1,n](yP)≥0

其中W[sm+1,n](yP)≥0為最下游聯盟[sm+1,n]的水文約束。

求解此類動態博弈問題的方法為逆向歸納法。從最后一個優化問題出發，求解最下游聯盟[sm+1,n]使用的最優用水量與所有上游聯盟用水量之間的關系，即求解出其最優反應。然后代入上一聯盟[sm-1+1,sm]的優化問題，求解出聯盟[sm-1+1,sm]的最優用水量與其所有上游聯盟用水量之間的關系，繼續這個過程，直到求解出第一個聯盟的最優用水量為止。此時可以得到這個多階段動態博弈問題的均衡解，進而可以確定聯盟之間通過競爭方式分配的均衡水資源分配量方案。

為了說明外部性對聯盟的效用之和的影響，首先介紹如下引理。

引理1：具有外部性的合作博弈中，若其滿足凸性，則全聯盟是聯盟的效用之和最大的聯盟結構。即對?P∈，有

(4)

證明：這個結論為文獻[19]的推論1。

這里需要說明的是，聯盟滿足凸性是指聯盟的均衡水資源分配效用函數v(S,P)滿足凸性。若對任意的聯盟S,T?N，S∩T=?，PN-(S∪T)為N-(S∪T)的一個聯盟結構，有

v(S∪T,{S∪T}∪PN-(S∪T))+v(S∩T,{S∩T,S-T,T-S}∪PN-(S∪T))≥v(S,{S,T-S}∪PN-(S∪T))+v(T,{T,S-T}∪PN-(S∪T))

(5)

凸性是比超可加性更加弱的條件，由引理1可知，全聯盟在博弈滿足凸性時是聯盟的效用之和最大的聯盟結構。

相較于凸性，我們有凹性的定義。假設聯盟的均衡水資源分配效用函數v(S,P)滿足凹性，即對任意的聯盟S,T?N，S∩T=?，PN-(S∪T)為N-(S∪T)的一個聯盟結構，有如下不等式成立

v(S∪T,{S∪T}∪PN-(S∪T))+v(S∩T,{S∩T,S-T,T-S}∪PN-(S∪T))≤v(S,{S,T-S}∪PN-(S∪T))+v(T,{T,S-T}∪PN-(S∪T))

(6)

(5)式((6)式)的大于等于(小于等于)符號變為大于(小于)時，則稱合作博弈滿足強凸性(強凹性)。

相比于引理1，有引理2。

引理2：具有外部性的合作博弈中，若其滿足凹性，則單點集合構成的聯盟結構是聯盟的效用之和最大的聯盟結構。即對?P∈，有

(7)

證明：這個結論為文獻[20]的引理4。

證明：這一結論可以由文獻[20]中的推論1和推論3得到。

引理3說明了一般情況下，參與者之間形成聯盟的效用之和最大的聯盟結構的位置。通過引理2可以得到如下命題。

證明：依據引理3可以得到命題1的結論。

另外，我們在這里舉一個反例來說明全聯盟不是聯盟效用之和最大的聯盟結構的情況，假設在具有外部性的合作博弈中，均衡水資源分配效用函數v滿足強凹性，則由引理2知，單點集合構成的聯盟結構是唯一聯盟的效用之和最大的聯盟結構。因此，單點集合構成的聯盟的效用之和大于全聯盟的聯盟效用。

在傳統的合作博弈模型中，一般假設特征函數滿足超可加性，此時導致了全聯盟{{N}}的總效用是最大的。而在具有外部性合作博弈中，一般不對聯盟的均衡水資源分配效用函數，即特征函數，做過多的假設，這是導致命題1成立的根本原因。若假設具有外部性的合作博弈中，聯盟的均衡水資源分配效用函數同樣滿足超可加性或者凸性，依據引理1可知，全聯盟的聯盟總效用之和是最大的，這與傳統合作博弈的結果相同。

例2：通過動態博弈Stackelberg模型來確定聯盟的均衡水資源分配向量。

(8)

(9)

使目標函數一階導數為零，求解得到上游聯盟[1,2]的均衡資源分配量為：

2.3 聯盟之內的合作

本文中，博弈的參與者為用水主體，他們之間形成聯盟并在任意聯盟內部的參與者之間通過Nash協商的方式分配聯盟的均衡資源分配量。假設聯盟[i,j]中的任意用水主體k∈[i,j]的效用函數為uk，聯盟結構P中任意聯盟[i,j]之內的用水主體通過Nash協商方式來分配聯盟的均衡水資源分配量。根據Nash協商定理[21]可知，聯盟結構P中任意聯盟[i,j]中的用水主體通過Nash協商的方式分配水資源的結果等價于如下優化問題的解

(10)

G(xi,xi+1,…,xj)≥0

其中，G(xi,xi+1,…,xj)≥0為聯盟[i,j]分配水資源向量(xi,xi+1,…,xj)時滿足的水文約束。聯盟之內的用水主體通過Nash協商的方式分配聯盟的均衡水資源分配量的方法模擬了聯盟之內各用水主體采用公理化協商方式分配水資源的過程，問題(10)的結果就是聯盟之內各用水主體通過Nash協商方式分得的水資源量，這一方案滿足Nash提出的五個描述分配合理性的公理。

例3說明使用聯盟中的參與者之間通過Nash協商方式來分配聯盟的均衡水資源分配量的具體過程。

例3：通過Nash協商的方式分配聯盟的均衡水資源分配量的計算方法。

一條公共河流流經四個不同的地區，從上游到下游按順序記為1,2,3,4，所有用水主體組成的集合記為N={1,2,3,4}。假設需要確定聯盟結構{[1,2],[3,4]}中聯盟[1,2]中參與者1和參與者2的水資源分配方案，且聯盟[1,2]得到的均衡水資源分配量為10。

(11)

s.t.x1+x2=10，x1,x2≥0

3 案例分析

第一個聯盟結構{{1,2,3,4}}中，由于所有參與者形成全聯盟，他們之間會通過協商的方式分配總的來水量。本文假定的分配聯盟水資源的分配方式為Nash協商方法。因此，所有用水主體1,2,3,4通過Nash協商的方式分配100單位的水資源。通過Nash協商方法得到的分配方案為如下優化問題的解

(12)

s.t.x1+x2+x3+x4=100， 且?i∈N,xi≥0

聯盟結構{{1,2,3,4}}中，用水主體的總效用為：

并且分配100個單位的水資源。

聯盟結構P2={[1,2],[3,4]}中，聯盟[1,2]與[3,4]首先通過動態博弈來分配最多100單位的水資源。由于兩個相鄰聯盟之間決策具有先后順序，因此聯盟之間會通過Stackelberg模型的方式在聯盟之間總的來水量。確定了各聯盟的均衡水資源分配量之后，在每個聯盟之內通過Nash協商的方式分配聯盟得到的均衡水資源分配量。

(13)

(14)

聯盟[1,2]內部通過Nash協商的方式分配60的均衡水資源分配量，而聯盟[3,4]內部通過Nash協商的方式分配30的均衡水資源分配量。聯盟[1,2]中用水主體1，2的Nash協商分配方案為如下優化問題的解

(15)

s.t.x1+x2=60，x1,x2≥0

聯盟[3,4]中用水主體3，4的Nash協商分配方案為如下優化問題的解

(16)

s.t.x3+x4=30，x3,x4≥0

此時聯盟結構{[1,2],[3,4]}中，用水主體的總效用為：

兩種聯盟結構下的水資源分配方案的結果為表1所示：

表1 公共河流的水資源分配方案優劣比較

4 結語

本文使用具有外部性的合作博弈模型來分析公共河流中的水資源分配問題。此模型把公共河流的水資源分配問題模擬為一個聯盟之間競爭、聯盟之內合作的博弈問題。得到如下結論：(1)用水主體之間以合作的方式形成聯盟，且聯盟之間通過競爭的方式分配公共河流的水資源。由于受到河流流向的影響，本文采用動態博弈Stackelberg模型來確定各聯盟的均衡水資源分配量，隨后在每個聯盟之內以Nash協商的方式在聯盟中的參與者之間分配聯盟的均衡資源分配量，通過最大化Nash協商積來得到每個參與者的資源分配量。比較各種方案下用水主體產生的總效用，可以得到公共河流用水主體之間競爭與合作并存時的最優水資源分配方案。(2)受到外部性環境的影響，部分合作的用水主體產生的總效用可能高于完全合作時用水主體的總效用。此時，公共河流流經的各用水主體在分配水資源時應當綜合外部性環境對合作的影響來考慮具體地水資源分配方案，從而提高河流的水資源使用效率。