混流泵葉輪的三維反問題設計多目標優化

王夢成，袁建平，李彥軍，鄭云浩

(江蘇大學 國家水泵及系統工程技術研究中心，江蘇 鎮江 212013)

混流泵具有內部流動復雜，設計參數眾多且設計參數相互關聯等特點，對混流泵的設計及優化造成了極大困擾。傳統的混流泵葉輪設計通過改變葉片角分布來修改葉片形狀，最終結果的好壞依賴于設計人員的個人經驗[1]，是經驗與試錯法相結合的產物。然而這種方法沒有為如何修改葉片形狀從而提高葉片性能提供有效的建議[2]，從根本上限制了設計人員去探索更大的設計空間的可能性。設計人員只能在已有的、過程得到驗證的、較小的范圍內對葉片性能進行改進。

近年來，各種優化策略被廣泛應用于旋轉機械的設計中[3-8]，其優點在于節省人工，最終優化結果依賴于優化系統而非個人經驗。裴吉[9]和王文杰等[10]基于神經網絡模型和改進后粒子群算法對離心泵的葉輪和導葉分別進行了優化設計，成功的擴大了離心泵的高效區。孟凡等[11]以單向軸流泵為基礎，結合拉丁超立方抽樣、神經網絡模型和非支配遺傳算法，在不降低正向性能的前提下，成功的提高了其反向性能，使其滿足雙向運行要求。雖然上述優化取得了令人滿意的結果，然而計算量大，計算資源消耗多成為其致命缺點，降低了其在工業系統中的應用價值。這主要與傳統設計中葉片形狀由幾何參數描述且各參數互相制約有關。基于以上考慮，本研究采用反問題設計法對葉片進行參數化造型[12-17]。反問題設計是1種可以從給定的葉片載荷分布逆向迭代計算出葉片形狀的設計方法。其優點是可以使用較少的設計參數來描述葉片復雜的空間形狀；缺點是只能在設計點處取得較好的結果，而在偏離設計點處，效率下降較快，即高效區較窄。

本文提出了1種設計方法，以三維反問題設計方法為基礎，結合拉丁超立方抽樣法、克里金模型和非支配遺傳算法，以葉片載荷分布為設計參數，以0.7Qdes和1.1Qdes處效率為目標參數，以1.0Qdes處效率和揚程為約束條件，構建了一個多參數多目標優化系統，對導葉式混流泵進行多目標優化以提高泵段效率，擴寬高效區范圍。

1 優化方法

1.1 反問題設計方法

在三維反問題設計方法中，流場的計算和葉片形狀的計算是迭代進行的。本文采用ZANGENE[18]提出的三維反問題設計方法，假定來流定常、無旋、無粘且不可壓縮。葉片由無限薄渦片代替，其強度由周向平均角動量表示：

(1)

式中：r為半徑；B為葉片數；Vθ為切向速度；θ為角度。

葉間通道處壓力分布由周向平均角動量沿流線方向的偏導數確定：

(2)

由周向平均角動量沿流線方向確定葉輪揚程為：

(3)

式中：Ht為葉輪理論揚程；ω為轉速；un為牽連速度；uun為絕對速度在周向的分量；Γn為環量；下標1、2分別表示葉輪進口邊與出口邊。

在反問題設計的迭代求解過程中，流場中流速分布的求解為正命題求解，流體的運動分為周向平均運動及周期脈動速度2部分；葉片形狀的計算過程為反命題求解，葉片表面滿足速度無滑移及不可穿透條件；葉片的阻塞效應由連續性方程中的葉片厚度參數確定。在三維反問題設計中，可固定的設計參數為：1)葉片軸面投影圖；2)葉片厚度；3)葉片數；4)流量；5)轉速;6)輪轂及輪緣處環量分布(揚程)。

1.2 多目標多參數優化法

多參數多目標優化的發展離不開算法、幾何參數化和性能評估這3方面的發展和影響。

對于旋轉機械而言，因其復雜的空間形狀，幾何參數化成為其最大的挑戰。為克服該缺陷，本研究使用參數較少的葉片載荷對其進行參數化。載荷分布由圖1所示的“三段式”曲線控制，該曲線由2段拋物線及1段直線構成。相比于其他載荷分布形式，三段式分布具有控制簡單、參數數量合理、可實現的載荷分布形式較多的優點。

圖1 葉片載荷分布Fig.1 Blade loading

圖中LE控制葉片的預加載，與葉片進口沖角有關；NC為中間直線的起點；ND為中間直線的終點；K為中間直線的斜率，當其為正值時，表示前加載，當其為負值時，表示后加載。圖中豎線為確認交點位置而設置的輔助線；為滿足龍格-庫塔條件，在葉片出口邊處載荷分布均為零。因此，單條流線的載荷分布由上述4個設計參數共同完成。研究表明，通過給定輪轂與輪緣處載荷分布，其他位置載荷由線性插值確定的方法可有效控制葉片上的載荷分布。因此，葉片的參數化由8個設計參數共同完成。

衡量水力機械性能優劣的指標較多，本文選取0.7Qdes和1.1Qdes處效率作為優化目標，以期優化出的混流泵具有較高的泵段效率及較寬的高效區。效率為：

(4)

式中：Q為流量；Pout和Pin分別為進口與出口總壓；M為泵軸上的力矩；ω為葉輪旋轉角速度。

由于本次優化涉及多個目標函數，故其最優解與單目標函數的求解存在較大差別。在多目標求解過程中，目標互相沖突，難以尋找到對所有的目標函數均為最優解的方案。大量的尋優研究工作表明，NSGA-Ⅱ(非支配排序遺傳算法)在多目標、非連續、非線性的優化問題中具有良好的適用性。在NSGA-Ⅱ中，交叉和變異被用來確保最終解為全局最優解，擁擠距離和非支配排序被用來減少計算的復雜性和提升策略的精英性，各目標函數被單獨求解，最終解集以帕累托前沿呈現，設計者可根據需要進行折中選擇[19-20]。

在本研究中，實驗設計由拉丁超立方抽樣算法完成，其可以在多元參數空間進行近似隨機抽樣。在樣本空間內，使用反問題設計對樣本點逐一建立幾何模型，采用CFX計算各個設計方案下的混流泵效率，評估葉輪性能，再利用克里金插值法構建目標參數與設計變量之間的近似模型，最終輔以NSGA-Ⅱ在構建的近似模型上進行全局尋優。NSGA-Ⅱ的人口數和代數均設置為100，交叉率與突變率分別設置為0.9和0.088，因此，共計生成了10 000中不同配置的葉輪。優化流程如圖2所示。

圖2 基于反問題設計的優化流程Fig.2 Optimization process based on inverse design method

2 數值模擬準確性驗證

在本研究中，計算域的建立與網格劃分分別由Cero和ICEM完成，性能評估由商業軟件CFX完成。以設計點處原始模型泵段效率及揚程作為網格無關性驗證標準，計算結果如表1所示。綜合考慮計算成本與計算準確性，最終確定整體計算域網格數為450萬。

表1 網格無關性檢查Table 1 Mesh independence check

湍流模型選用SST模型，其可跳過壁面函數，較好的模擬粘性底層流動；葉輪與固定部件間交界面選用凍結轉子模型進行數據傳輸，固定部件與固定部件間交界面選用普通連接；進口條件采用質量流量；出口條件采用開發性邊界，允許回流存在，使其與實際條件相符合。

以比轉速為530的模型泵作為計算對象，該泵葉輪直徑為320 mm，葉片數為4，轉速為1 450 r/min；導葉的葉片數為7；進水段采用直管，長度為5倍葉輪直徑；出水段采用彎管，彎管半徑為1.5倍葉輪直徑。最終計算模型如圖3所示。

圖3 混流泵泵段計算域Fig.3 Calculation domain of mixed flow pump

以泵段揚程和效率作為對比標準，模擬結果與試驗結果對比如圖4所示。

圖4 原始模型模擬值與試驗值對比Fig.4 Comparison of original model between simulated and experimental performance

從圖4可以看出，當流量處于泵段可靠運行范圍內時(0.6Qdes～1.3Qdes)，試驗揚程與模擬揚程基本一致；試驗效率略小于模擬效率，2者差值最大處不超過2.5%，且變化趨勢基本一致。與文獻[21]的研究結論相一致，在數值模擬中，未考慮機械損失、容積損失以及壁面粗糙度。

對比結果表明，計算域的建立及網格剖分，湍流模型的選擇及邊界條件的設置均符合計算要求。

3 葉輪的多目標多參數優化

3.1 優化過程

基準葉輪選用比轉速為530的模型泵葉輪，優化對象為葉片的載荷分布，力求在不改變軸面投影圖、葉片數、葉片厚度分布、轉速、揚程、設計流量點等前提下，使其具有更高的效率及較寬的高效區。基準葉輪軸面投影圖及葉片外形如圖5所示。

圖5 基準葉輪軸面投影圖及葉輪外形Fig.5 Reference impeller meridional shape and impeller shape

由1.2節可知，設計參數總數為8個，因此，在本研究中使用拉丁超立方抽樣總計生成了70個不同配置的樣本點。當設計變量與樣本空間數固定時，參數范圍對構建的近似模型精度具有較大影響，各參數適當的范圍為：-0.1

樣本空間確定后，對樣本空間內各參數組使用反問題設計法逐一構建葉輪，計算每個葉輪3個工況點，分別為0.7Qdes、1.0Qdes和1.1Qdes，共計210(3×70)組。其中1.0Qdes處的計算結果將作為設計點處效率和揚程不降低的約束條件，0.7Qdes和1.1Qdes處的計算結果將作為目標參數與對應的設計變量構建近似模型。

不同的設計參數對于目標函數的影響程度各不相同，因此，對各參數進行敏感性分析，結果如表2所示。表中下標h和s分別表示輪轂和輪緣：

表2 敏感性分析Table 2 Sensitivity analysis

由表2可知，設計變量對0.7Qdes和1.1Qdes處效率具有互斥性，不存在某一參數對兩者均具有正效應或負效應。其中葉片進口邊輪緣處初始值LEs對0.7Qdes和1.1Qdes處效率值的影響最大，且與0.7Qdes處效率負相關，與1.1Qdes處效率正相關；Kh對0.7Qdes處效率影響最小；NCh和NDs對1.1Qdes處效率影響最小。

在ADT優化求解器中，各近似模型的誤差由交叉驗證確定。在本研究中，樣本點數為70，因此，每個優化目標的近似模型均由這70個樣本點及其對應的目標函數值所構建。在優化模型構建完成后，使用每一組數據對其進行準確性驗證，重復該過程70次，得到各模型誤差值，結果如表3所示。由表3可知，各優化目標所對應的近似模型的誤差均較小，滿足計算精度要求。

表3 誤差分析結果Table 3 Error analysis result

在目標參數與設計變量之間的函數關系建立后，由于為多目標優化問題，故使用NSGA-Ⅱ對構建的近似模型進行全局尋優，并構建帕累托前沿。圖中0.7Qdes和1.1Qdes處均具備較高效率的設計點以黑線標出，結果如圖6所示。

圖6 帕累托前沿Fig.6 Pareto front

為使優化后模型在0.7Qdes和1.1Qdes處的泵段效率均高于原始模型，最終設計方案定為：LEh=0.08；NCh=0.376；NDh=0.684；Kh=1；LEs=-0.1；NCs=0.286；NDs=0.597；Ks=0.851。載荷分布如圖7所示。

圖7 最終葉片載荷分布Fig.7 Final Blade loading distribution

3.2 優化結果與分析

優化后最終設計的葉輪外形及網格剖分結果如圖8所示。

圖9為最終設計與基準設計泵段外特性模擬值對比圖，計算設置及網格剖分與前文保持一致。由圖9可知，相較于原始模型，經多參數多目標優化后的葉輪在外形沒有改變的前提下，泵段性能提升明顯。相比于過往研究中基于反問題設計的單目標優化，在本研究中，通過多目標優化后，泵段效率在較大的流量范圍內均有提高，且設計點處泵段揚程基本不變，滿足約束條件，這無疑是一個巨大的進步。

圖8 優化設計葉輪外形及網格剖分Fig.8 The impeller shape and meshing of optimized impeller

圖9 優化設計與基準設計模擬值對比Fig.9 Comparison of performance between optimized and reference design

通過分析可知在相同流量下，泵段效率的改變一般由以下2部分組成：1)葉輪效率的變化；2)除葉輪外，其他部件損失的改變。對本優化作類似分析，并且將其他部件損失聚焦于導葉處，結果如表4所示。由表4可知，針對葉輪的優化在大流量區取得了較好的成果，而在小流量區提升較小，甚至比原有葉輪效率更低。但優化后的葉輪出水更為光滑均勻，減小了后續段的混合損失，從而使得總泵段效率得到提升。

表4 泵段效率分析Table 4 Efficiency analysis of pump section

以設計點(1.0Qdes)為例，最終設計相對于基準設計泵段效率提升為4.17%。以翼展50%跨度處周向展開圖及軸面圖做內流場分析，結果如圖10所示。在葉輪處，基準設計與最終設計葉輪內部流場分布都較為均勻合理，無明顯流動分離現象發生。然而在基準設計的導葉入口處出現了明顯的低速區，并伴隨著較為明顯的流動分離現象，方向由輪緣指向輪轂，如圖10(a)所示；在導葉出口處的葉片背面出現了較大范圍的低速區，該區域的流體與高速區流體相互作用將形成漩渦區，從而增加了流動損失，如圖10(c)所示。以上不利流動在優化后的設計中均得以削弱或消除，如圖10(b)和(d)所示。

圖10 基準設計域最終設計流場對比Fig.10 Comparison of flow field between optimized and reference design

葉輪出口處質量平均軸向速度分布如圖11所示，橫坐標中0表示輪轂，1表示輪緣。從圖中可以看出基準葉輪從輪轂到輪緣軸向速度逐漸增大，優化設計與之相反，這表明基準葉輪輪緣處做工能力大于輪轂，優化后輪轂處做工能力大于輪緣。由于輪轂半徑小于輪緣半徑，因此，當流體經過葉輪時，輪轂處摩擦損失大于輪緣處，輪緣處流體碰撞引起的混合損失大于輪轂處。在小流量區，摩擦損失占據主導地位，故當輪緣處做工能力大于輪轂處時，葉輪擁有較高的效率；在大流量區，混合損失占據主導地位，故當輪轂處做工能力大于輪緣處時，葉輪擁有較高的效率，這與圖9與表4的結果對比相一致。

圖11 葉輪出口處優化設計與基準設計軸向速度對比Fig.11 Comparison of impeller exit axial speed between optimized and reference design

4 結論

1)以三維反問題設計方法為基礎，結合拉丁超立方抽樣算法、克里金算法及非支配排序遺傳算法，可以構建起有效的混流泵多目標優化系統。相較于單目標優化，其可以有效的處理多個互相沖突的優化目標。

2)相較于初始模型，優化后泵段效率在較大流量范圍內均有明顯提升。分析各部件效率變化原因可知，在實際應用中，優化后葉輪對整體泵裝置效率的提升將更為明顯，因為泵段前后將連接更長的管段或更為復雜的流道。

3)由基線模型和優化模型效率對比分析可知，葉輪已相當完善，提升空間較小。然而，導葉或葉輪與導葉的耦合優化還具有較大的研究價值。此外，在泵站工程中，由于進出水流道較為復雜，考慮他們與泵段的相互作用，對其整體進行優化將會成為下一階段的研究重點。