安裝誤差對面齒輪承載傳動性能的影響

彭先龍，徐琪超，侯祥穎，寇發榮

(1.西安科技大學 機械工程學院，陜西 西安 710054；2.南京航空航天大學 直升機傳動技術重點實驗室,江蘇 南京 210016)

面齒輪傳動是圓柱齒輪和錐齒輪組成的一種角度傳動機構，目前主要應用于直升機主減速器、汽車差速器等重要的傳動系統中[1]，其承載性能在一定程度上反映了齒輪平穩性、壽命等嚙合品質指標。在面齒輪實際安裝過程中，不可避免地存在安裝誤差[2]，使得面齒輪在傳動過程中偏離理想安裝位置，進而降低面齒輪的傳動性能，因此研究安裝誤差對面齒輪承載傳動性能的影響規律，可以為優化、提高其嚙合品質提供理論依據。針對面齒輪傳動性能分析的文獻，主要集中于安裝誤差對各種修形齒面幾何接觸性能的定性影響[3- 4]，及其對承載性能的定性影響[5- 9]。因此，進一步探究安裝誤差對面齒輪承載傳動性能的定量影響規律，以設計安裝尺寸的公差范圍。本文旨在以面齒輪傳動為例，基于解析齒面建立面齒輪傳動的有限元模型，對其承載接觸問題進行求解，分析各種安裝條件下的齒面接觸應力、齒根彎曲應力、承載接觸路徑及承載傳動誤差(load tra-nsmission errors，LTE)，并初步確定了應力最大值、承載傳動誤差均值等指標與安裝誤差的函數關系。

1 含安裝誤差的面齒輪有限元模型

1.1 安裝誤差

根據文獻[10]關于面齒輪傳動嚙合理論的闡述，可以建立小輪、面齒輪齒面方程并確定相關的幾何參數。對齒面方程的求解，可獲得齒面坐標，進而建立兩輪嚙合的三維模型，如圖1所示。由于安裝誤差不可避免且現有研究表明安裝誤差對面齒輪幾何傳動性能有重要影響[11]，顯然其對面齒輪承載傳動性能的影響不可忽視。

圖1 面齒輪傳動安裝誤差示意Fig.1 Sketch of face gear drive misalignment

1.2 有限元模型的構建

通過數值計算獲得小輪與面齒輪齒面的離散數據點，并將點陣繞軸線旋轉獲得輪齒節點[13]；按照ABAQUS中關于八節點六面體單元的編寫規則，對輪齒網格模型的節點依次編號，并按順序構建八節點單元；將上述生成的單齒網格模型繞軸線旋轉，獲得多個單齒模型，將其依次進行連接后得到多齒模型。由于面齒輪實際重合度大于2，為了確保計算結果的準確性，選擇五齒模型。

圖2為齒面接觸分析(tooth contact analysis，TCA)輸出的幾何傳動誤差(transmission errors，TE)Δφ2。如圖2所示，當考慮面齒輪傳動的邊緣接觸時，其重合度大于2。圖中第i(i=1,2,3…)條曲線是第i對齒的幾何傳動誤差曲線，若視第3對齒為觀測齒對，在該齒對進入嚙合到退出嚙合的過程中，三齒嚙合區出現了3次，分別為φ3in～φ1out，φ4in～φ2out，φ5in～φ3out，兩齒嚙合區出現2次，分別為φ1out～φ4in，φ2out～φ5in。

圖2 幾何傳動誤差與兩輪的轉角Fig.2 Geometry transmission errors and rotation angle

鑒于上述分析并考慮到幾何傳動誤差的表達式[14]，大輪轉角φ2為：

φ2=((φ1-φ10)·N1)/N2+Δφ2

(1)

式中：φ1為TCA計算出的小輪轉角；φ10為初始轉角(且φ20=0)；N1、N2分別為小輪和面齒輪的齒數。

由圖2與式(1)可知，若直接由TCA輸出的轉角裝配兩輪，則該轉角必然大于或小于觀測齒對前、后嚙合齒對剛剛接觸時的轉角，并使有限元軟件輸出負變形的錯誤結果，因此應對上述不同嚙合區域分別計算實際的幾何傳動誤差和兩輪的轉角。

以無安裝誤差為例。在φ1out～φ4in的兩齒嚙合區內，齒對2的側隙與觀測齒對的側隙有：δ3a≤δ2a；在φ2out～φ5in的兩齒嚙合區內，齒對4的側隙與觀測齒對的側隙有：δ3b≤δ4b。因此在兩齒嚙合區，主要由觀測齒對承載且觀測齒對未產生邊緣接觸。

在φ3in～φ1out的三齒嚙合區，齒對2、齒對1的側隙和觀測齒對的側隙有：δ2<δ1且δ2<δ3，即此時主要由齒對2承載且齒對2未產生邊緣接觸；在φ4in～φ2out的三齒嚙合區，齒對4、齒對2的側隙和觀測齒對的側隙有：δ3<δ4且δ3<δ2，即此時主要由觀測齒對承載且觀測齒對未產生邊緣接觸，此情況與兩齒嚙合區的分析結果相同；在φ5in～φ3out的三齒嚙合區，齒對5、齒對4的側隙和觀測齒對的側隙有：δ4<δ5且δ4<δ3，即此時主要由齒對4承載且齒對4是齒面接觸(非邊緣接觸)。

綜上所述，判斷完不同嚙合區域的輪齒承載關系后，可通過下式確定觀測齒對在有限元裝配中實際的小輪轉角φ1為：

φ1=φT1±nT1(T1=2π/N1，n=0,1,2,3,…)

(2)

幾何傳動誤差Δφ2為：

Δφ2=Δφ2T(φT1±nT1)

(3)

大輪轉角φ2為：

(4)

式中：φT1、φT2及Δφ2T分別為TCA計算出的觀測齒對的小輪轉角、大輪轉角及幾何傳動誤差。

當齒輪傳動存在邊緣接觸時，進行有限元靜力學分析時，都可通過判斷不同嚙合區域的輪齒承載關系，并利用TCA和式(2)～(4)，確定觀測齒對嚙入嚙出過程中的轉角(本算例TCA計算的步長為2π/(8N1)，從而修正齒輪副在有限元分析中的輸入轉角。本算例中，小輪輸入扭矩為1 600 N·m且無安裝誤差時,修正前后獲得的承載傳動誤差如圖3所示。

圖3 幾何傳動誤差與修正前后的承載傳動誤差Fig.3 TE and LTE of before and after correction′s model

通過離散轉角φ1、φ2分別將上述兩輪五齒有限元模型變換(裝配)到固定坐標系Sf中。對于面齒輪，在將其輪齒節點由自身坐標系變換到Sf的過程中(坐標變換過程可以參考文獻[10])，建立包含安裝誤差的輔助坐標系，從而建立含安裝誤差的有限元模型，獲得了兩輪的五齒裝配模型。利用Sf中兩輪的五齒模型的節點、坐標及編號、單元編號及其節點編號等數據編寫每一組轉角下的inp文件，將這些inp文件導入ABAQUS，所得有限元模型如圖4所示。該模型中，面齒輪、小輪(假想插齒刀)的齒數N2、N1(Ns)分別為160、25(28)；模數為6.35 mm；壓力角為25°；軸夾角為90°；面齒輪內半徑為480 mm，外半徑為560 mm，小輪的齒寬與面齒輪齒寬均為80 mm；兩輪網格密度(齒寬×齒高×齒厚)均為10×10×5，為獲得較高的計算精度，下文算例模型中的網格密度皆為51×81×5，模型節點數為159 732，單元數為133 280。

圖4 面齒輪傳動的有限元模型Fig.4 Face gear drive finite element model

2 有限元前處理與后處理

2.1 有限元前處理

在有限元接觸分析前，還需在inp文件中定義如下參數：1)兩輪材料屬性：密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.29，彈性模量為206.8 GPa；2)單元屬性：采用六面體一次縮減積分單元；3)接觸:接觸形式為面對面接觸，設置面齒輪右側齒面(主面)及與之嚙合的小輪齒面(從面)為接觸對，則五齒模型需建立五對接觸面，接觸屬性為無摩擦硬接觸；4)參考點:將小輪內圓柱面和兩側剖面與其軸線上任意參考點RP-1建立剛性約束；將面齒輪底面和兩側剖面與其軸線上任意參考點RP-2建立剛性約束(圖4)；5)分析步:選用靜力學通用算法，分析時長選擇默認；6)輸出變量:選擇齒面接觸應力、齒根彎曲應力、小輪轉角位移量為場輸出變量；7)邊界條件及載荷:對面齒輪全約束，對小輪施加扭矩T并釋放其繞軸線的旋轉自由度，輕載時施加0.5 N·m的扭矩，滿載時施加1 600 N·m的扭矩。

參考文獻[15]中的有限元靜態分析方法，通過編寫基于Windows的批處理程序，將面齒輪嚙入嚙出過程中的全部inp文件批處理導入ABAQUS，進行承載接觸問題的求解。

2.2 有限元結果及后處理

求解結束后，可得各嚙合轉角下的齒面接觸應力、齒根彎曲應力、小輪參考點處的角位移Δφ1L等結果，面齒輪節錐面上的齒面接觸應力云圖及接觸橢圓如圖5所示。通過ABAQUS內嵌的python語言編寫腳本文件，進行后處理[16]，可獲得嚙入嚙出過程中的應力、小輪參考點的角位移等結果。

圖5 齒面接觸應力與接觸橢圓Fig.5 Contact stress and contact ellipse of face gear

承載傳動誤差主要包括齒側間隙、承載變形[17]，其中齒側間隙可通過上述方法計算的幾何傳動誤差Δφ2表示，承載變形則由上述后處理獲得的小輪參考點的角位移Δφ1L表示，則承載傳動誤差為：

Δφ2L=Δφ2+(Δφ1L·N1)/N2

(5)

2.3 前處理設置準確性的檢驗

為驗證計算結果的準確性，有必要對建模方法及前處理設置進行檢驗。計算結果顯示本文算例單齒、多齒的齒面接觸應力分別為864.43、784.11 MPa，兩者相對赫茲接觸應力計算結果的誤差最大都不超過8%。本文算例與文獻[18]中表3所示面齒輪參數及前處理條件相同，但本文算例齒寬縮短了8 mm。將本文算例的齒面接觸應力和齒根彎曲應力與文獻[18]的仿真結果進行對比，本文算例的齒面接觸應力與齒根彎曲應力分別為1 620.31、88.46 MPa，兩應力結果相對文獻[18]仿真結果的誤差皆小于7%。

輕載條件下，對準安裝及Δγ=-0.05°時的承載傳動誤差如圖2所示，承載傳動誤差曲線與幾何傳動誤差曲線相互重合，說明在載荷接近于0時，不會產生接觸變形和彎曲變形，所以承載傳動誤差與幾何傳動誤差幾乎相等。

應力對比及傳動誤差的對比結果說明了上述有限元建模方法及前處理設置的正確性。

3 有限元算例結果與分析

基于上述方法構建面齒輪傳動有限元模型，求解各種安裝條件下滿載時面齒輪的承載接觸問題，進而獲得應力、齒面接觸印痕、承載傳動誤差等信息。由TCA確定取值范圍Δq為-0.3～0.3 mm，Δγ為-0.05～0.05°，ΔE為-0.5～0.5 mm。

為分析安裝誤差對面齒輪傳動強度、平穩性的影響，須著重關注面齒輪應力最大值、承載傳動誤差均值隨安裝誤差的變化情況。

3.1 安裝誤差對接觸路徑的影響

幾何接觸路徑與承載接觸路徑如圖6所示，當Δq、Δγ及ΔE分別取負值、正值時，幾何接觸路徑與承載接觸路徑均分別向面齒輪內徑、外徑發生偏移。同時幾何接觸路徑與承載接觸路徑對Δγ最敏感，因此為保證傳動質量，在面齒輪的實際裝配中應盡可能使Δγ趨于0。

圖6 接觸路徑Fig.6 Contact trajectory

如圖6所示，由于TCA通過切觸方程確定可能的接觸點，而有限元承載接觸分析可以確定這些可能接觸點是否承載，因此在輪齒更替時的嚙入嚙出點上，幾何接觸點與承載接觸點的位置存在差異，反映嚙入嚙出點上兩輪轉角范圍有一定差異。

3.2 安裝誤差對齒面接觸應力的影響

正、負安裝誤差使面齒輪齒面接觸應力、邊緣接觸應力有所減小或增大，如圖7所示，當Δγ=-0.05°時，邊緣接觸應力最大值增加至2.26 GPa。

齒面接觸應力最大值的增量ΔSc，

ΔSc=Scw-Sca

(6)

式中：Scw、Sca分別表示有、無安裝誤差時齒面接觸應力的最大值。ΔSc隨安裝誤差變化的規律如圖8所示。

在安裝誤差作用下，ΔSc有增有減，如圖8所示，總體上負值安裝誤差情況下ΔSc的變化幅度大于正值安裝誤差情況，且當Δγ=-0.05°時，ΔSc高達0.64 GPa，反映負值安裝誤差使面齒輪齒面接觸強度有所降低。因此從提高面齒輪齒面接觸強度的角度考慮，Δγ的下限盡可能取正值。

圖7 安裝誤差對齒面接觸應力的影響Fig.7 Influence of misalignment on contact stress

圖8 安裝誤差對應力最大值的影響Fig.8 Influence of misalignment on maximum stress

3.3 安裝誤差對齒根彎曲應力的影響

安裝誤差對面齒輪齒根彎曲應力的影響規律如圖9所示。各種安裝條件下，當接觸橢圓中心在節錐面附近時出現最大齒根彎曲應力，表明載荷主要由節錐面附近的齒面承受。

圖9 安裝誤差對齒根彎曲應力的影響Fig.9 Influence of misalignment on bending stress

齒根彎曲應力最大值的增量ΔSb，

ΔSb=Sbw-Sba

(7)

式中：Sbw、Sba分別表示有、無安裝誤差時齒根彎曲應力的最大值。其隨安裝誤差變化的規律如圖8所示。

如圖8所示，ΔSb隨安裝誤差的變化基本呈減函數關系，且負值安裝誤差情況下ΔSb的變化幅度大于正值安裝誤差情況。當Δγ=-0.05°時，ΔSb達到了78.23 MPa，反映負值安裝誤差使面齒輪齒根彎曲強度有所降低。因此在考慮面齒輪齒根彎曲強度時，應著重關注負值Δγ。

3.4 安裝誤差對承載傳動誤差的影響

各種安裝誤差對承載傳動誤差的影響如圖10所示，承載傳動誤差隨著安裝誤差的增大整體向左偏移，反映安裝誤差導致嚙入嚙出過程中兩輪的轉角不同。安裝誤差對承載傳動誤差的幅值有明顯影響。當ΔE=-0.5 mm、Δq=-0.2 mm和Δγ=-0.03°時，與無安裝誤差相比，承載傳動誤差幅值的最小值分別減小0.207″、0.13″和0.085″；當ΔE=0.3 mm、Δq=0.2 mm和Δγ=0.05°時，承載傳動誤差幅值的最大值分別增加0.339″、0.382″和0.825″。

如圖10所示，安裝誤差對承載傳動誤差均值(圖中平行于x軸的直線)也有明顯影響。當ΔE=-0.5 mm、Δq=-0.3 mm和Δγ=-0.05°時，與無安裝誤差情況相比，承載傳動誤差的均值分別變化了1.148″、1.950″和5.963″；當ΔE=0.5 mm、Δq=0.3 mm和Δγ=0.05°時，承載傳動誤差的均值分別變化了0.746″、0.671″和0.164″。由于Δγ對承載傳動誤差的均值影響最大，從降低振動與沖擊的方面考慮，在實際裝配中應減少Δγ的公差范圍。

承載傳動誤差均值的增量Δζ，

Δζ=ζS-ζP

(8)

式中：ζS、ζP分別表示有、無安裝誤差時承載傳動誤差的均值。

其隨安裝誤差變化的曲線如圖11所示。

圖10 安裝誤差對承載傳動誤差的影響Fig.10 Influence of misalignment on LTE

如圖11所示，Δζ隨安裝誤差的變化基本呈指數關系，Δζ隨著Δq、Δγ及ΔE的增加而增大。

圖11 安裝誤差對承載傳動誤差的影響Fig.11 Influence of misalignment on LTE

4 結論

1)本文面齒輪傳動有限元建模基于齒面的解析坐標，模型裝配基于坐標變換，該方法能夠充分考慮齒面微觀特征、微觀安裝誤差對承載傳動性能的影響。計算結果與經典方法的結果的比較，說明了本文建模及計算過程的正確性。

2)偏置安裝誤差、軸向安裝誤差和軸夾角安裝誤差均使接觸、彎曲應力有所增加，但是這些安裝誤差取負值時將使得應力大幅增加。

3)承載傳動誤差幅值、均值隨偏置安裝誤差、軸向安裝誤差和軸夾角安裝誤差的增大而增大，這些安裝誤差取負值時，承載傳動誤差的均值變化幅度大，反映輪齒嚙合剛度有所減小。

4)從提高接觸、彎曲強度和增加嚙合剛度的角度來說，應該盡可能減少這些安裝誤差負值的絕對值，即這些偏差的下限最好不要超過0。