應變片位置對動態應力強度因子求解的影響

鄒廣平，諶赫

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

動態斷裂韌性測試方法大致可以分為經驗公式法、應變片法和光學方法，3種方法各有優劣。早期動態斷裂實驗研究的思路是將宏觀量(加載點位移、載荷等)與微觀量(動態應力強度因子)建立起聯系。對于不同構型的試樣，提出了相對應的經驗公式[1-2]，但經驗公式法的局限性日益突出。隨著光學測量技術的發展，裂紋尖端應變場可以通過光學測量手段測得，典型的測量手段有光彈法[3]、焦散線法[4]、數字圖像相關法[5]、相干梯度敏感干涉法[6]等。結合高速攝影技術，裂紋擴展過程也可以被觀察到[7]。目前各種光學方法在材料斷裂領域得到了廣泛的應用。應變片法是將應變片粘貼在裂紋尖端附近，通過應變片信號計算應力強度因子。由于應變片可以直接得到裂紋尖端的信息，一般認為該方法較為準確，可以用來標定其他方法[8]。應變片法相對于光學方法成本更低，但在高溫或低溫等特殊條件下不適用。Dally等[9]最早采用應變片法對材料準靜態與動態應力強度因子進行了測定，采用單應變片測量I型應力強度因子，給出了應變片粘貼角度滿足一定條件時，應力強度因子與應變片信號之間的關系。Rittel[10]將應變片法應用于Ⅱ型問題，采用雙應變片，通過不同方向的應變來求解應力強度因子。目前雖然有學者討論了應變片的角度[11]、位置[12]如何影響起裂時間測定，但應變片位置對應力強度因子測定精度的影響僅有定性分析，尚未細致討論[13-14]。文獻[10]提出的雙應變片法的計算誤差取決于系數矩陣條件數。

本文分析應變片位置對系數矩陣條件數的影響，指出條件數最小的位置，同時采用數值模擬方法分析了不同條件數的情況下隨機誤差對動態應力強度因子計算解的影響，給出合適的應變片粘貼位置。

1 應變片法計算動態應力強度因子

如圖1所示的坐標系中，應變可以表示為[10]：

(1)

式中：下標i、j為應變分量方向，取值范圍為1、2；下標k為應變片的編號，圖1中應變片1測量ε11，應變片2測量ε22。

圖1 裂尖局部坐標系Fig.1 Local coordinate system at crack tip

應變分量與應力強度因子為：

(2)

式中系數矩陣為F，反解式(2)即可解出每一時刻的應力強度因子：

F=K-1ε

(3)

平面應力狀態下，式(2)中的gij(θ)表達式分別為：

(4)

式中:E為楊氏模量;ν為泊松比，將E替換為E/(1-ν2);ν替換為ν/(1-ν)即可得到平面應變狀態下的表達式。

2 系數矩陣條件數的變化規律

由矩陣理論可知，式(3)解的精度取決于矩陣F-1的條件數。矩陣條件數的定義為：

cond(F)=‖F‖2·‖F-1‖2

(5)

式中為‖F‖2矩陣F的2-范數，顯然，矩陣F-1的條件數等于F的條件數。當系數矩陣病態，即條件數很大時，應變分量的微小變化可能引起應力強度因子解的極大誤差。因此討論系數矩陣條件數的變化規律是十分必要的。

系數矩陣條件數的表達式十分復雜，其值取決于應變片的粘貼位置。為簡便，本文從以下2種特殊情況分析：

1)2個應變片中心點連線與裂尖共線，即θ1=θ2=θ，r1/r2=a(a≠1)時，矩陣的行列式為：

(6)

可見系數矩陣F接近奇異，這種情況是高度病態的，因此這種情況應當排除；

2)2個應變片中心點到裂尖的距離相等，即r1=r2，此時條件數與θ1和θ2有關。對于如圖2所示的網格，θ1和θ2的取值范圍是±168.75°，間隔11.25°。取r1=r2=5 mm，E=68.5 GPa，ν=0.33，采用Matlab編程計算系數矩陣的條件數。限于篇幅，本文列出±90°范圍內系數矩陣條件數的值，計算結果分別如表1、2所示。可以看出，系數矩陣條件數在θ1與θ2分別取±90°時取得極小值1，而當θ1=0°，θ2=±90°時，系數矩陣條件數取得極大值565.7。將表1中大于10的數據用方括號表示，大于2的數據用圓括號表示，可見多數情況下系數矩陣條件數不大于2，但在極大值附近梯度很大。

推廣到一般情況，即θ1與θ2的值確定，但r1≠r2的情形。設r1

(7)

圖2 裂紋尖端網格劃分Fig.2 Mesh of specimen near crack tip

圖3為文獻[10]中應變片的粘貼位置，應變片的坐標為：r1=2.65 mm，θ1=1.4°；r2=3.77 mm，θ2=-74.7°。代入式(2)可以計算出系數矩陣的條件數為26.57，可見此時系數矩陣較為病態。考慮到測量誤差，實際貼片位置的系數矩陣條件數值可能更大，因此按文獻[10]的位置貼片是不合適的。

圖3 文獻[10]的貼片位置Fig.3 Location of strain gauges in ref.[10]

表1 系數矩陣條件數與角度的關系(第1部分)Table 1 Condition number of coefficient matrix under different angles (part 1)

表2 系數矩陣條件數與角度的關系(第2部分)Table 2 Condition number of coefficient matrix under different angles (part 2)

續表2

3 應變片法誤差分析

應變片的原理是通過電信號求解應變，而電路中不可避免存在噪聲干擾，帶來隨機誤差。本文討論條件數不同的情況下，隨機誤差對應力強度因子求解的影響。本文基于分離式Hopkinson拉桿實驗裝置，提出1種改進的緊湊拉伸試樣(modified compact tension shear,MCTS)用于Ⅱ型及復合型動態斷裂加載測試[15]。本文采用ABAQUS軟件對MCTS試樣受到Ⅱ型加載的問題進行有限元分析，根據定義，采用應力外推法[16]計算出動態應力強度因子值。MCTS試樣有限元模型如圖4所示，入射桿端部施加的應力波形為參考文獻[17]中實測波形。

圖4 MCTS試樣有限元模型Fig.4 Finite element model of MCTS specimen

為了便于討論，本文中將數值模擬直接求得的解稱為數值解，通過理論公式推導出的結果稱為計算解。采用應力外推法求得MCTS試樣動態應力強度因子數值解，如圖5所示。將應力強度因子值代入式(2)即可求得一點應變的計算解。在此基礎上附加隨機誤差后，代入式(3)反解出應力強度因子，并與其數值解進行對比。

圖5 MCTS試樣動態應力強度因子Fig.5 Dynamic SIF of MCTS specimen

圖6顯示了隨機誤差幅值為應變最大值的5%時，應力強度因子計算解與數值解的差異。圖6(a)、(b)分別選取系數矩陣條件數取極小值1與極大值565.7的情況。由圖可見，當條件數取極大值時，5%的隨機誤差就足以使動態應力強度因子的解面目全非。

圖6 5%隨機誤差下動態應力強度因子解Fig.6 Dynamic SIF solution under 5% random error

當條件數取極小值時，動態應力強度因子解的誤差很小。增大隨機誤差的數量級，幅值為應變最大值的25%時，求解結果如圖7所示。作為對比，系數矩陣條件數取在相同數量級，分別為1、5.9。可見動態應力強度因子的計算誤差與條件數的數量級有關。當條件數位于同一數量級時，同樣幅值隨機誤差作用下解的計算誤差也在同一數量級。

圖7 25%隨機誤差下動態應力強度因子解Fig.7 Dynamic SIF solution under 25% random error

4 改進的緊湊拉抻試樣動態應力強度因子解

選取不同應變片位置計算動態應力強度因子。節點的局部坐標如表5所示。將動態應力強度因子數值解代入式2可以求得每一節點的應變分量的計算解。應變分量計算解與數值解的對比如圖8、9所示。

表5 節點編號與坐標Table 5 Number and coordinate of nodes

圖8 第1組節點應變對比Fig.8 Strain comparison of node group 1

圖9 第2組節點應變對比Fig.9 Strain comparison of node group 2

可以看出，第1組節點條件數取得極小值，但應變計算解與數值解誤差較大；第2組節點條件數更大，應變計算解與數值解誤差較小。節點應變的最大絕對誤差與最大相對誤差如表6所示。應力強度因子計算解與數值解對比見圖10、11。解的誤差見表7。

表6 節點應變誤差Table 6 Error of nodal strain

圖10 第1組節點動態應力強度因子解Fig.10 Solution of DSIF of node group 1

圖11 第2組節點動態應力強度因子解Fig.11 Solution of DSIF of node group 2

表7 動態應力強度因子誤差Table 7 Error of DSIF solution

二者比較可以看出，雖然在±90°方向上系數矩陣條件數取得極小值，但應變計算解與數值解的誤差較大；而在-45°方向附近應變計算解與數值解的誤差較小，故后者精度更高。由此可見，要提高動態應力強度因子解的精度不僅需要考慮系數矩陣條件數，還需要考慮應變計算解與數值解的誤差。

5 結論

1)應變片法求解動態應力強度因子的過程中，系數矩陣條件數取決于應變片位置。大部分位置滿足條件數小于2，而某些特定位置下條件數可能超過500，粘貼應變片時需要避開這些位置。

2)隨機誤差作用下，動態應力強度因子解計算誤差與隨機誤差之比的數量級與系數矩陣條件數的數量級相同。系數矩陣條件數大于500時，5%隨機誤差即可對動態應力強度因子的解產生巨大影響；而條件數小于10時，條件數的影響并不顯著。

3)動態載荷作用下，試樣裂紋尖端應變場是數值解與式(2)在θ=-45°或θ=±90°方向能夠較好地符合。在這些方向上粘貼應變片能得到精度較高的解。