案例引領的翻轉課堂教學模式在高等數學教學中的應用
——以“定積分的幾何應用”為例

艾莉萍

(湖北大學數學與統計學學院，湖北武漢，430062)

如何將“灌輸式”教學變為“引導式”，將“被動式”學習變為“主動式”，一直是困擾高校特別是高等數學教育的難題。本文試圖分析最前沿的翻轉課堂教學理論，并通過具體案例教學，結合高等數學教育實踐，提出有效解決這一問題的路徑和方法。

一、案例引領的翻轉課堂教學模式

(一)翻轉課堂教學模式

傳統的課堂教學模式，是以教師在課堂上講授為主，學生在課堂上的主要任務是聽講、做筆記、課堂練習等。課后，學生則以復習和完成作業為主要任務，而教師的主要任務則是批改作業和備課。翻轉課堂教學模式，則是學生在課前先通過教師提供的視頻、電子書、網絡資源等各種多樣化的學習材料自主學習課程內容，而課堂在這一教學模式中則變成了教師和學生之間、學生和學生之間進行交流與溝通的場所。[1]可見，翻轉課堂教學模式能夠較容易地完成由以教師為主體的教學到以學生為主體的教學的轉換。

(二)案例教學法

不同學科的學者對于案例的定義往往有不同的看法。商業領域的學者認為，案例指特定情況、實例、事例；醫學領域的解釋，則是病例、案例、問題；法學領域學者則認為案例指案件、案子、訴訟案等。不論是哪一門學科，“案例”都強調真實情境。[2]因此，教學案例需要先篩選出恰當的現實生活中的事例，再將之與教學目標、教學內容有機結合，最后設計出適合學生學習、有助于提高學生解決問題的能力且位于學生最近發展區的教學資源。

案例教學法強調過程的完整性。案例的選取和編寫、案例的實現步驟以及案例的討論與總結，這是一個連續的過程，每一環節缺一不可。這一教學方式，對于學生的能力和投入的時間精力，都提出了更高的要求。案例教學法不僅要求學生要完成課前準備、課堂討論、課后總結反思等各個環節，更要求學生積極思考、主動解決問題。這一教學方法能夠極大調動學生學習的主觀能動性，提高學習效率。

(三)案例引領的翻轉課堂教學模式

案例引領的翻轉課堂教學模式將教學活動分為課前、課中和課后三個階段，且每個階段都對教師和學生的活動及目標進行了規劃。[2]

課前：教師選取并設計適當的案例，在線發布案例學習任務單；學生回顧知識點，自主探究案例學習問題，嘗試解決問題，提交學習報告。教師根據學生提交學習報告的情況進行整理、學生分組、完成情況評價。

課中：教師引導學生問題解決，關注學生小組討論和問題解決的進程，及時進行指導，最后進行歸納和點評；學生以小組合作的形式討論問題、解決問題，最后進行自主學習問題解決的成果匯報。教師依據學生課堂表現、匯報質量進行評價。

課后：學生提交案例分析報告，分析運用并升華結論，課后反思；教師在線指導學生作業，批改作業并做出評價，進行教學反思。

二、案例引領的翻轉課堂教學模式在高等數學教學中的應用

鑒于高等數學的教學內容較多，課時較緊張，下面僅以“定積分的幾何應用”為例對案例引領的翻轉課堂教學模式的實施過程進行闡述。“定積分的幾何應用”是高等數學中一元函數微積分的重點和難點，公式較為復雜，題目有一定難度。因此，對于這一知識點的教學常以講練結合為主，即教師課上講解例題，學生課下結合公式進行模仿。照著教材或課件中的例題一步步推演，雖然有助于學生抓住解題的主要過程，以應對各類測試，但也容易讓學生陷入只知依葫蘆畫瓢而不知類比和反思、只知解題技巧而忽視思想與方法的歧途。對于數學學科的教學，解題教學固然重要，但過分強調解題教學，必然會導致忽視數學學科的應用的廣泛性。為改變課堂教學的這一現狀，教師可以尋找適當的案例作為課前材料，進行翻轉課堂的嘗試。

(一)課前階段

1.確定學習目標

學生通過之前的學習，已經掌握了定積分的定義及“元素法”的相關知識。通過本節的學習，學生們應能夠解決平面曲線的弧長等應用問題。[3]但本節的掌握情況還會直接影響到后續章節的相關內容如空間曲線的學習，所以，各層次的教學目標都應兼顧到。

本節的教學目標為：

(1)能夠正確說出曲線弧的弧長以及曲線可求長的概念；

(2)能夠運用定積分計算不同坐標情形下給出方程的曲線弧的弧長；

(3)掌握弧長計算公式的推導過程，并能夠類比到其他類似的幾何問題；

(4)理解微積分中“以直代曲、以常代變”的思想；

(5)通過本節的學習，體會數學應用的廣泛性，通過分析懸鏈線問題和各類擺線、螺線問題，體會數學之美。

2.案例篩選、資料搜集

案例教學強調真實情境，由于本節為定積分的幾何應用，要找到符合要求的案例還是比較容易的。因此，對于眼前的大量案例，教師的工作重點就應放在案例的篩選上。由于本課時的教學內容為平面弧長的計算，高壓架空輸電線路的長度問題就屬于較為恰當的案例。

確定了本課時需要使用的案例之后，教師要結合懸鏈線問題的提出與解決，通過故事性的敘述加演示，激起學生的學習興趣，引導學生利用定積分的元素法解決高壓架空輸電線路的長度問題。

3.設計、發放和回收學生自主學習任務單

教師篩選和設計好適合的教學案例之后，接下來的主要任務就是設計學生自主學習、合作學習的依據——學習任務單。學習任務單的設計，不僅要依照前面提到的教學目標，還需要根據教師發布的資料、課堂教學的組織與流程來進行。

本課時的學習任務單，應當引導學生對原有的舊知——定積分的定義、元素法等內容進行復習與鞏固，根據提供的文本及微課片段，通過自主學習和小組合作的方式分析案例并給出解決方案，提交學習報告。

在任務單的設計過程中，教師可以將案例中提出的問題進行分解，提出若干小問題。這樣一方面可以降低學生解決問題的難度，另一方面也可以提高學生的學習興趣。例如，教師可以將問題“在兩座山頭有兩座高壓電塔，現在需要運輸高壓電線到現場，問需要多長”拆分為以下幾個相關聯的問題：

問題1：高壓架空輸電線路的曲線是拋物線嗎？如果不是，那么曲線方程是什么？

問題2：電線在架設時，松緊程度至關重要。那么，應該如何計算高壓架空輸電線路的長度呢？

問題3：生活中，你是否見過類似的問題呢？請試著提出一個問題，并解決它。

根據回收的學習任務單，教師能夠掌握學生知識掌握的情況，并能及時跟蹤學生自主學習和自主探究能力的變化過程。

(二)課上階段

在案例引領的翻轉課堂教學模式的課上階段，學生與教師的主要教學任務，就是要解決課前布置的案例與相關問題。而對于教師來說，為了及時和公正地對于學生的表現給出評價和反饋，還需要認真觀察每個小組完成情況、創新能力和各個組員的表現。高等數學的傳統課堂教學往往以講授法為主，習題課為輔，導致“滿堂灌”式教學比比皆是。學生缺少練習，但更缺少的是思考，是主動運用數學工具解決實際問題的思想和能力。因此，在該階段，教師應將注意力集中在案例的分析和解決的方法上，而不應過于重視結果和答案。

課前篩選案例的過程中，其他一些合適的案例也可以補充進課堂教學，并予以討論。比如說，同樣屬于懸鏈線問題的案例還有著名的達·芬奇畫作《抱銀鼠的女子》中女子脖頸上佩戴的黑色珍珠項鏈。教師可以通過提出問題串，對于學生掌握情況進行檢驗，并讓學生通過查閱資料，試著找出困擾達·芬奇直至他去世的問題：如果固定項鏈的兩段，讓它在重力的作用下自然地下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？如果已經知道了項鏈的曲線是什么，那么是否能夠求出項鏈的長度呢？類似的曲線在生活中哪里還能見到呢？知道曲線的長度又有哪些實際意義呢？[4]對于學有余力的學生，有深度的學習內容和問題是必要的。因此，教學中教師應當適時觀察不同基礎不同個性學生的表現，并進行引導。

(三)教學評價及教學反思

教學評價是依照教學目標，對教師教學設計、實施等進行評價，對學生的學習效果進行評價的過程。公正且及時的評價，能夠調動學生的學習興趣，增強學生的信心，明確學習的目的與目標。教學評價需綜合考量課下及課上的表現，同時，考慮到學科特點、教學實際、學生基礎、評價客觀性等因素的影響，一般教學中還應當結合期末測試進行綜合評價。有針對性地設計和實施診斷性測驗，能夠使學生在碎片化學習的情況下，提升知識掌握的系統性，更好地構建數學學科的認知結構。[5]

課前階段教師的作用至關重要，如何有針對性選取案例，設計問題，這是案例教學法中最為重要的。課中階段教師要注重以引導為主，適時掌控課堂討論的方向與節奏，發揮翻轉課堂教學模式的優勢。課后階段教師要做好總結評價，重點是查找不足，有針對性提升教學質量。

當然，無論是否基于案例教學，無論是否采用翻轉課堂教學模式，教師對于學生的指導和評價，都必須基于國家教育方針、課程標準和教學目標。當前，對于大班教學，翻轉課堂教學模式依然存在許多亟待解決的問題。如何切實做到以學生思考討論為主，教師講課引導為輔，又不能脫離具體教學實際；如何做到在有限的課時，調動大部分人甚至是所有學生學習的主動性、參與性、積極性，仍然是值得研究和探索的問題。案例引領的翻轉課堂教學模式在高等數學教學中的應用還要靠實踐來不斷豐富和完善。