用赫爾德不等式和柯西不等式證明一類根式不等式

劉保乾

（西藏自治區組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000）

用赫爾德不等式和柯西不等式對根式不等式進行證明是比較常見的做法，通常是用赫爾德不等式和柯西不等式得到根式表達式的一個估計，然后用這個估計式對欲證不等式進行放縮，從而達到證明不等式的目的.但實際上這只能證明一些較簡單的不等式，對多數根式不等式直接證明會失效，此時得另想辦法.本文借助于不等式自動發現與判定程序agl2012[1-3]對此問題進行探討，提出了試探性解決算法并編寫了應用程序，解決了大量不等式難題和遺留問題.

1 赫爾德不等式和柯西不等式

赫爾德不等式，又稱為H?lder-Rogers 不等式，是指：設aij（i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，m）是正實數，αi（j＝1，2，…，m）是正實數，且α1＋α1＋…＋αm＝1，則

當（a11，a21，…，an1），（a12，a22，…，an2），…，（a1m，a2m，…，anm）成比例時取等號.當 m＝n＝3，時，就有下面的特例.

推論設 xi，yi，zi＞0（i＝1，2，3），則有

本文中主要應用（2）式和（3）式.

2 算法和程序

2.1 基于赫爾德不等式的算法

設 Ai，Bi＞0（i＝1，2，3），對于根式型不等式

由赫爾德不等式得

如果不等式

成立，則不等式（4）獲證.如果不等式（6）不成立，此時可以通過給有關項乘以附加表達式的方法加以解決.例如，可以引入附加表達式Ci（i＝1，2，3），由赫爾德不等式得

如果不等式

成立，則引入附加表達式成功，即要證根式不等式（4），只需證明不等式（8）成立就可以了.

或者引入附加表達式Ci（i＝1，2，3），由赫爾德不等式得

故欲證根式不等式（4），只需證明不等式

而且不等式（8）或（9）的次數愈低，則認為引入的附加表達式愈理想.為敘述方便，以下稱不等式（4）為欲證式，不等式（8）和不等式（9）為需證式.

由此可見，證明不等式（4）的關鍵是尋找附加表達式Ci，使需證式（8）或（9）成立，而這種尋找工作可以通過agl2012 程序的數據構造命令構造海量數據實現.調用agl2012程序的隨機數驗證模塊otf 進行測試，找出滿足（8）式或（9）式的附加表達式Ci.而且還可以在找到的附加表達式結果中，選出那些使需證式次數最低的附加表達式，從而得到最簡潔的證法.根據這個思路可直接得到一個試探性驗證算法，并編寫出應用程序hldset.其命令格式為：

＞hldset（ex，k，setj）；

當setj 取為集合{1}時，表示附加表達式取為C1＝C2＝C3＝1，此時（8）式退化為（6）式，表示不等式（4）可以直接用赫爾德不等式證明.

注1在實際編程時，可將待測試數據集setj 取為一個多項式通式，例如對于3 元4次多項式，這個通式可取為

然后設定系數ki在一定的范圍內取值，用所得的多項式作為附加表達式逐一驗證.如果驗證不成立，再升高次數繼續驗證.

注2對于開3 次方甚至開n 次方的根式，算法是一樣的.例如對根式不等式

其需證式為

注3對于不等式（4），還有一些變式，利用這些變式的特點，就可能得到次數更低的不等式.例如，對不等式

此時需證式可取為

即實際編程中要綜合考慮各種可能的情形，以覆蓋盡可能多的類型，以增加程序功能.

2.2 基于柯西不等式的算法

觀察不等式（4）可以發現，它是下界型不等式.那么對于上界型根式不等式

該如何破解根號呢？可以考慮用柯西不等式來解決.

對于不等式

（注意不等式（14）總是可以化為（15）的形式），若引入附加表達式W＝{W1，W2，W3}，由柯西不等式有

成立，則不等式（15）獲證.

對于不等式（14），若引入附加表達式W＝{W1，W2，W3}，由柯西不等式有

成立，則不等式（14）獲證.由此得到證明不等式（14）的算法和程序.現用csset 表示這個算法和程序，其命令格式為：

＞csset（ex，k，setj）；

本文重點關注需證式的建立過程，尤其是附加表達式的尋找過程.由于需證式本質上是一個多項式不等式，而多項式不等式的證明目前已有多種證法可以選擇，故需證式的證明不作為討論重點.

3 應用舉例

例 1（陳計，https://artofproblemsolving.com/community/c6h202843）設 x，y，z＞0，證明不等式

其中Σ表示循環求和（以下均同于此）.

證明不等式（18）已被陳計證明，他實際上引入了附加表達式

為了書寫簡便，可以對附加表達式進行簡寫，如這里的附加表達式可簡寫

為C＝{2x＋y＋z}.現用hldset命令進行測試.鍵入命令：

＞read“zk.txt”；#調用提前構造好的數據集#

＞hldset（sqrt（（x＾2＋y z）/（y＾2＋z＾2＋y z）），sqrt（6），zk）；

則輸出一系列附加表達式及對應的需證式，以下用deg 表示需證式的次數.

具體輸出結果如下：

可以看出，陳計所取的附加表達式最理想，對應的需證不等式為

次數為9 最低，且用配方法容易證明.

如果以（9）式為算法公式，則附加表達式可取為C＝2x2＋yz，需證式為

此時deg＝12.

例22008 年，網友can_hang2007（越南著名不等式專家）在AoPS 上發布了主題為“hard cyclic inequality，I created it but I cannot solve it”的帖子：設 x，y，z＞0，證明不等式

證明不等式（19）至今未見到解決.但用hldseta 命令很快找出附加表達式為C＝{x＋2z}，此時需證式為

不等式（20）可化為一個3 元11 次輪換對稱多項式不等式，用agl2012 程序的配方命令容易證明.

如果按（12）式對應的算法做，則需證式為

此時deg＝8，證明自然要容易的多.

注4找到理想的附加表達式，使需證式的次數最低，這是解題過程中追求的一個目標，但卻沒有捷徑，只有逐個命令去驗證.

例 3設 x，y，z＞0，證明不等式（https://artofproblemsolving.com/community/c6t243f6h 1116690_xyzgt0hard_and_stronger）

證明在原貼中，網友Crazy_LittleBoy 給出不等式（21）的一種證明.其實用hldset 命令可找到附加表達式C＝2x2＋5xy＋5xz＋yz，此時需證式為

deg＝9，用多種方法可以證明.

例 4設 x，y，z＞0，x＋y＋z＝1，證明不等式

證明用csset 命令求出附加表達式可取為2x2＋2y2＋z2＋2xy.由柯西不等式，要證（22）式，只需證

利用條件x＋y＋z＝1 對這個不等式齊次化后，得到一個3 元16 次完全對稱多項式不等式，且是差分代換平凡的，由此得證.

例 5ΔABC 中，有不等式（Hcx19，見文獻[4]）

證明將不等式（23）代數化，得等價式

由hldset 命令找出附加表達式為C＝{x＋2y＋2z}，deg＝21.

在（23）式的證明過程中，雖然得到的需證式次數高達21，但用差分代換方法（參閱文獻[5]和文獻[6]）則容易證明，而不等式（23）本身是一個難度很大的不等式，用其它方法是很難證明的.

例6在ΔABC 中，證明不等式

證明 不等式（24）等價于代數不等式

取附加表達式為C＝{8x＋y＋z}，則需證式為

設 x＝s－a，y＝s－b，z＝s－c，其中 s 是 ΔABC 的半周，此時（26）式等價于

用agl2012 程序可以很快給出bds 的非負分拆式，故不等式（24）獲證.

例 7設 x，y，z＞0，證明不等式

證明由命令csset 得到附加表達式為y＋9z＋2x，此時需證式為

這個不等式并不容易證明.但如果取附加表達式為W＝yz＋xy＋xz＋x2，則由柯西不等式，只需證

由于這是基本不等式的形式，立刻就獲得了證明.

注5例7 給我們的啟發是：同樣是用柯西不等式證題，選用的附加表達式不同，使用柯西不等式的方式不同，效果大不一樣.問題是，我們能否預先設出附加表達式的具體形式，然后通過待定系數的方法得到基本不等式的形式，或者其它我們希望得到的可以獲得證明的形式，這才是一個值得重視的研究思路和方向.

例 8設 a，b，c，d＞0，證明不等式

證明這是一個四元不等式，其算法和程序與三元的完全類似.由四元的程序hldset4可找出附加式為 C＝{bd＋c（b＋d）}，需證式為

不等式（29）取分母后是一個4 元15 次對稱多項式不等式，易用差分代換方法證明，從而不等式（28）獲證.

4 agl2012程序證明功能補述

不等式自動發現與判定程序agl2012 的主要功能是自動發現不等式，其實它的判定證明功能也有不少，這里專門介紹如下：

1.用差分代換方法證明銳角三角形中的不等式，見文獻[7]；

2.配方（參閱文獻[8-10]）；

3.s-R-r 非負分拆證明（參閱文獻[11]）；

4.尋找已知不等式的局部對稱式；

5.誘導解法；

6.用hldset 和csset 等命令輔助證明根式不等式，如本文中的諸例.

上述功能說明，agl2012 程序不僅是一個自動發現系統，而且也是一個判定和證明系統，是一個教學和研究應用輔助平臺，極大地方便了各種應用.下面圍繞agl2012 程序的誘導解法功能舉兩個例子.

例 9設 x，y，z＞0，證明不等式

證明用誘導解法命令ydjf 可發現不等式（30）的如下隔離式

（a）式等價于

（b）式等價于

故不等式（30）獲證.應該說這里對不等式（30）的證明是相當巧妙的.

例10在ΔABC 中，證明不等式

其中 ra，rb，rc是 ΔABC 的旁切圓半徑.

證明不等式（31）代數化后為

作置換 x→x2，y→y2，z→z2，得

由柯西不等式，得

故要證（32）式，只需證

但由誘導解法命令ydjf 可發現不等式（33）的如下隔離式

其中（34）式左邊等價于 y2－xy＋x2－yz－xz＋z2≥0；（34）式的右邊等價于

故不等式（32）成立，由此證得不等式（31）.

5 結語

根式型不等式一直是不等式研究的熱點和難點，而由本文的算法可知，根式型不等式最終可歸結為多項式不等式的證明.自差分代換方法引入到機器證明以來，多項式不等式證明取得了很大進展，正像文獻[5]指出的那樣，“差分代換平凡規律的發現，可以說這是近期代數不等式研究最重要的成果之一”.另外配平方和，schur 分拆[12]等方法也極大地促進了多項式不等式的研究.也正因為如此，任何與有理化方法有關的研究結果格外受到關注.本文通過程序輔助尋找附加表達式的方式，利用赫爾德不等式和柯西不等式間接地實現了根式型不等式的有理化，從而對根式型不等式的證明有所突破.從上面的大量例子也可以看出，本文所解決的問題多數是多年遺留的難題.事實上，自本文中的算法出現之后，已經解決了數以百計的不等式難題.

最后再提兩個問題：

1.對于有些根式不等式，我們一時還找不到附加表達式，使本文中的算法有效.例如網友dragonheart6 針對筆者的程序提供了陳計的如下不等式：設a，b，c＞0，則

對于這類不等式，到底是附加表達式不存在呢，還是暫時找不到它，這個問題其實是有很深的理論意義的.

2.本文是通過試探驗證的方法確定附加表達式的，因而效率不高，且算法被動消極有盲目性.能否像本文注5 所說的那樣，通過預先設出附加表達式的形式，然后用赫爾德不等式和柯西不等式寫出含有待定參數的需證式，對這個需證式的半正定性進行研究，從而得到參數值？這的確是一個值得重視的進一步研究思路.