線性代數(shù)中向量內(nèi)積及正交化幾何意義的教學(xué)研究

郭冰陽 周雙雙

（湖南城市學(xué)院理學(xué)院 湖南益陽 413000）

線性代數(shù)主要研究有限維線性空間及線性變換代數(shù)結(jié)構(gòu)的學(xué)科，它廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)的各領(lǐng)域。運(yùn)用線性代數(shù)在高維線性空間里研究問題，先要構(gòu)造一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。在向量的內(nèi)積和正交化這一節(jié)中，線性代數(shù)教材都是從出發(fā)，將直角坐標(biāo)系的一個常用的基， ，推廣到中，通過一系列的定義和定理講述怎樣得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。至于為什么要構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交基，標(biāo)準(zhǔn)正交基有什么優(yōu)勢，教材中都沒有涉及。因此，盡管教材中定義定理表述得很清楚，但學(xué)生對定義定理的本質(zhì)不理解，僅僅覺得是概念和定理的堆砌，不明白其作用。為了幫助學(xué)生將抽象的代數(shù)內(nèi)容轉(zhuǎn)換為空間幾何的形象理解，在講授中，我們結(jié)合向量間的空間關(guān)系，通過空間幾何關(guān)系的演示，討論向量內(nèi)積和正交化的幾何意義，使結(jié)論具體呈現(xiàn)，從而學(xué)生能夠理解問題本質(zhì)，做到學(xué)以致用。

一、向量內(nèi)積的幾何意義

向量的內(nèi)積也叫數(shù)量積，以三維為例，有兩種定義：[1]

二、標(biāo)準(zhǔn)正交基的幾何意義

線性代數(shù)教材指出，如果基向量互相垂直，就是正交基，而且每個基向量的長度等于單位長度1，這個基就叫標(biāo)準(zhǔn)正交基。為什么要得到標(biāo)準(zhǔn)正交基呢？學(xué)生對從天而降的一大堆定義疑惑不解。講授這一內(nèi)容時，我們從內(nèi)積的幾何意義開始引入。

三、施密特正交化的幾何意義

線性代數(shù)中向量的內(nèi)積及正交性是連接幾何問題和代數(shù)問題的橋梁，可以將幾何代數(shù)化，代數(shù)幾何化。這也是在高維空間研究問題的基礎(chǔ)，更加是線性代數(shù)后續(xù)內(nèi)容——實對稱矩陣對角化的理論基礎(chǔ)。在對這內(nèi)容的教學(xué)中，我們引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合幾何背景來理解定義和定理，達(dá)到事半功倍的效果。