突出關聯的數學學習

李玲靜

有關聯的數學學習，指學生在數學學習過程中通過結構化的關聯材料、多元化解決問題的策略對比，從而建構相對完善的知識系統，形成正確的數學學習觀的過程。這一學習過程富有挑戰性、批判性?！俺朔e哪個大”這節課是基于學生的學情進行設計的，從學?！癒FS第二課堂”的后臺數據看，部分比較大小的乘法題錯誤率較高，其中三道題的數據均低于50%：（40+4）×25○11×（4×25）得分率41%，257×75○256×76得分率39%，342×248○343×247得分率24%。從單道題的運算上看，學生的得分率就高很多，比如，（40+4）×25的運算學生很少會出錯，11×（4×25）的運算學生也很少會出錯，但是將兩個算式放在一起比大小，出錯率明顯就高很多。像257×75○256×76、342×248○343×247這兩組數據，面對這樣大數據的比較時，精確計算的學生容易出錯，又很難在短時間內選擇一種比較好的方法比較出大小，所以出錯率相當高?？梢姡攦蓚€算式發生關聯時學生就容易出錯，關聯能力需要關注。筆者結合課例談談如何組織學生進行有關聯地學習。

一、材料結構性關聯

一份好的學習材料是組織學習的前提，如何讓好材料發揮出更大的功效是一門學問。材料間的組織要注意結構化，可以是縱向的知識關聯，調動學生原有的知識經驗，也可以是橫向的板塊聯通，如數形結合等。

【案例1】

教師從最后一題逐題出示，讓學生估計得分率可能會是多少（見表1）。

師：你估計一下最后一道題為什么得分率會這么低？

生：因為數據太大了。

生：因為計算很麻煩。

生：因為三位數乘三位數我們還沒有學。

師：三位數乘三位數我們雖然沒有學，但是還有36%的同學做對了，非常棒！

（出示上面三題的得分率）。

師：你有什么想說的。

生：前面是兩位數乘兩位數，后面是三位數乘兩位數，最后是三位數乘三位數。有聯系的。

師：幾年級學的呢？

生：三年級學習了兩位數乘兩位數，這個學期我們學習了三位數乘兩位數。

師：為了方便研究，我們就先取前三題進行研究。仔細觀察，你發現了什么？

生：這幾道題的和是一樣的。

師：順著他的思路我們可以研究一下這幾題有什么判斷的秘訣。

（小組合作研究和、差、積之間的關系）。

通過研究發現，這些和一樣的算式，差越小，乘積越大。

這份材料的結構性體現在縱向的知識關聯，本學期研究的三位數乘兩位數是基于兩位數乘兩位數的基礎進行延續，是自主建構三位數乘三位數計算方法的基礎。兩者乘積的大小可以通過精確計算來判斷，也可以通過規律來判斷。讓學生感受到同類型的題有相同的規律可循，增強規律意識。

【案例2】

首先，觀察周長面積材料聯想（見圖1）。引導：長方形周長相等、面積如何變化？達成共識：在周長相等的情況下，長和寬越接近，面積越大。

其次，觀察幾何畫板演示聯想（見圖2）。 引導：是不是所有的長方形都存在這樣的規律呢？

你發現了什么？達成共識：周長不變的情況下，長和寬越接近，面積越大。

最后，三組材料對比關聯（見圖1，圖2，表2）。

師：三組材料之間有什么關聯？

生：我發現它們之間的道理是相通的。

生：長方形的長和寬就是兩個乘數，“長和寬越接近，它的面積就越大”和“兩個乘數的差越小，乘積就越大”是有聯系的。

師：你的眼光非常犀利，幾個材料放在一起比，發現了一個共同的特點。

溝通數與形之間的關聯，利用關聯遷移方法，并靈活選擇策略判斷，是教學的難點所在。面對乘積大數據的比較，學生容易產生畏難心理，如果讓學生們知道有些很巧的方法可以快速解決，學生們會更喜歡數學。數的運算是很枯燥的，如果單純告訴他們“和相等，兩個乘數越接近，積越大”，很多學生是不理解的，只會套用一下結論而已，通過將長方形、正方形的周長面積問題進行關聯，學生發現道理是相通的，能更好地構建知識。

二、策略多元化關聯

這節課的目標是理解乘法算式的意義，并學會快速比較兩組算式乘積的大小，通過觀察、對比、數形結合等策略積累比較經驗，并能靈活比較乘積哪個大，發展數感、運算能力，激發學好數學的積極情感。

【案例3】

師：（出示4道題及得分幾率，見表3）對比不同的解題思路，有什么不一樣？

師：請他們來說一說自己的想法。

生1：第一道我是通過估算比大小的。把96估計成100，100×30=3000，右邊95也估成100，48估成50，100×50=5000，3000<5000，所以右邊大。

生2：96比95才多1，另一個乘數48比30多了18，肯定右邊大。

生3：左邊表示30個95加1個30，右邊表示40個95加8個95，右邊大。

師：看來估算能解決比大小的問題。第二題如何比的呢？

生1：左邊表示48個125，右邊表示14個125，左邊的大。

生2：用計算。

師：第三題與第四題的思路，大家有什么不同的比較方法嗎？

生1：128×10可以表示9個128加1個128，比右邊的多100。

生2：右邊的28加100就與左邊一樣了。

生3：第四題的左邊算出來是1000+100=1100，右邊是11×100=1100，所以相等。

生4：左邊表示44×25，右邊也表示11和4先乘，再乘25，也是44×25。

師：你利用了什么規律？

生4：乘法結合律。

師：剛才有同學運用了乘法的運算律快速地比較出兩個算式的大小。精確計算與估算及意義轉化比大小，你們比較喜歡哪一種？

（大部分學生喜歡估算和意義轉化）

師：是不是精確計算就沒有價值了呢？

生：不是，精確計算可以保證結果的準確性。

生：精確計算可以用來驗證。

小結達成共識：在判斷乘積哪個大的時候，有時可以利用乘法意義來判斷，有時候可以通過估算來解決，有時候可以利用運算律來轉化意義再比較大小，如果一下子沒有辦法看出來的，可以用精確計算來判斷。

在判斷兩個乘積大小的時候，主要有估算、意義轉化、精確計算、找規律等策略，這份材料將這些多元化的策略集結到一起，讓學生進行思辨。什么樣的情況用什么策略進行比較是學生數感及運算能力的重要體現，策略關聯對比能提高學生思維的靈活性與批判性。

三、應用價值性關聯

數學是解決問題的工具，同時，數學的問題解決過程應該是自然而然、愉悅互動的過程。學生要學會用數學的眼光觀察世界，這是數學核心素養能力之一。培養數據分析意識，讓學生直面數學問題，有利于學生數學應用價值觀的形成。

“乘積哪個大”的課堂教學設計，基于大數據的背景而設計，基于真實的問題而展開。這節課以后臺的兩個數據包A、B為載體，在呈現數據包A、B的時候，讓學生猜題目的得分率，引發學生的好奇心，推測錯誤的原因，用頭腦風暴的方式培養學生的發散性思維能力，在錯誤中思辨，在對比中建構。

【案例4】

在練習環節組織學生快速口答以下題目。

32×28（ ? ）33×27

72×22（ ? ）63×31

172×22（ ? ）63×131

最后一題，通過規律判斷交流之后，提問：還有不同的方法快速比較出答案嗎？

生：172估成170，22估成20，170×20=3400;63估成60，131估成100，60×100=6000;明顯右邊大。（此處有掌聲）

追問思考：學了規律后一定是用規律判斷最簡便嗎？

生1：不是，有些很明顯的可以通過估算快速得出。

生2：有些復雜的算式不能用這個規律。

生3：我發現這個規律在有些乘數之和不一樣的算式中也可以用。不過需要進一步驗證。

師：同學們很會思考，的確，規律只能幫我們解決一部分的問題，在規律不能使用，估算值也比較接近，意義轉化比較不方便的情況下，哪種方法更合適？

生：精確計算。

師：看來，不同的方法有不同的使用價值。

在鞏固練習的環節安排了最后一道計算題，如果套用規律時間上會花得更多，反而是估算能馬上得出結論。在呈現多種方法后，讓學生對如何選擇合適的方法進行判斷，通過這樣的討論活動讓學生形成正確的問題解決觀，深度學習自然而然地發生。

有關聯的數學學習過程是復雜的數學學習過程，可以通過材料的結構化選擇進行關聯，通過問題的系列化設計，學習策略多元化的對比關聯，讓學生形成正確的數學觀，讓數學學習更有深度、有廣度、有溫度。

（作者單位：浙江省義烏市繡湖小學教育集團）

責任編輯：肖佳曉

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