平余式運(yùn)算規(guī)則
——從平面數(shù)到孫子共數(shù)的求解

張國(guó)平

(福建省南平市福州大學(xué) 353416)

在孫子算經(jīng)中：“今有物不知共數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何”.

那么，由題我們首先轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)思考則是：

假設(shè)其共數(shù)為y，則y=3x1+2；y=5x2+3；y=7x3+2；由于數(shù)之是次數(shù)，故x1，x2，x3為整數(shù).

現(xiàn)將上述思考轉(zhuǎn)換成‘平余式’表達(dá)式則為[3，2]；[5，3]；[7，2].則我們要尋求的就是關(guān)于平余式的運(yùn)算規(guī)則，但在此，我只給出解題過(guò)程，而把平余式的運(yùn)算規(guī)則附在后面.

尋找3N1與5N2+1的最小公倍數(shù)?6+2=8.

再由[15，8]與[7，2]運(yùn)用平余式規(guī)則進(jìn)行如下運(yùn)算：

尋找15N1+6與7N2的最小公倍數(shù)?21+2=23.

即孫子共數(shù) [3，2]；[5，3]；[7，2] 運(yùn)用平余式規(guī)則求解的共數(shù)為[105，23]或是y=105x+23的整數(shù)值，所以，它的解不是一個(gè)數(shù)而是一類數(shù).

附：平余式運(yùn)算規(guī)則原始思考如下：

假設(shè)平余式[a1，k1]；[a2，k2](其中k1，k2，a1，a2∈Z且a1≠0，a2≠0，a1，a2不可約(互質(zhì))).

①若a1=a2，k1=k2(即k1=k2±a1).

則條件組合為復(fù)式，其本身就是類解.若a1=a2，k1≠k2(即k1≠k2±a1)則條件組無(wú)共數(shù)或共數(shù)為空.

所以：G=(TN+K1)+m(a1，a2)*N(跳躍數(shù)).

故而，當(dāng)平余式(條件式)運(yùn)算規(guī)則確立后，素?cái)?shù)的遞推式也就由此呈現(xiàn)，但里面并不是單一和純粹的.

平余式運(yùn)算法則：[a，b]相與y=ax+b的整數(shù)值

[a，b]= [a，b±a]；

[a，b]±m(xù)= [a，b±a] ±m(xù)=[a，b±a±m(xù)]= [a，b±m(xù)]

[a，b]*m= [a，b*m]; [a，b]n= [a，bn];

[a，b]±[a，c]= [a，b]±c= [a，b±c];

平余式運(yùn)算的逆運(yùn)算——共數(shù)的逆向求解

設(shè)平余式[a，b]，[c，d]，[e，f].

假若[a，b][c，d]=[e，f](a與c互質(zhì)).

現(xiàn)已知：[c，d]，[e，f] (a，c互質(zhì))，求[a，b].

解由平余式公式知e=a*c?a=e÷c，a*N=f-b(0≤b