線性代數(shù)中矩陣理論的應用研究

王永靜

【摘要】線性代數(shù)作為一種領域性學科，其研究方向為線性空間及方程組等，具有空間性、實用性和工程性等優(yōu)點，其預算優(yōu)勢可擴展到無限維度空間.其中矩陣理論作為線性代數(shù)中的重要組成部分之一，其在工科領域、技術領域、自然科學領域中被廣泛應用.本文對線性代數(shù)進行介紹，并分析線性代數(shù)的矩陣理論在量綱分析法中的應用，在生物成長動態(tài)趨勢預期分析中的應用.

【關鍵詞】線性代數(shù);矩陣理論;應用研究

當前科研水平的不斷提升使數(shù)學科學領域迅速發(fā)展起來.矩陣理論作為線性代數(shù)的重要組成部分，其理論內(nèi)容以線性空間、線性變換、特征向量、矩陣、內(nèi)機空間為主，在對理論進行研究時，在研究領域的不斷擴展下，使其理論性地位得到提升.當前在高端性科研領域中矩陣理論的運算效果具有明顯優(yōu)勢，通過維度空間性算法，可使其在數(shù)學、物理學、密碼學、計算機圖形學等學科領域中被廣泛應用.

一、線性代數(shù)定義

線性代數(shù)的主要研究對象是線性空間、線性變換、有限維的線性方程組等，在泛函分析、抽象代數(shù)等被廣泛應用，在對其進行解析時以幾何解析的方式可使其被完整地表現(xiàn)出來.線性代數(shù)中的線性在數(shù)學學科中可從一階導數(shù)作為常數(shù)函數(shù)的層面進行認知，其主要是指函數(shù)量和函數(shù)量之間的直線比例關系.線性代數(shù)理論是數(shù)學家對二維直角坐標系和三維直角坐標系的研究，在科學技術的不斷突破下，其研究范圍已經(jīng)擴展到無限維度空間.

當前線性代數(shù)具有空間性、實用性和工程性，空間性是指立體化運算，由量到點，從點到線，以線構面，可在維度空間中進行運算，例如，空間性投影、線性轉換等，其轉換方式已經(jīng)脫離傳統(tǒng)的符號轉換范疇，以線性量之間的轉換方式完成其維度空間的運算.實用性是指其應用領域較廣，可對基本方程式進行預算，并可通過相應函數(shù)量計算物體在空間維度的量值大小，也可對系統(tǒng)力學、電力導向結構等進行維度分析，甚至可對經(jīng)濟均衡形式進行運算.工程化是指對問題進行求解時，可將實際場景和數(shù)據(jù)場景進行轉換，將事物進行數(shù)據(jù)映射，將問題進行數(shù)據(jù)化，以運算的方式解決問題，目前此種方式對問題進行解決的理論有高斯消元、奇異值分解和克拉默法則，這些理論與線性代數(shù)的本體差異在于功能性表現(xiàn).

二、線性代數(shù)的矩陣理論在量綱分析法中的應用

量綱分析法作為研究自然科學的分析方式，其在對事物進行分析時，以量為基準，通過尋求量存在的原因與形式，對事物進行數(shù)據(jù)分析，并找出與事物相關聯(lián)數(shù)量之間的聯(lián)系.科學家通過量綱分析可對物理學規(guī)律現(xiàn)象的方程式計算進行核對，并可對物理現(xiàn)象的預期發(fā)展規(guī)律進行探索.量綱分析中對物理學中的力學量具有特定的方程公式，質(zhì)量的量綱式為M、長度的量綱式為L、時間的量綱式為T、速度的量綱式為LT-1、加速度的量綱式為LT-2、力學量綱式為MLT-2、角度量綱式為1（M0L0T0）等，其中基本量為時間、質(zhì)量和長度，其他為導出量.其量與量之間在相等的情況下，一般遵循一致性原則，通過量性相等的原則可建立相應的線性方程式，并以矩陣理論對其中量的變化進行解決.

例如，在進行勾股定理證明時，可將直角三角形的斜邊邊長設置為q，直角邊邊長分別設置為o和p，設面積為Z，研究兩個銳角ε、η與q之間的變量關系.

可得出f（Z，q，ε，η）=0，

其上述公式具有四個綱量，其中q，ε，η為基本綱量、Z為無綱量，可將量進行量綱矩陣列表，其中列數(shù)代表變量型量綱數(shù)據(jù).

qεηZM1002N0000K0000

由矩陣可得出其解線性方程為：

100000000y11y21y31=200，

可得出y11=2，y21=0，y31=0，

可得出關系等式為Z=μq2，μ為確定值，屬于無量綱量，依據(jù)等式可得出直角三角形的Z與q2成正比.在此基礎上，可將直角三角形的斜邊設置一個垂直高，將其分成兩個相似直角三角形，將兩個相似直角三角形的面積分別設置為Z1和Z2，此時直角三角形Z的兩個直角邊o和p，作為Z1和Z2的斜邊，通過相似原理可得出Z1=μo2，Z2=μp2，通過Z=Z1+Z2，可得出μq2=μo2+μp2，

進而可推導出q2=o2+p2.

當前量綱分析作為一種運算法則，科學家在進行實驗運算時，一般以事物價值為衡量標準，當實驗價值較高，研究人員一般以運算為主，并對情況進行假設，對事物的發(fā)生進行預判，在模型建立下，以實際效果為導向，對假設模型進行最優(yōu)化選取.

三、線性代數(shù)的矩陣理論在生物成長動態(tài)趨勢預期分析中的應用

生物種群在發(fā)展過程中，如未受到環(huán)境的制約和外力性損壞，其動態(tài)發(fā)展將具備一定的規(guī)律.在對規(guī)律進行臆測時，可由矩陣方程、矩陣對角、矩陣乘法等知識，可對其進行數(shù)學計算，得出矩陣高次冪，以其結果對預期發(fā)展狀況進行判斷，使結果數(shù)據(jù)化，并可對種群的增長情況進行模擬.

當對種群進行研究時，可對其繁衍主體雌性動物進行分析，將雌性動物生長年限設為M，在[0，M]之間可設置相應的年齡組為m，由此可得出其中第a組年齡段為a-1mM，amM，

種群在繁衍過程中，存在生育率（平均生育量）和存活率（a階段到a+1階段的種群存活的數(shù)目與a階段的種群總體數(shù)目相比），設a組年齡段的生育率為ra，存活概率為ha，將種群年齡分布設為：

Y（0）=（y（0）1y（0）2y（3）3…y（0）m）T，

取tv=vmM，v=1，2，3，…

由上述公式可得出Y（v）=（y（v）1y（v）2y（v）3…y（v）m）T.

經(jīng)過時間的不斷推移，動物種群的年齡段數(shù)目也在不斷變化，以平衡原則為主，其年齡段也在改變，上一階段的幼體成長為本階段的具有繁殖能力的動物成體，即tv年齡組中的繁殖性動物等于tv-1到tv各年齡段中幼體數(shù)目之和，由此可得出公式

Y（v）1=p1y（v-1）1+p2y（v-1）2+p3y（v-1）3+…+pmy（v-1）m，

通過y（v）a+1=qay（v-1）a，a=1，2，3，…，m-1可得出

Y（v）1=p1y（v-1）1+p2y（v-1）2+p3y（v-1）3+…+pmy（v-1）m，

Y（v）2=q1y（v-1）1，

Y（v）3=q2y（v-1）2，

……

Y（v）m=qm-1yv-1m-1，

其矩陣乘積為Y（v）=AY（v-1），v=1，2，3，…，m-1，

矩陣系數(shù)是：

A=p1p2…pm-1pmq10…000q2…0000…qm-10 .

由此可知，Y（v）=A（v）y（0），v=1，2，3，…m-1，

由上述公式可知動物種群年齡分布的初始時刻，其在tv階段種群量值的分布為Y（v）.

此時將M取值為30，并對其進行年齡分組，[0，10]，[11，20]，[21，30]，種群在[0，10]的生育率為0，[11，20]的生育率為4，[21，30]的生育率為3;種群存活率[0，10]階段為0.5，[11，20]階段為0.25，[21，30]階段為0.在三個階段的雌性數(shù)量為2000，2000，4000，求出10年后的種群數(shù)量，可得出

Y（0）=200020004000，

A=0430.50000.250，

可得出：

A2=20.750021.50.12500，

進而推導出

Y（2）=20.750021.50.12500200020004000=550010000500 .

經(jīng)過上述公式可對10年后的種群數(shù)量進行預算，[0，10]，[11，20]，[21，30]年齡段的數(shù)量分別為5500，10000，500.當種群數(shù)量的年齡組m趨于無限大時，可對Am進行求解，以可對角化矩陣，在有限的空間維度，進行向量轉換，使其具備可對角化的線性映射，在對m→∞進行極限講解，進而可對種群的總個數(shù)進行趨勢預判.因此，在對種群數(shù)量進行預測時，以科學的計算方法為引導，可對其發(fā)展趨勢進行嚴謹性運算，有利于提升對生物領域的認知程度.

三、結?語

綜上所述，本文對線性代數(shù)進行介紹，以空間性、實用性和工程性三方面闡述其結構優(yōu)勢.線性代數(shù)作為數(shù)學領域中的一門學科，其對線性關系可進行空間性算法，在科學技術的不斷提升下，使其算法向無限維度層面拓展，有效擴大線性代數(shù)的應用范圍.矩陣理論通過線性變換、特征向量、矩陣等運算方法，以數(shù)據(jù)為基準，可將問題進行簡化，并對問題的發(fā)展通過數(shù)據(jù)的表現(xiàn)進行預期判斷，有效提升運算的科學性和精準性.

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