二次函數面積最值問題破解之法

葛衛國

二次函數作為初中數學的重要知識點，難度頗高，經常出現在中考壓軸題中，而在求三角形面積的最值問題時，更是常見。今天我們就對二次函數中的面積最值問題作一個簡單的總結，找出幾種常見的解法。同學們如果能從中學習并熟練掌握一兩種解法，再遇到類似問題，將會更快速地解決。

例 如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（3，0）、B（-l，0）兩點。

（1）求拋物線的函數表達式;

（2）設拋物線交y軸于點C，在拋物線上的第一象限上是否存在一點P，使△PAC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PAC面積的最大值;若不存在，請說明理由。

第（1）問比較簡單，同學們只需要把兩點坐標分別代入，即可分別求出6、c的值，得到函數表達式為y=-x2+2x+3。下面我們著重探討第（2）問中的面積最大值的求法。

一、補形、割形法

幾何圖形中常見的處理方法有分割、補形等，此類方法的要點是把所求的圖形進行適當的補或割，變成有利于表示面積的圖形。

解法1：女口圖2，設P（x，-x2+2x+3）（O

∵S△PAC=S四邊形OCPA -S△A0C

=S四邊形OCPA-9/2

若四邊形OCPA的面積最大，則△APC的面積就最大。

∴S四邊形OCPA=S四邊形OCPE+S△AEP

當x=3/2時，S四邊形OCPA最大值=9/2+27/8，

∴S△PAC最大值=9/2+27/8-9/2=27/8，

此時，一x2+2x+3=15/4，

∴點P的坐標為（3/2，15/4）。

角翠法2：如圖2，設P（x，-x2+2x+3）（O

后面的步驟和解法1一樣。

二、鉛垂法

用鉛垂法求三角形的面積，在求二次函數中的面積最值問題時，使用得很多。

首先設點P的坐標，利用代數式分別表示出鉛垂高度和水平寬度，然后表示出三角形的面積，進而求出面積最大值。

解法3：如圖3，過點P作PE⊥x軸于點E，交AC于點F。

設P（x，-x2+2x+3）（O

三、切線法

若要使△PAC面積最大，只需使AC邊上的高最大。作AC的平行線Z，當直線l與拋物線有唯一交點（即點P）時，此時△PAC的面積最大，這便是切線法。

解法4：如圖4，直線AC的表達式為y=-x+3，作AC的平行線l，交y軸于點M，從而可設直線l的表達式為y=-x+b。即-x2+3x+3-b=0。由△=32—4×（一1）×（3—6）=0，得b=21/4，x=3/2，M（O，21/4）。此時P（3/2，15/4），AC邊上的高h最大，h=MC·sin∠CMP=MC·sin∠OCA

四、三角函數法

本題也可直接用三角函數法來求。

解法5：如圖5，作PE⊥x軸于點E，交AC于點F，作PM⊥AC于點M。設點P（x，-x2+2x+3）（O

通過以上四種解法的學習，老師相信同學們對二次函數中三角形面積的求法都有了自己的想法。一般來說，只要同學們能掌握解法1和解法2，那么在二次函數的綜合題中，再出現求三角形面積最大值的問題，就能輕松面對了。

（作者單位：江蘇省泗陽縣教師發展中心）