大規模MIMO加權正交匹配追蹤信道估計算法

孫澤宇，呂治國

1.洛陽理工學院 計算機與信息工程學院，河南 洛陽471023

2.洛陽智能農牧業傳感網重點實驗室，河南 洛陽471023

3.西安電子科技大學 綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室，西安710071

1 引言

大規模多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）系統是指配備大量天線（可達數百根）的基站服務于數十個配備少量天線的移動用戶的移動通信網絡系統。大規模MIMO 系統可以有效提高信息傳輸效率和頻譜利用效率。在天線數目趨于無窮時，熱噪聲對系統的影響也可以忽略不計，傳輸給目標用戶的信號對非目標用戶的干擾也可以得到有效降低[1-3]。為了獲取這些收益，基站需要對下行鏈路中發射的信號做預編碼處理，這就要求基站必須提前知道下行鏈路信道狀態信息。基站獲取的下行鏈路信道信息越準確，預編碼處理的效果就越好。然而由于基站天線數目眾多，可以達到幾十根甚至上百根之多，導致正交導頻序列的長度過大，用戶直接估計下行鏈路信道非常困難。當系統工作在時分雙工（Time Division Duplexing，TDD）模式下，由于下行鏈路和上行鏈路具有互易性，基站可以通過估計上行鏈路信道獲取下行鏈路信道信息，但是不同小區的移動用戶發送非正交導頻會造成導頻污染難題[4]。除此之外下行鏈路和上行鏈路互易性并不嚴格成立，依據互易性計算的下行鏈路信道精確度也很難滿足預編碼處理的要求。因此移動用戶采用短導頻估計下行鏈路信道成為大規模MIMO系統研究的熱點。

實際通信系統的信道測量結果以及一些理論研究成果已經證明，無線信道在很多情況下具有稀疏或者近似稀疏的特性[5-6]。即使信道沒有表現出顯性稀疏的信道特性，也可以利用稀疏基轉換為稀疏形式加以表示。 通常情況下，稀疏基被稱之為稀疏字典。由于稀疏信號可以利用壓縮感知技術，通過處理少量觀測值來重建。因此基于壓縮感知的信道估計算法可以用較短的導頻序列和較低的計算復雜度完成信道估計[7-9]。采用壓縮感知技術重建稀疏信號可以采用凸優化方法。凸優化技術能高精度地估計稀疏信號，但是復雜度較高。

貪婪算法是另一類重建稀疏信號的算法，該類算法具有比凸優化算法更低的計算復雜度。作為貪婪算法的一個代表，正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法[10-12]是常用的稀疏信道恢復算法。在OMP算法中，由于存在正交投影的計算，當矩陣維數較大時，計算復雜度依然很高。為了降低貪婪算法的計算復雜度，文獻[13]提出用梯度代替正交投影計算，但是估計精度不及凸優化算法。為了進一步提高信道估計精度，文獻[14]把梯度下降搜索算法和匹配追蹤算法相結合，提出可變尺度的梯度追蹤（Variable Metric Method based on Gradient Pursuit，VMMGP）算法。在VMMGP 算法中，各次迭代所獲信道估計值需要進行加權處理，權值通過殘差信號和目標函數梯度來計算，通過加權改善了估計精度，但權值計算有些復雜。在文獻[15]中提出一種自適應加權正交匹配追蹤（Adaptive Weighted OMP，AWOMP）算法。各次迭代中所用的權值簡單設置為各次迭代中殘差信號模值倒數。AWOMP 算法在低信噪比區域獲得了信道估計精度性能的改善。然而在更寬的信噪比范圍內仿真發現，以殘差信號模值倒數為權值的匹配追蹤算法，雖然可以改善低信噪比情況下的信道估計精度，但同時也會損害高信噪比情況下的信道估計精度。為此在文獻[16]中提出分段自適應加權匹配追蹤算法（Adaptive Weighting & MP，AWMP），僅僅在低信噪比情況下對各次迭代信道估計值進行加權，而在高信噪比情況下依然使用標準的匹配追蹤算法。

綜上所述可知，適當的加權可以取得估計精度性能的改善，但是以各次迭代中殘差信號模擬值倒數為權值的加權處理方式，僅僅能改善低信噪比情況下的估計精度性能，在高信噪比區域反而起到惡化作用。這是因為殘差信號不但與當前迭代中的噪聲因素有關，還與測量信號表示誤差有關。在低信噪比情況下引起誤差的原因主要是噪聲因素，小的權值主要抑制噪聲，從而提高估計精度；而在高信噪比情況下，引起誤差的原因主要是表示誤差，小的權值反而抑制有用的信號成分，因而會降低估計精度。分段處理方案雖然理論處理簡單，但是實際中如何準確劃分高低信噪比的范圍非常困難。另外在不同的通信環境下，兩者之間的分界點也會發生變化。除此之外，即使知道準確的分界點，如何在實際的通信環境中準確估計信噪比，找到實際的分界點也是一個難題。針對以上問題，提出了一種基于壓縮感知的改進加權OMP 算法。目的是尋找一個合適的權值，從而提高估計精度。該算法通過訓練實際的信道數據，獲取合適的權值大小。另外研究還發現，如果各次迭代所用的權值隨著迭代次數做合適的動態調整時，可以進一步改善估計性能，使得信道估計精度性能在高信噪比和低信噪比情況下都得到提升。

2 系統模型

2.1 大規模MIMO系統

如果一個大規模MIMO系統基站端配備有M 根天線，小區內隨機分布U 個移動用戶，每個用戶配置V 根天線。則任意一個移動用戶的一根天線與基站天線之間的信道可以用一個M 維信道矢量來表示。由于大尺度衰落特性比小尺度衰落特性要穩定得多，因此本文僅考慮小尺度衰落系數。在僅僅考慮小尺度衰落的情況下，信道矢量中的元素經常被假設為滿足均值為零方差為1 的高斯分布隨機變量。如果同時考慮一個移動用戶多個天線，則下行鏈路信道用V×M 維矩陣H 來表示。在下行鏈路基站發射導頻信號時，用戶收到的導頻響應可以表示為：

其中，L×V 維矩陣Y 表示目標用戶所有V 根天線收到的導頻響應值，L 是導頻序列信號的長度；L×M 維矩陣表示X 是基站所有M 根天線發送的導頻信號；L×V 維矩陣W 表示白噪聲。對公式（1）左右兩邊進行矢量化處理，可以得到：

其中，IL是L 階單位陣，?表示克羅內爾乘積，vec()表示矢量化函數。如果移動用戶僅有一根天線，即V=1，則用戶收到的導頻響應可以直接寫成式（2）所示的形式。為了描述方便，統一用一個N 維矢量h 表示信道，它可以是一個實際的信道矢量，也可以是一個信道矩陣矢量化處理后得到的信道矢量。移動用戶在下行鏈路接收的導頻信號y 可以表示為：

其中，Φ=[Φ(1),Φ(2),…,Φ(L)]T是一個L×V 維導頻矩陣，Φ(i)是基站所有N 根天線在第i 時刻發送的N維導頻向量，L 代表導頻序列的長度。n 表示1維加性高斯白噪聲，矢量中的每一個元素都服從均值為0方差為σ2的高斯分布隨機變量。

2.2 稀疏信道模型

稀疏信號是指在信號中的所有元素中，有很多是零元素，或者說很多元素的模值很小，可以近似為零。衡量一個信號是否稀疏的原則是把信號中所有元素按照模值從大到小順序排列，如果元素衰減是按照指數級下降，該信號就可以被稱為稀疏信號。忽略稀疏信號中模值很小的元素對稀疏信號本身影響很小，因此可以把這些元素用零元素代替。不能被忽略的元素個數，即非零元素的個數稱為稀疏信號的稀疏度，用K 來表示。在描述一個稀疏信號的時候，有必要指出信號非零元素的概率分布情況。針對不同分布的概率密度函數建立不同的信號模型。為了能用一種通用的稀疏信號模型表示任意概率分布的稀疏信號h，采用下式所示的稀疏信號模型：

其中，h 是一個N 長的稀疏信號列矢量，Θ 表示哈達瑪乘積，ha是長度為N 的列矢量，矢量中的每一個元素都是服從某種分布的隨機變量，分布情況不受約束。hb也是長度為N 的隨機變量列矢量，其中每一個元素都服從成功概率為p 的伯努利分布。參數p 數值很小，即矢量h 中非零元素出現的概率很小，從而保證了信道h 的稀疏性。而ha中元素不管服從何種概率分布，都不會影響信道的稀疏特性。

根據壓縮感知理論，在無噪環境下，通過設計合適的測量矩陣和重建算法，少量測量信號y 可以唯一確定高維稀疏矢量h。即使在有噪的環境下，設計合適的測量矩陣和重建算法，也可以高精度地重建高維稀疏矢量h。重建h 就是要估計出稀疏信號h 的非零位置以及在這些位置上的元素數值。非零位置由矢量hb決定，非零位置上的元素數值由ha決定。在本文提出的改進加權OMP算法中，首先尋找h 的非零位置，然后再計算在這些非零位置上的元素數值，這與先估計hb后估計ha是等價的。為了敘述方便，在后續內容中不再專門指明ha和hb的信道估計。

如果實際的信道沒有表現出顯性稀疏特性，即各個元素的數值沒有滿足指數衰減，那么還可以通過稀疏字典把信道轉換為稀疏的形式。常用的稀疏字典可以是離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transformation，DFT）矩陣，K 奇異值分解（K Singular Value Decomposition，KSVD）矩陣和離散余弦變換（Discrete Cosine Transform，DCT）矩陣。為了簡單起見，本文僅考慮已經具有顯性稀疏形式的信道。傳統的稀疏信道模型常假設信道中的非零元素服從高斯分布，但在實際中，非零元素的概率分布情況可能并非如此。借助于式（4）描述的信道模型，不管信道元素服從何種分布，即使未知分布情況，也能用該模型來描述稀疏信道。

3 加權OMP算法

借助于壓縮感知技術，稀疏信道h 可以通過少量導頻來準確估計。一個N 維道能通過M 維采樣值y=Φh 來恢復重建，這里觀測矩陣Φ 的行數遠小于列數，即M ?N 。觀測矩陣受到噪聲干擾情況下，只要觀測值的長度滿足條件：M ≥Klb(N/K)，K 是稀疏信號的稀疏度[17-19]，且Φ 滿足有限等間距性質（Restricted Isometry Property，RIP），則原始稀疏信道h 可以通過求解下式重建：

正交匹配追蹤算法可用于式（5）的求解，在每一次的迭代中增加一個非零位置，然后再利用最小二乘算法估計所有非零位置上的元素值。迭代結束的條件有兩個，一個是殘差信號的模值小于一個規定好的閾值，另外一個是迭代次數已經達到了K 次。迭代結束后，最后一次迭代所得到的估計值就是最終的稀疏信號估計值。

3.1 加權理論分析

OMP算法重建稀疏信號過程可以看作是搜索一個最佳矢量的過程，把觀測信號和重構觀測信號之間的誤差函數作為目標函數，使目標函數取最小值的矢量就是要重建的稀疏信號。目標函數是重構矢量的函數，機器學習中經常采用梯度下降算法來尋找目標函數的極小值點，即最佳重構矢量。梯度下降算法是一種迭代算法，每次迭代從前一次迭代過程中找到的矢量位置出發，沿著目標函數梯度矢量反方向搜索一個步長到達下一個矢量位置。在新矢量位置重新計算梯度，并沿著目標函數梯度矢量反方向再搜索一個步長。通過不斷地迭代運算，逐步接近最優解。迭代過程可以表示如下：

這里，?f( h) 是目標函數f( h) 的梯度函數，目標函數f( )h 是重構矢量h 的函數，u 是搜索步長。迭代過程如圖1所示。

圖1 梯度下降法尋找最優矢量

迭代過程中，步長越大，迭代過程越快，可以加快收斂速度，但過大的步長有可能跳過最優解，甚至使算法發散。步長越小，能保證每一次迭代結果更接近最優解，但收斂速度越慢。實際中常常設置一個合適的步長值。通過比較梯度下降算法和OMP 算法可以發現，兩個算法搜索過程之間具有非常相似的形式。為此，仿照梯度下降算法中設置步長的方法，給OMP 算法每次迭代中的重構稀疏信號修正值設置一個合適的步長（權值），目的是改善稀疏信號的估計誤差性能。

梯度下降算法中的步長可以設置為固定的，即在各次迭代中用相同的一個步長值，從而節省了每次迭代中計算步長的運算。然而在搜索位置逐步接近最小值時，收斂速度越變越慢，所需要的步長也越來越小。因此一個變化的步長更能兼顧算法復雜度和收斂速度的平衡。將重構稀疏信號修正值乘上一個變化的步長，相當于給它設置一個變化的權值，因此能靈活控制收斂速度，提高估計精度。

在OMP 算法中，當前迭代中的稀疏信號估計值可以看作是由兩部分組成。第一部分是當前迭代以前所有迭代處理得到的稀疏信號估計值，另一部分是由當前殘差信號估計得到的一個新非零位置上的稀疏信號元素估計值。由于在這兩部分估計值的計算過程中所處的環境不同，主要是各自環境中包含的誤差和噪聲存在差異，因此需要區別對待。如果把第一部分估計值看作是當前迭代搜索到的最佳矢量，則第二部分信號就可以看作是在當前基礎上進行的調整量。調整量的方向是通過處理當前迭代中的殘差信號而得，調整量的大小可以由步長控制。這個步長相當于是給第二部分信號估計值設置了一個權值，用于抑制其中包含的噪聲。隨著迭代次數的增加，各次迭代中獲得的估計值中包含的噪聲會逐漸變小。因此第二部分信號所需權值應隨迭代次數增加而增加。如果包含的噪聲小到可以忽略不計，則權值就增加到極限值1。由于不知道這兩部分信號中包含的誤差和噪聲大小，因此需要在實際的信道環境中進行測試，得到滿足要求的權值。為了提高估計性能，對這兩部分估計值區別對待，提出改進加權OMP 算法。給第一部分估計值的權值設置為1，另一部分估計值的權值設置為u，算法的主要步驟敘述如下。

3.2 算法過程描述

在OMP 算法中，在每一次迭代中得到的稀疏信號估計值包含了之前所有迭代過程中得到非零位置上的稀疏信號元素值和由當前殘差信號計算得到的一個位置上的元素估計值。對這兩部分估計值分別賦予兩個不同的權值。如果兩個權值的比例保持不變，算法就稱之為固定加權正交匹配追蹤（Fixed Weighted OMP，FWOMP）算法。如果兩個權值的比例隨迭代次數動態變化，算法就稱之為可變加權正交匹配追蹤（Varying Weighted OMP，VWOMP）算法。由于OMP 算法在一次迭代中已經把所有非零位置上的元素估計出來，因此在計算當前迭代中的殘差信號rk時，需要刪除所有已經估計出的非零元素在測量信號中的貢獻，即rk=y-，s ∈{1,2,…,k}。由于估計值受到估計誤差的影響，在計算rk的時候，給h?s乘上一個權值u。加權具體處理過程在下面詳細描述。

（1）參數初始化

參數首先要進行初始化操作，各個信號初始化情況敘述如下，殘差信號r0=y，迭代次數k=1，支撐集初始化為空集，稀疏度K ，?初始化為全零矢量。

（2）選擇原子

計算殘差信號和原子之間內積的絕對值，與當前殘差信號rk-1內積最大的原子所在λ(k)索引為：

（3）更新支撐集

原子索引λ(k)和前一次迭代中的支撐集Λk-1合并，形成新的支撐集Λk，即Λk=Λk-1∪{λ(k)}。

（4）估計h?k在支撐集Λk上的元素

計算h?k在支撐集上的元素估計值：

（5）更新殘差

如果k ≥K 迭代結束；否則k=k+1，重復步驟（2）～（6），進入下一次迭代。

由于FWOMP 算法和VWOMP 算法的區別僅僅是兩部分信號所加權值比例是否隨迭代次數變化，因此本文僅給出VWOMP算法的描述，如算法1中所示。權值修正值Δu 可以取正值，也可以取負值，分別對應權值隨著迭代次數變大而增加權值和減小權值。

算法1 變化加權正交匹配追蹤算法

1. 輸入測量矩陣Φ，測量值y，最大迭代次數K ，加權初始值u0及權值修正值Δu；

2. 初始化信道估計值h=0，殘差r=y，當前迭代次數K=0，u=u0, 支撐集A0=?；

3. for k=1:K

4. i=argmax ＜r,Φi＞

5. p=[p,i]；

6. h=pinv(Φp)?y；

7. h=uh；

8. r=y-Φh

10. end for

11. 輸出信道估計值

由于各次迭代中估計值的準確程度，噪聲大小不同，各次迭代中所需要的權值也有所差別。在信噪比較小情況下，設置較小權值可以抑制噪聲；在信噪比較大情況下，設置較大權值能保證有用信號失真較小。另外殘差信號隨著迭代的進行逐漸變小，其中包含噪聲的影響也隨之變小，因此各次迭代所用權值應該逐漸變大，避免有用信號失真過大。

4 仿真結果

采用歸一化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE）衡量信道估計算法的估計精度性能：

加權正交匹配追蹤算法中設置的權值是通過測試實際稀疏信道得到的。稀疏信道測試環境采用下面的參數設置如下。稀疏信道矢量h 長度設置為256。ha是長度為256的列矢量，矢量中的每一個元素都是服從均值為0 方差為1 的正態分布隨機變量，hb是長度為256的隨機變量列矢量，其中每一個元素都服從成功概率為0.07 的伯努利分布。不同權值的FWOMP 算法的估計精度性能仿真結果如圖2、圖3所示。圖2給出了低信噪比情況下的各種加權情況下的估計精度性能比較。從仿真結果可以看出，當權值大于1 時，信道估計精度比標準OMP 算法的估計精度低，故加權值不能大于1。另外還可以看到當權值小于1 時，權值越小估計精度越高，這是因為在低信噪比條件下，噪聲的影響較大，小的權值可以抑制噪聲的干擾。

圖3給出了高信噪比情況下各種加權情況下的估計精度性能比較。從仿真結果可以看出，當權值大于1時，信道估計精度比標準OMP算法的估計精度低，同樣證明了加權值不能大于1。另外還可以看到當權值小于1時，權值越大估計精度越高，這是因為在高信噪比條件下，噪聲的影響較小，大的權值可以放大有用信號，小的權值會造成有用信號的畸變。但隨著信噪比的增加，加權帶來的增益逐漸消失，最終劣于標準的OMP 算法。比如當u=0.9 時，在?10 dB到15 dB的信噪比范圍內，加權可以改善信道估計精度性能，但大于15 dB 后，加權后的信道估計精度性能反而不如標準OMP算法的估計精度。

圖2 FWOMP算法不同權值歸一化均方誤差在低信噪比情況下性能比較(p=0.07)

圖3 FWOMP算法不同權值歸一化均方誤差在高信噪比情況下性能比較(p=0.07)

為了證明所提算法的普遍適應性，在另外一個場景中測試所提算法性能。稀疏信道矢量h長度設置為256。其中每一個元素都服從成功概率為0.02的伯努利分布。從圖4中可以看出，加權在低信噪比情況下依然可以改善估計性能。但在高信噪比情況下不如標準的OMP算法。并且u=0.9 時臨界信噪比從15 dB降低到3 dB，說明在不同信道環境下，相同的權值有不同的改善效果。

在表1 中給出了不同場景下所提算法的估計性能。從表中可以看出，如果每次迭代中設置的權值是固定不變的，高信噪比情況下的估計精度會受到不同程度的影響，因此設置變化的權值是合理的。

為了更清楚地比較各種算法的信道估計精度性能，在圖5、圖6 給出了FWOMP、VWOMP、AWOMP[15]以及標準OMP算法在低信噪比和高信噪比條件下的估計精度性能比較。其中FWOMP 算法中權值采用(u=0.8)，VWOMP 算法中，權值初始值為0.8，在后續迭代過程，每增加一次迭代，加權值增加0.01。從圖5 可以看出，AWOMP算法在低信噪比下比標準OMP算法估計得更準確，而在高信噪比下反而不如標準的OMP 算法。這是因為AWOMP 算法中的權值是各次迭代中殘差信號的倒數。在低信噪比區域，噪聲起主要作用，小的權值可以抑制噪聲的影響。VWOMP 算法雖然沒有FWOMP (u=0.8) 算法的性能好，但明顯優于標準的OMP算法，大約有0.5 dB的增益。

從圖6 中可以看出，在高信噪比區域，VWOMP 算法的優勢隨信噪比的增加逐步增大，明顯優于標準的OMP算法，大約有1 dB的增益。而FWOMP(u=0.8)算法的性能不但不如VWOMP 算法性能，甚至比標準的OMP 算法性能還要差。這是因為在高信噪比條件下，有用信號起主要作用，小于1的固定權值會造成估計信號發生畸變。因此FWOMP 算法(u=0.8)的估計精度隨著信噪比的增加而變差。而VWOMP 算法中的權值會隨著迭代次數增加而調整，因此可以得到比FWOMP算法(u=0.8)以及標準OMP算法更好的估計性能。

為了進一步描述所提算法的性能，圖7給出了采用不同算法重建信道進行預編碼，整個系統在低信噪比情況下的誤比特率性能比較。基站調制方式采用二進制相移鍵控（BPSK），糾錯碼采用碼率0.5 的卷積碼，卷積碼生成序列G=[1011011，1111001]。如果基站完美獲悉下行鏈路信道信息，即信道估計沒有錯誤，采用完美估計下行鏈路信道進行預編碼得到的誤比特率（Bit Error Ratio，BER）可以作為其下界。從圖中仿真結果可以看到，采用FWOMP (u=0.8) 算法的BER 性能最好，其次是VWMP，最差的是標準的OMP算法。

圖4 FWOMP算法不同權值歸一化均方誤差性能比較(p=0.02)

表1 不同場景估計精度列表

圖5 不同OMP算法歸一化均方誤差在低信噪比情況下性能比較

圖6 不同OMP算法下歸一化均方誤差在高信噪比情況下性能比較

圖7 不同OMP算法在低信噪比情況下BER性能比較

圖8 給出了采用不同算法重建信道進行預編碼，整個系統在高信噪比情況下的誤比特率性能比較。基站調制方式采用16QAM（Quadrature Amplitude Modulation），信道編碼采用碼率0.5 的卷積碼編碼，維特比算法譯碼。從仿真結果可以看出，基站采用FWOMP(u=0.8) 算法估計的信道進行預編碼，當信噪比在6～8 dB時，BER性能優于OMP算法和VWOMP算法；在9～11 dB時，優于OMP算法，但劣于VWOMP 算法；在大于11 dB 時，性能最差。這也證明了FWOMP 算法在低信噪比區域可以提高信道估計精度，但在高信噪比區域不如標準的OMP算法。相對于OMP算法，VWOMP算法不管在什么情況下，都能給系統帶來性能上的改善。

圖8 不同OMP算法在高信噪比情況下BER性能比較

5 結束語

大規模MIMO系統由于基站天線眾多，移動用戶難于實時準確估計下行鏈路信道。OMP算法利用信道稀疏特性，采用短導頻序列估計出下行鏈路信道，但估計精度不高。針對該問題，本文提出一種加權的OMP 算法，對各次迭代中獲得的目標信號估計值的不同成分設置不同的權值，避免找到錯誤的原子，實現算法收斂速度和估計精度的均衡。由于噪聲和表示誤差在各次迭代中的影響各不相同，因此給不同迭代中的估計值設置隨迭代次數增加而變化的權值能進一步提高估計精度，同時改善低信噪比和高信噪比情況下的估計精度性能。通過實際仿真，驗證了加權OMP算法的有效性。