融合L2 和KL保真項的圖像恢復算法

劉洪琛，劉朝霞，張 龍

中央民族大學 理學院，北京100081

1 引言

圖像去噪是圖像處理研究領域中經常研究的問題[1]。為了在去除噪聲的同時更好地保持圖像的清晰度、紋理特征等有用的信息，大量的去噪方法相繼出現[2]。其中，1992 年Rudin 等提出的全變差正則化[3]（Rudin Osher Fatemi，ROF）模型是迄今最為成功的圖像復原模型之一。全變差正則化模型在圖像去噪領域得到了廣泛的研究與應用，但該模型有一個很大的缺點，易在相對平滑區域產生“階梯效應”[4]；基于L2范數的調和模型能有效地在平滑區域去除噪聲，但處理圖像的邊緣易模糊[5]。2007 年，艾必剛等[6]利用分數階微積分的定義，推導出分數階微分梯度算子的頻率濾波器。該濾波器對圖像增強的效果較好，在增強細節的同時，能夠有效去除噪聲，但同時也增加了計算復雜程度；2016 年，石玉英等[7]提出了基于L1和L2混合保真項的圖像恢復模型，充分發揮了L1和L2保真項的優點，有效地去除了高斯-椒鹽混合噪聲并保留圖像的有效信息，但還是存在較大程度的階梯效應；2018 年，馬紅強等[8]提出了基于改進棧式稀疏去噪自編碼器的圖像去噪模型，降噪效果良好。但是需要數據集訓練模型，增加了訓練成本；同年，尹芳等[9]提出了新的小波域Wener濾波器和Perona-Malik融合去噪算法，具有良好的去噪和抑制偽吉布斯的能力，但是對于計算時間的控制有待提升。

常見噪聲有高斯噪聲、脈沖噪聲、泊松噪聲等。高斯噪聲是指它的概率密度函數服從高斯分布（即正態分布）的一類噪聲，包括起伏噪聲、熱噪聲等；泊松噪聲是一種噪聲分布符合泊松分布模型的與信號有關的噪聲，包含在各種應用中，如射線照相、熒光顯微鏡、正電子發射斷層掃描（Positron Emission Tomography，PET）、光學納米檢測和天文成像應用[5]?；謴捅徊此稍肼暺茐牡哪：龍D像是困難的。工業領域中，X射線圖像檢測作為一種無損、無接觸和高分辨率的缺陷檢測方法，X 射線在成像過程中，會受到不同類型噪聲污染。X射線圖像的噪聲不能簡單用單一的噪聲模型來表示，它表現為高斯-泊松混合噪聲，因此，去除高斯-泊松混合噪聲具有很廣泛的應用場景[10]。

為了有效抑制高斯-泊松混合噪聲，獲得更好的視覺效果，本文提出基于L2和Kullback-Leibler（KL）散度作為保真項（KL保真項）與兩個正則項相結合的圖像恢復的變分模型，并用增廣拉格朗日算法進行數值實現。實驗結果表明，針對目前的幾種去除高斯-泊松混合噪聲方法的局限性，所提出的新模型不僅保留了圖像的邊緣信息，減少了圖像的“階梯效應”，增強了圖像的視覺效果，同時有效降低了均方根誤差，得到了更高的峰值信噪比，CPU 的計算時間更短，并且不需要針對特定的訓練集進行訓練，提高了算法的效率，說明了算法的必要性和優越性。

2 圖像去噪的變分方法

不失一般性，用M×N 矩陣表示一幅灰度圖像，V=RM×N，離散的梯度算子?:V →Q，其中Q=V×V ，f=Ku+n，f ∈V 是觀察到的圖像，u ∈V 是真實圖像，n ∈V 為噪聲算子，K:V →V 為模糊算子，M ，N 是圖像大小。

2.1 調和模型

1977年，Tikhonov等[11]提出調和模型：

此模型能在在平滑區有效地去除噪聲，但是該模型朝各個方向的擴散能力相同，容易模糊圖像的邊緣輪廓等細節信息。

2.2 ROF模型

基于L2保真項的全變差圖像恢復模型（ROF 模型），是圖像去噪中很成功的模型之一[3]。ROF模型為：

在模型中，保真項體現出所恢復的圖像與原圖之間的估計殘差，估計殘差越大，保真項的值越大，反之亦然。為保證函數為凸函數，保真項的指數取值范圍是[1，2]，取值2 時即為L2保真項。在各向同性擴散的過程中L2保真項針對不同的估計殘差賦予其相應的權重[12-13]，保證了在去除高斯噪聲時的魯棒性[14]。

此模型能很好保存圖像的邊緣特征，但是在處理圖像相對光滑的區域部分會產生“階梯效應”。

2.3 TV-KL模型

根據泊松噪聲分布的特點，在文獻[5，15]中使用Kullback-Leibler散度作為保真項（KL保真項）的全變差圖像恢復模型（Total Variation Kullback-Leibler，TV-KL模型）用于解決這個問題。TV-KL模型為：

TV-KL 模型比標準的期望最大化（EM）重建（其中 不應用TV 正則項）[16]表現得更穩定和穩健，并且比ROF 模型去除Poisson噪聲的效果更好，但也會產生“階梯效應”。

2.4 改進的MS模型

由于‖ ‖?uL1會產生階梯效應，為了克服這個問題，文獻[17]中提出了一個改進的模型——MS（Mumford-Shah）模型。文獻[7]中提出了一個求解MS模型的近似模型：

使用KL保真項的全變差圖像恢復模型能有效地去除Poisson 噪聲?；谀Ｐ褪剑?），相應去除Poisson 噪聲的模型為：

2.5 保真項混合模型

文獻[10]中為了去除高斯-泊松混合噪聲提出了基于混合Kullback-Leibler散度作為保真項和L2保真項的全變差模型，該模型為：

此模型中L2保真項能有效去除高斯噪聲，基于混合KL保真項能有效去除泊松噪聲，增強了去噪性能。

3 改進的圖像恢復模型

綜合考慮調和模型、TV-KL模型、改進MS模型、保真項混合模型的優點，并且受文獻[6，18]的啟發，提出了對高斯-泊松混合噪聲去噪的圖像恢復模型：

其中，α ≥0 是平衡正則項和保真項的參數，r1≥0,r2≥0用來調節高斯噪聲和泊松噪聲在總數據保真項中的比例，依據文獻[10]，比例系數可根據對噪聲的先驗知識或采用統計方法來確定。在此模型中，保真項。

從式（7）可知，當r1＞0,r2＞0,α=0，調整為模型（6），其可以較好地去除高斯-泊松混合噪聲，并且保持邊緣等細節信息[19]；當r1=0,r2＞0,α ＞0 時，調整為模型（5），可較好地去除高斯噪聲，并且在一定程度上克服階梯效應。

模型（7）和模型（5）不同的是，保真項采用L2和KL保真項的混合項，提高了去除高斯噪聲的能力，一定程度上有效避免了階梯效應；模型（7）和模型（6）不同的是，正則項采用的∫Ω||?u2和∫Ω||?u 的混合正則項，提高了在平滑區去除噪聲的能力。因此，通過融合思想而提出的新模型充分體現了KL保真項和L2保真項的特點，集合了模型（5）（6）中的優點，可以更為有效地去除高斯-泊松混合噪聲，并且優化了模型（5）（6）的不足，在一定程度上避免了階梯效應，保持了邊緣細節信息。在本文中，將提出的模型（7）記為新模型。

4 增廣拉格朗日方法求解該模型

增廣拉格朗日方法[10]的基本思想是引入拉格朗日乘子和懲罰項將帶約束的問題轉換成無約束問題進行求解。本章使用增廣拉格朗日方法求解新模型。由于?u 的不可微性和非線性，因此需要引入新的變量[20]。

下面引入兩個新的變量p ∈Q 和z ∈V，上述式（7）等價于解下面這個帶約束泛函的極值問題：

使用增廣拉格朗日方法將上述帶約束問題轉換成下列不帶約束的問題，定義增廣拉格朗日泛函如下：

其中拉格朗日乘子λp∈Q，λz∈V ，正則化參數rp＞0，rz＞0。

求解問題式（3）轉化為求解增廣拉格朗日泛函的鞍點問題：

仿照文獻[20]，可以類似地證明鞍點問題（10）至少有一個解。對于上述鞍點問題，使用迭代算法解決，算法如下：

（1）初始化u0=0,p0=0,z0=0 和

（3）更新拉格朗日乘子：

u-子問題。給定p,z，有：

p-子問題。給定u,z，有：

z-子問題。給定u,p，有：

下面使用交替求極小的算法求解上述三個子問題：

（1）解決u-子問題（12）

由邊界條件和極小化條件[19-20]，式（12）對應的Euler-Lagrange方程為：

使用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transformation，FFT）求解上述線性方程，定義F(u) 為u 的傅里葉變換，通過傅里葉變換可計算u：

（2）解決p-子問題（13）式（13）簡化為：

由邊界條件和極小化條件[19-20]，式（14）對應的Euler-Lagrange方程為：

參考文獻[18]中對模型（15）算法收斂性的證明，以及結合文獻[22]中對增廣拉格朗日算法應用于TV模型的收斂準確性證明，可以證明提出的模型（7）在增廣拉格朗日算法中是嚴格收斂的，準確性較高。

圖1 測試圖像

5 實驗結果與分析

為了驗證新模型的有效性，仿真實驗均在AMD A8-3500M APU1.5 GHz CPU，24 GB RAM，Windows 7操作系統且運行環境為MATLAB 8.4.0.150421（R2014b）實驗環境下實現。首先，給出模型參數的設置，參數拉格朗日乘子λp,λz是在算法迭代過程中引入的，它的選取對去噪結果圖像的影響非常小，均取值為0，參考文獻[10]、[23]與[24]中選取參數的方法，根據對噪聲的先驗知識，通過重復實驗，選取r1=20 ，r2=10 ，α=2，rp=20，rz=4。在此實驗中，對測試圖像使用Matlab代碼“imnoise（u，‘gaussian’，0，r）”添加方差為r 的高斯噪聲（Gaussian Noise，GN），使用Matlab代碼“imnoise（u，‘Poisson’）（根據圖像數據數據生成泊松噪聲，而不是向數據添加人為噪聲）添加泊松噪聲（Poisson Noise，PN），其中，u 是原始圖像，為了簡單起見，G（0.01）表示對測試圖像添加方差為0.01的高斯噪聲；P表示對測試圖像添加泊松噪聲：G（0.02）+P表示對測試圖像添加方差為0.02的高斯噪聲和泊松噪聲。圖1中的圖像是從測試圖像中選取的6 幅圖像，Pepper 圖像、Man 圖像、Cameraman 圖像、Tablet 圖像、Lena 圖像大小均為256×256，Brain 圖像大小為709×591。為了客觀評價圖像去噪模型的性能，引入了峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PNSR）和結構相似度（Structural Similarity Index，SSIM）兩個客觀評價指標。PSNR越大且SSIM越大，算法的去噪效果越好。其定義分別如下：

其中，f 是去噪后圖像，u 是原始圖像，M ，N 是圖像大小，μf和μu分別是f 和u 的均值，σf和σu分別是f和u 的方差。實驗中為了簡介，所選取的對比模型有使用Kullback-Leibler 散度作為保真項的全變差圖像恢復模型（TV-KL）、改進MS模型（Mix Regularization Term，MRT），以及保真項混合模型（Mix Fidelity Term，MFT）。

表1和表2給出了5幅測試圖像在添加不同比例噪聲時的峰值信噪比（PSNR）和結構相似度（SSIM）的比較，從表1 和表2 中可得，在添加方差較小的高斯-泊松混合噪聲，新模型和MFT 模型的PSNR 與SSIM 比較接近，并且高于TV-KL模型和MRT模型。但是，隨著添加方差增大的高斯-泊松混合噪聲時，四種模型對應的PSNR都比較低，分析其原因，當混合噪聲中高斯噪聲方差較大時，圖像中的邊緣、紋理等幾何結構信息丟失很多。在添加高斯噪聲方差增大過程中，總體上新模型的PSNR 的值比其他模型大，SSIM 的值也大于其他模型，由于新模型結合了調和模型有效處理圖像平滑區域與TV-KL 模型有效保存圖像邊緣信息的優勢，并且L2保真項能有效去除高斯噪聲，基于混合Kullback-Leibler散度作為保真項能有效去除泊松噪聲。

表1 去噪圖像PSNR對比 dB

表2 去噪圖像SSIM對比

圖2 比較了在添加不同高斯-泊松混合噪聲下Pepper 圖像的恢復結果。第一行到第四行，對測試圖像Pepper 分別添加G（0.01）+P、G（0.02）+P、G（0.03）+P、G（0.04）+P的混合噪聲。Pepper圖像的特點主要包含平滑和邊緣部分，紋理較少。根據圖像的視覺效果，針對添加不同方差的混合噪聲，MFT 模型的圖像恢復能力相對較弱，在添加混合噪聲中高斯噪聲方差較大時，去噪后得到的圖像比較模糊，同時圖像的結構和邊緣信息也未能恢復。MRT模型對圖像平滑部分的去噪效果較好，不足的是當圖像添加高斯噪聲方差增大時邊緣細節信息丟失較多。TV-KL模型去噪能力很強，但是易產生“階梯效應”。而提出的新模型不僅去噪能力很強，圖像的結構和邊緣信息得到有效的恢復，而且在一定程度上程度上抑制了“階梯效應”。

對于如Man 圖像、Cameraman 圖像這類圖像紋理、邊緣等幾何結構較多的圖像，分別添加G（0.01）+P、G（0.02）+P、G（0.03）+P、G（0.04）+P 的混合噪聲。選擇其中一部分去噪后的圖像，如圖3和圖4所示，其中圖3的第一行添加G（0.01）+P 混合噪聲，第二行添加了G（0.03）+P 混合噪聲，整體而言，當添加混合噪聲中高斯噪聲方差較小時，新模型不僅去除了大部分噪聲，輪廓更加簡潔，紋理信息得到更好的保持，有很好的視覺效果，并且有較高的評價指標。雖然MRT 模型也有較高的評價指標，但是得到結果圖像過于光滑，產生了“階梯效應”。

對于如Lena圖像、Tablet這類含有豐富紋理和邊緣信息的圖像，圖5～7 中，四種方法得到的圖像恢復結果和圖2基本一致。從局部放大圖像可看到，新模型去除高斯-泊松混合噪聲的效果更好，噪聲斑點較少（圖5（i）），MFT 模型雖然能在一定程度上去除高斯-泊松混合噪聲（圖5（h）），但是當混合噪聲中高斯噪聲方差較大，MFT模型處理的結果圖像變得模糊，圖像分辨率降低，并且邊緣特征信息也不能被保持（圖6（h））。新模型可以有效地去除混合噪聲并且較好地恢復了圖像的紋理結構信息（圖5（i）），較好地保留了圖像的邊緣信息，當混合噪聲中高斯噪聲方差較大時，新模型處理的效果也比較好（圖6（i）和圖7（i））。MRT 模型去除混合噪聲效果也比較好（圖5（g）），但是當混合噪聲中高斯噪聲方差較大時，MRT模型處理的結果圖過于光滑（圖6（g）和圖7（g））。

圖2 添加不同高斯-泊松混合噪聲的Pepper圖像恢復效果比較

圖3 添加G（0.01）+P，G（0.03）+P噪聲的Man圖像恢復效果比較

圖4 添加G（0.04）+P混合噪聲的Cameraman圖像恢復效果比較

圖5 添加G（0.01）+P混合噪聲的Lena圖像恢復圖像及局部放大圖像比較

圖6 添加G（0.03）+P混合噪聲的Lena圖像恢復圖像及局部放大圖像比較

圖7 添加G（0.02）+P混合噪聲的Tablet圖像恢復圖像及局部放大圖像比較

最后，通過CPU 時間來比較幾種模型的時間復雜度，表3統計了5幅圖像在添加G（0.01）+P、G（0.02）+P、G（0.03）+P、G（0.04）+P 的混合噪聲下的平均運行時間。由表3可知，新模型運行時間最短，其次是TV-KL，然后是MRT模型，MFT模型的運行時間最長。因此，從去噪的運行效率上來看，新模型相對于TV-KL 模型、MRT模型、MFT模型有比較強的優勢。

表3 不同混合噪聲下圖像恢復運行時間對比s

6 結束語

為了有效抑制高斯-泊松混合噪聲，獲得更好的視覺效果，本文在綜合考慮TV-KL模型、MRT模型和MFT的優點，提出基于L2和KL保真項與兩個正則項相結合的圖像恢復的變分模型，并用增廣拉格朗日方法對模型進行化簡，化為三個子問題進行快速求解。為了加速計算，使用FFT 來解決u 子問題。對添加不同高斯-泊松混合噪聲的測試圖像進行數值模擬實驗，實驗表明提出的新模型有效去除了混合噪聲，恢復了圖像的紋理結構信息，圖像的邊緣特征被更好地保持，同時模型的算法也具有較高的執行效率，并且一定程度上抑制了“階梯效應”。另一方面，本文提供的測試圖片和實際生活需要處理的圖片還存在一定的差距，因此，在后續的研究工作中，會尋找更加高效的、實現效果更好的去除高斯-泊松混合噪聲的圖像恢復模型。