“數格子法”引起的話題：度量本質及其他

鄭大明

[摘 要]度量觸及數學的本質，它是貫通數量關系和空間形式的橋梁，是人類認識、理解和表達現實世界的又一重要工具。度量的本質是指人們用數量知覺和空間知覺去感受數量的多少與空間的距離，形成度量知覺，并自覺地運用數學思維去創造度量的標準和方法。在小學數學教學中，培養學生的度量意識，使學生形成必要的度量能力是十分必要的。

[關鍵詞]度量;本質;知覺;意識

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2020）05-0001-04

新世紀小學數學教材研究與應用基地和名師工作室參與的“度量”教學專題答辯活動完美地落下了帷幕。每場辯論都讓人感覺驚艷和震撼，因為這是針對一個大家很不熟悉的主題——“度量和度量意識培養”而開展的活動。但是在辯課過程中，涉及度量和度量的本質的地方，很多都沒有說到位，比如對于平行四邊形的面積計算，大家說“數格子”的方法就是體現度量的本質——一個格子代表1平方厘米，一個格子一個格子地數，得出面積，即度量單位的累加。既然都體現本質了，為什么后來計算面積又不用數格子的方法，而采用公式計算呢？度量是什么？度量的本質是什么？度量意識呢？可見，不能撿到一兩個關于度量的詞語，就在那里拋來甩去地夸夸其談，那樣還是不著邊際，觸碰不到度量的本質。

要說明度量的本質特征，先要從數學的本質特征說起。所謂本質就是一種事物區別于其他事物的基本特征或特性，比如三角形與四邊形的本質區別就是邊數、角數、頂點數不一樣;本質特性的區別就是穩定性不相同。而其他的，如圖形每邊的粗細、長短，以及每個角的大小等，都不是影響造型屬性（即三角、四邊）的主要因素。

一、數學的本質是思維的符號和工具

哲學是研究世界觀和方法論的系統理論。其中，世界觀就是對于世界的本質及其發展的根本規律、人的思維與存在的根本關系等方面的認識，方法論則是研究人類認識世界的各種基本方法及其恰當應用的適應性。而數學從哲學中切入，選擇了“人類思維”和運用人類思維認識客觀世界的“思想方法”兩個方面進行專門研究。

黑格爾說：“數學是上帝描述自然的符號。”

柏拉圖說：“數學是一切知識中的最高形式。”

克萊因說：“數學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度。”

恩格斯說：“數學是研究現實生活中數量關系和空間形式的科學。”

《義務教育數學課程標準（2011年版）》沿用了恩格斯的論述，指出：數學是研究數量關系和空間形式的科學。

近代研究表明，數學是研究人們對于事物或者現象的數量關系、內部結構、變化規律、空間形式以及信息處理等方面的認識的一門學科。

從本質上看，人類認識事物的關鍵能力是思維能力，所以數學屬于研究思維及其表現形式的科學，它是學習和研究現代科學技術必不可少的思維工具。數學也是當前其他各門科學和技術的語言形態和思維工具。

二、度量的本質是思維的標準和程序

1.度量

在古代文獻中，經常可以看到：度，就是尺子，測量長度的工具;量，就是桶子，測量容量的工具。秦始皇統一了度量衡。其中，“衡”是量的衍生工具，即測量輕重的工具。因此，度量的最初含義就是去測量距離和容量（包括輕重），滿足人們對事物的長短、遠近、大小、多少等屬性的認知需要。

隨著人們認知事物的范圍擴大和程度加深，特別是進位制的產生，促使度量意義向計數、模型、表征等方面進行了多維度延伸。新興數學集合論產生以后，度量空間的定義更加規范化了。集合中元素的有限性和無限性，使得完備度量空間成為數學度量的普遍原理。

因此，有人稱度量是數學的基本語言和工具，其核心要義就是從數學的角度去刻畫人們常說的多少與遠近。

2.數量知覺與空間知覺

要通俗地理解和表述度量的意義，就必須借助數學教育心理學方面的知識解讀數量知覺和空間知覺。

所謂數量知覺，是指對事物數量信息的多少進行快速地感受、理解、確認、估計等的知覺。數量知覺對于形成數量建模、數據表征以及數量間關系的理解能力有很大的促進作用。它是一個基于神經元的快速反應、攝取并行加工的過程。例如，大腦的中外側頂內溝區就存在豐富的對特定數量值反應的神經元。

所謂空間知覺，是指對物體距離、形狀、大小、方位等空間特性的知覺。人的兩個眼睛的視網膜上略有差異的映象，就是觀察物體空間關系的重要線索。它能讓人在兩維的視網膜刺激的過程中形成3D的空間映象。對事物不同部位的遠近感知稱為3D知覺或DP知覺（發展性知覺）。

高等數學中的賦范線性空間、內積空間、度量空間、希爾伯特空間對于教師來說都比較難理解。舉個簡單的例子，賦范線性空間，就是指可數事物數量的單位元素的累加性，比如數羊的只數，無論是采用“一群”還是“一排”，總能得出若干個單位組合起來的總數量。而度量空間就是指不可數事物數量的單位元素的可分性，比如稱羊的重量，由于無法直接數數，因此就要借助一定重量作為標準，如我國古代的斤、兩、錢等，現代的噸、千克、克等。無論是多少只羊，無論是大羊還是小羊，總能經過不斷分解、組合，進而稱出個幾斤幾兩來。在實際生活中，這些空間思維往往會綜合應用，在計量標準的不斷累加和細分的過程中，空間知覺趨于完美。

3.度量知覺與度量意識

度量觸及數學的本質，是貫通數量關系和空間形式的橋梁，它是人類認識、理解和表達現實世界的又一重要工具。

怎么才知道測量出來的距離有多遠，東西有多少呢？借助心理學研究方法，我們提出了度量知覺和度量意識兩個比較新穎的概念。

所謂度量知覺，就是指需要快速地通過度量的方式去感受和認識事物的多少、大小和形狀相關的特征、性質和形態的知覺。因為事物的這些特征和屬性，光靠眼睛看、耳朵聽、伸手摸已經不能滿足我們的需要了。比如，“今天很冷！”到底多冷？今天比昨天冷還是昨天比今天冷？我們都很想知道。定性“冷”顯然不夠用。再比如，“我們班成績很好！”到底有多好？定性“好”不夠用了，必須得定量出“好”的標準和“好”的數量。要做到這些，就必須樹立度量意識。

所謂度量意識，就是自覺地去感受和擁有使用計量標準和計量工具的意識。昂利·彭加勒在《科學與方法》一書中說道：“如果沒有測量空間的工具，我們便不能構造空間。”這里說的工具就是我們常說的標準。比如古代的“尺”，不但是計量長度的工具，它自身的長度也是古人約定的計量標準。量，計量谷物多少的容器，但像升、斗等量具的容積就是古人約定計量容量（質量）的標準。后來人們還發明了“衡”，這就體現了人們在計量事物的過程中，不斷根據計量需要而進行創新的意識。

有了度量知覺和度量意識這兩個概念，我們就能解釋數學中多種度量現象和度量活動的合理性和科學性。下面就運用這個觀點來解讀一個最基本的數學形態：

數和形被馬克思定義為數學的內核。但是，在人們的意識里，數是抽象的，也是符號化的。對于“數”的初步感覺往往就是1、2、3……一一對應事物與聲音符號、文字符號，一直數下去、寫下去，數不完，也就寫不完。事物有個數，符號也有個數，有序地數，有序地寫，習慣就成自然了。對于“形”的初步感覺就是，有些東西長，有些東西短;有些地方近，有些地方遠;有些東西大，有些東西小;有些東西多，有些東西少（如下圖）。

在某位教師上完這一課后，我問他：“如果不上這一課，學生會知道圖示的意思嗎？”他臉一紅，說道：“肯定知道，幼兒園學過！”我又問：“沒讀過幼兒園的，就不知道了？”他又說：“知道的。多數小孩子在1歲的時候就可以抓大糖果，會爭多的東西了。”我說：“那這課白上了？”他尷尬地笑了：“你說這課該怎么上？”

問問孩子吧！他們想知道：誰比誰長，長多少;誰比誰短，短多少。有的孩子知道意思，但不會說;有的孩子說不出是怎么比出來的，只會說“看出來的唄！”可是眼尖的孩子發現：尺子比長短那里，長的比短多一大格子。對此，教材的編者就滲透了用標準分格子就能比出“多多少來”。

原來，圖示都是兩個物體相比。用數的方法，得到的答案一樣：兩個東西。假如教師能夠想到給它們編個號，如“1號××，2號××”，這樣就“語詞化”，方便敘述了。至此，還是解決不了孩子們的疑問：到底大（高/長）多少？也就是只有定性是滿足不了定量需求的。這里就出現了樸素的度量意識：想知“1號事物”和“2號事物”到底相差多少。

顯然，采用標準化法就能知道相差多少。只要注意到尺子和它的刻度，就能夠發現度量的優勢。其他的相似度量，以后就會有類比的辦法了。這就是真實地通過度量知覺獲得了度量意識。

因此，我們常說“量是數、形的橋梁”。數學家認為，直接可數而得到的數量，它們之間沒有中間數量鏈接，比如1只羊，2只羊，3只羊……叫作離散量。離散量可以是排成一排的，也可以是圈在一起的，還可能是放在地上和樹上的，等等（如下圖）。但只要還是羊，無論走到哪里，都可以數出它們的頭數。

但是一杯水有多少？一條路有多長？一頭牛有多重？這就不好數了。

聰明的人類發明了尺子、量杯、臺秤，約定一定的長度、一定的容量、一定的重量為標準。看其他同類型事物比它多還是比它少。比它多，量了又量，標準累加;比它少，分成小塊，再量了累加;如果還有比“第二個它”少的，又分成更小塊……

這樣，幾杯水和半杯水可以量，有數據了;幾頭牛、大牛、小牛、小小牛可以量，有數據了。再通過位置賦值，比如104，103，102，101，10-1，10-2，10-3，10-4，將計量標準不斷累加和細分，使若干標準系列建立起來，滿足了記數的需要。

看，原來不可數的，經過我們的思考，創造出了新標準，再經過分與合，把原來不可數的變成可數的，而且可以無限地做下去。這樣，兩個標準之間就能無限地鏈接起來，無限地度量下去。于是，數學家把這樣測量出來的量叫作連續量。

這樣，“數”和“形”通過“量”的刻畫，就和諧地相處起來了。這就是創造度量標準和度量方法的意義和價值。

因此，記錄數數的結果通常是用語言、文字、符號。于是有人說，只要你熟悉了，數數、寫數都不再需要真實地一個個去比、去量、去稱，只需要眼睛看看、腦筋動動就辦到了。比如要數10萬輛車，一般人不會親自一輛一輛地去數;把一個餅平均分成1000份，可以分，但很少有人真的去做，就連畫圖都不愿意去畫。數學家把這一類符號化的度量叫作抽象的度量。

相反，要稱牛的重量或量箱子的容量時，即使是眼力再好或者經驗很豐富的人，通常都要親自去看一看、量一量、稱一稱，才能獲得一些真實的數據信息，或者還要經過計算才能得到想要的結果。數學家把這一類標準化的度量叫作具象的度量。

三、度量的意識讓思維覺醒與創新

人們普遍認為，度量就是人的本能反應，如果具備了度量意識，就會在日常生活中有意無意地加以應用。無論是教師還是學生，只要提供適當的機會，他們的思維就會覺醒，就會有創造與創新。比如，在這次辯課過程中，教師就能自覺、主動、積極地運用這次“度量”主題活動中學到的一些“度量”常識，解讀教材和學生，解讀數學課堂。因此，筆者嘗試解讀大家的幾點疑惑。

1.“數格子”，度量就走到頭了？為什么還要用公式呢？

在“多邊形面積的度量”辯課中，很多小組都是組織學生用方格子數出圖形的面積，從而理解度量本質，發展度量意識。

于是有人提出：“這就完了？”

“是完了，還想怎么樣？”

“那公式計算怎么體現度量？”

……

是的，看似走完了，其實還很遠。“數格子法”意義重大，大就大在它會引導我們將一維空間、二維空間、三維空間聯結起來，將具象度量逐漸與抽象度量結合起來。

數學教育家是這樣思考的：數格子法，是要學生體會圖形的等積變換。剪也好，拼也好，移也好，就是要學生通過觀察格子數不變的現象證明圖形變化前后的面積沒變。但是除了面積沒變，還有什么沒變呢？底變了嗎？高變了嗎？高跑到哪去了？底跑到哪去了？通過對比變化前后的數學信息，可以發現：原來通過數格子，就看到多邊形變化前后對應的高與寬、高與高的相等關系不變，對應的底與長、底與底的關系不變。于是，再也不需要去稻田里數格子、比門板了，量邊長、量高的問題，用測量繩子長度的方式就可以解決了。這就成功地把二維度量轉化為一維度量了。于是，面積計算公式就是在度量一維空間的前提下誕生了。

物體體積計算前的“數積木”活動，也同樣是把三維空間度量轉化為一維空間度量，成功運用一維空間度量的結果，通過公式計算，得出物體的體積。

這樣，就印證了前面“度量的本質之一是測量距離”這句話的正確性。

2.“11”怎么個度量法？

在“古人計數”這一課上，教師要求學生數出11個物體。

“數11，這多簡單呀！”“除了智力有障礙的孩子，現今一年級的孩子誰不會數呢？”要說體現數學文化，大家都會講數學故事，講有文化分量的數學家的故事。但是，要講度量，培養學生的度量意識，真是難倒了很多人。這里最關鍵的兩個問題：一是學生會數數，知道答案是“11”，怎么設計一堂課把他們“唬住”;二是就數這11個物體，并不需要測量，難道去量一下教室有多長？可是教材里另外有這一課，顯然不應該安排在這里，況且教室也沒有11米長，要去量桌子或者操場嗎？也不像。

殊不知，數數（計數）并不是本課的重點，而記數（寫數）才是本課的關鍵。“你數出了‘11只羊，請問怎么寫？為什么要這樣寫？”這下學生都傻眼了，問題嚴重到很多教師也不知道怎么引出這個話題。

“十以內的數”，一個數一個數地數，一個數一個數地寫，都沒問題。現在，10個數和數字符號都用完了，連“0”都被“10”用了，怎么辦？對此，教師要組織學生去研究標準、創造標準、創新寫法。這就是本課研究度量意識的全部含義。只要教師讓學生的思維自覺地活動起來，讓學生的對話活動自覺地開展起來，新的標準、新的方法就會一串一串地跑出來。

3. 90°、10°、1°都是度量標準嗎？

在辯課“角的度量（一）”中，有個小組介紹的是首先用直角去測量角，然后估計出角的大小（認為直角是90°，能量出被測角的大小）;再通過比較，大致估出角度;然后，再用10°的角去量，發現沒量完，就會想到用1°的角去量。很多教師質疑：“學生已經用90°的角估出了被測角的度數了，為什么還會去用10°、1°的角去量呢？”小組回答：“不是一個學生用三種標準去量，而是調查中發現有學生用90°的角去量的。因此教師很重視這個創新量法，因為二年級的時候，學生有了用三角板比直角、鈍角和銳角的經驗。”

還有質疑聲：“二年級沒有學角的度數，不知道角是用‘1°來測量的。怎么今天就能估出角的度數呢？”

下面從度量知覺的角度回應這個質疑。首先，學生會不會好奇地先預習后面的內容呢？他們會不會用預習的經驗反過來應付教師的問題呢？從心理學的角度來看，完全是有可能的。如果站在學生的角度去揣摩他還會不會繼續往下去創造或者使用新標準測量，這可能性是有的，但是可能性不大。因為，大多數學生都是“求答案”的心理，當求得的答案被老師和同學認可了，通常很少再繼續思考下去，只有得不到答案或者暫時沒有答案的時候，他們才會積極地去動腦筋。因此，把這個獨特方法當作普遍現象來說是不太合適的。其次，從度量知覺本身來講，從粗略度量獲得活動經驗知覺，到半粗略繼續獲得經驗知覺，再到最后想到用1°的角精確度量而獲得完整的度量知覺，尋到了準確的測量標準和方法……從邏輯上看是沒有問題的。正如任景業老師說的，在執行式課堂上，學生這類學習行為和學習結果的發生率會很高。因為教師叫他們干什么，學生就干什么，但探究式課堂或者自學式課堂就不一定了。學生會用自己的思路和方法進行學習，獲得自己個性化的結果。

4.溫度的“度”與度量的“度”是一樣還是不一樣？

在辯課平臺上，有專家提出問題：“溫度的‘度與度量的‘度是一樣還是不一樣？”事實上，這兩個“度”既有聯系也有區別。

從前面的分析可以看出，溫度的“度”，反映的是氣溫的一種冷熱狀態，揭示的是一種自然現象，顯現的是它的變化程度，以及這樣的環境下相關事物的變化狀態;它與長度、角度、弧度等一樣，是反映事物或現象的某些靜態或者動態的特征。而測量溫度變化的即時狀態，就必須要用到度量工具——溫度計。溫度計就是典型的測量氣溫高低的“尺子”。這與度量的“度”本身的含義相同——既含有標準的意義又是測量工具。也就是說，因為要測量溫度，于是產生了溫度計這個度量工具和使用溫度計度量的方法。這是一種因果聯系。

如前所言，度量的“度”，它單列是度量標準“1尺”的意思，也代表度量的工具。“度”“量”二字合起來，表示有序計量長度的一種行為，也含有計量過程的意思。而溫度的“度”，是反映事物或現象的發生和發展狀態。溫度計不像尺子那樣以自身狀態做標準去測量相同狀態的事物或現象，不是用溫度去測溫度的。溫度計和鐘表一樣，是間接利用一種事物的變化引起其他事物變化的狀態，從而確定標準來計量的。雖然溫度、時間都看不見，但是人和事物能夠感受到它在變化。計量時間的鐘表，以天黑天亮的晝夜交替來做標準確定的依據。最初以一日影長，后來以星星的位置移動等做參考。 而溫度計因為約定者依據的事物變化狀態不一樣，制定的標準也就不一樣。比如，攝氏溫度以冰水混合狀態的氣溫為“零攝氏度”，以水沸騰時的氣溫為“一百攝氏度”，并以此做標準制作0～100℃的溫度計;華氏溫度則是以氯化銨和冰水的混合物的溫度為溫度計的零度，以人體溫度為溫度計的100華氏度。這兩個計量標準本身就有很大的區別。

通過以上研究與分析可知，度量觸及數學的本質，它是貫通數量關系和空間形式的橋梁，它是人類認識、理解和表達現實世界的又一重要工具。度量的本質就是指人們用數量知覺和空間知覺這種本能去感受數量的多少與空間的距離，形成度量知覺，然后自覺地運用數學思維去創造度量的標準和度量的方法。因此，在小學數學教學中培養學生的度量意識，使學生形成必要的度量能力是十分必要的。

（責編 金 鈴）