把握度量本質　拓展分數意義

趙彬杉　黃慧章

[摘 要]量是數學的本質，是人創造出來的認識數學，進而認識現實世界的工具。分數是在分物、度量和計算中產生的。在教學分數的意義時，教師不僅要從均分的角度幫助學生理解分數的意義，還要從度量的角度加深學生對分數意義的理解，分數的度量可以理解為分數單位的累加。因此，教師在教學中要創設度量情境，開展度量操作活動，讓學生經歷度量的過程，從度量的角度感悟分數的豐富內涵，拓展學生對分數意義的理解，體會度量的價值，發展學生的度量意識。

[關鍵詞]分數;度量;本質;意義

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0015-03

史寧中教授指出：“度量是數學的本質，是人創造出來的數學語言，是人認識、理解和表達現實世界的工具。”教師如何基于度量的本質去解讀教材？如何設計教學活動，讓學生經歷單位的產生過程、單位的累加過程，形成單位的觀念，并以此為標準學會估計，形成符號意識和數感，積累度量活動的經驗？

一、理論學習中理解度量的意義

昂利·彭加勒在《科學與方法》中指出：“如果沒有測量空間的工具，我們便不能構造空間。”可見，度量在數學中有著重要的地位。但什么是度量，如何把握度量本質？

1.度量的含義

度就是公度，指的是統一的單位;量就是測量;度量就是用統一的單位去測量。

2.度量的本質

度量的本質是指度量的對象包含多少個單位。例如長度的度量就是指度量對象包含多少個長度單位;分數的度量就是指這個分數包含多少個分數單位。

3.度量的類型

度量分為抽象度量和具象度量。抽象度量是用計數單位（通過抽象得到的度量單位）去計數（數數），著力于數感的培養。具象度量是用計量單位（工具）測量，著力于量感的培養。

二、教材解讀中把握分數的本質

張丹教授指出：“對于分數意義的理解應關注兩個維度（比和數）和四個具體方面（比率、度量、運作和商）。它們相輔相成，共同承擔著學生對分數意義豐富性認識的建構。”這四個方面中最容易被忽略的就是度量。分數的度量可以理解為分數單位的累加，但教師大多關注的是分數單位的定義以及分辨一個分數的分數單位是多少，忽略了分數單位的價值和度量意義。

不少版本的教材在介紹分數的產生和意義時，安排的都是“分物”情境。人教版教材雖然編排了一個“度量”情境，但是并沒有解決“剩余繩子不足一節時應如何表示”的問題，仍然是從分物開始探究分數的意義。因此，教師在教學分數意義時，基本都是從平均分的角度入手，忽略了度量角度。

北師大版教材的“分數的再認識（二）”則從度量的角度進一步闡明分數的意義，為教學提供了鮮活的情境。教材以四個問題串來呈現：問題1是讓學生用附頁中的規定長度紙條量數學書的長和寬，寬剛好是3個紙條，而長是4個紙條多一些，不能正好量完，該怎么辦？問題2是讓學生繼續用這個紙條想辦法量剩余部分，要正好量完，并用分數表示度量結果;問題3是讓學生發現分數墻的特點，認識分數單位;問題4是揭示分數單位的概念。

我對教材的理解：一是創設度量情境，感受分數單位的產生是實際測量的需要;二是開展實際度量，創造分數單位，深化分數的意義;三是借助分數墻的直觀模型，理解分數單位的意義和價值。

三、實際度量中拓展分數的意義

《義務教育數學課程標準（2011版）》指出：“學生學習應該是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索和合作交流等，都是數學學習的重要方式。”因此，教師應給予學生充分的探索和操作活動，讓學生在實際度量中感受分數單位的產生和累加過程，從度量角度拓展分數的意義。

1.動手測量，感受分數單位產生的必要性

著名兒童心理學家皮亞杰曾說過：“智慧從動作開始，學生的多種感官參與認知活動，可以使信息不斷地刺激細胞，促使思維活躍，便于儲存和提取信息，同時易于激發學生的好奇心和求知欲，產生學習的內驅力。”因此，教師要設計操作活動，通過測量激活學生的度量經驗，使學生體會分數單位產生的必要性。

[活動一]用附頁中的紙條（長6厘米、寬1.5厘米）量一量數學書的長和寬，并記錄測量的結果。

首學：獨立測量，記錄結果。

共學： 匯報結果，引發思考。

學生在測量時，把紙條的長當作“1”去度量，先量寬，1個1、2個1、3個1，3次正好量完;再量長，1個1、2個1、3個1、4個1，不能正好量完。因此數學書的寬正好是3個紙條的長度，長是4個紙條多一些，不能正好量完。

小結：用“1”這個單位可以量出2、3、4……看來整數是可以量出來的。

提問：多出來的部分不能用1個紙條量完，該怎樣繼續量下去才能正好量完？如何表示這部分的長度呢？

通過測量活動，讓學生積累測量的初步經驗。在用“1”不能測量時，教師提出的問題能有效激發學生探究知識的欲望，使學生在實際操作中體會到分數單位的產生是實際測量的需要，為進一步從度量的角度認識分數做準備。

2.實際度量，豐富對分數意義的理解

度量的核心要素是度量單位和度量值。因此，從度量角度教學分數，關鍵是建立“分數單位”和“數出分數單位的個數”。

[活動二]想辦法繼續用附頁中的紙條測量剩余部分，使其正好量完，并表示測量結果。

測量方法：用這個紙條 去度量，

測量結果：剩余部分長[（? ? ? ）（? ? ? ）]個紙條。

首學：自主嘗試，探究方法。

互學：小組交流，說說自己的度量方法、度量過程和度量結果。

群學：全班交流，完善方法。

生1：我把紙條對折一次，發現不能剛好量完;我就再對折一次，量了1次正好量完。因此剩余部分是[14]個紙條長。

共學：師生對話，把握本質。

師：在剛才的度量過程中，把紙條對折一次其實就是把這個紙條平均分成幾份？

生2：兩份。

師：取其中的1份也就是這個紙條的多少？

生3：[12]。

師：也就是以[12]個紙條作為標準去度量，發現還是不能正好量完，于是再對折一次，也就是把這個紙條平均分成幾份？以多少為標準去量？

生4：平均分成4份，以[ 14]個紙條長作為標準去度量。

師：誰再來說說多出的部分為什么是[14]個紙條長？

生5：因為我們把這個紙條對折兩次，也就是平均分成了4份去量。

師：請你們用剛才的方法再量一下，注意邊量邊說你們量的過程和方法。

師：用[14]這個標準，還可以度量出哪些分數？

生6：[24]、[34]、[44]。

師：請說得更詳細點，你是如何量出這些分數的？

生6：用[14]作為標準去度量，2個[14]是[24]，3個[14]是[34]，4個[14]就是1。

師：在度量數學書的長的剩余部分的過程中，當用“1”不能度量時，我們要創造更小的單位去度量。

通過以上實際度量活動，讓學生體會到當“1”不能測量時，需要更小的單位去度量，于是創造出更小的度量單位，也就是分數單位，并深刻理解了[12]、[14] 這樣的分數單位的意義。而教師的“追問”，讓學生再次體會單位的作用，通過單位的累加可以得到更多的分數，從而從度量角度拓展了分數新的意義：將給定的長度等分，用其中的一份作為新的長度單位去量物體的長度，如果正好量完，就可用分數表示物體的長度。

3.借助直觀，建立分數單位的意義

量感不僅僅是“1個單位”標準，更多的是標準量的累加應用。因此，借助分數墻這一直觀模型，讓學生在分數墻的制作過程和觀察分數墻的活動中，充分體會分數單位的產生和累加過程，深刻認識分數單位的意義和價值，領悟分數可以是以某個分數單位為計數單位進行累加得到的結果，加深學生對分數意義的理解。操作活動不僅僅是動手做，還應該動眼看、動腦思，做到眼、手、腦并用。因此，在這一觀察活動中我設計了三個問題，形成一個問題串：

【問題1】當“1”不能正好量完時，我們把1平均分成兩份，用其中的[12]作為單位去量，還想到把1平均分成4份，用其中的[14]作為單位去量，把1平均分8份，用其中的[18]作為單位去量……還可以平均分成幾份，用什么作為單位去量？

生1：可以把“1”平均分成3份，用[13]作為單位去度量。

生2：還可以用[15]、[16]、[17]……作為單位去量。

出示分數墻的左半邊起始部分：

師：由“1”我們可以量出2、3、4等，還可以將1平均分成幾份，像[12]、[13]、[14]……這樣把“1”平均分成若干份，取其中的1份的分數，數學上稱之為“分數單位”。

【問題2】用這些分數單位還可以度量出哪些分數？

生1：我用[13]作為單位去度量，2個[13]是[23]，3個[13]就是1。

生2：我用[14]作為單位去度量，2個[14]是[24]，3個[14]是[34]，4個[14]就是1。

……

師：看來用不同的分數單位可以度量出不同的分數，從而形成分數墻這一直觀模型。（動態呈現“分數墻”的形成過程;如圖2）

【問題3】觀察由分數單位組成的分數墻，有什么特點？你發現了什么？（圍繞這一問題展開四學活動）

首學：自主觀察，初步認識。

互學：小組交流，豐富認識。

群學：全班交流，完善認識。

生1：我豎著看，分數單位的分母越來越大，分數單位就越來越小。

生2：我橫著看，分數單位的分母是幾，這一排中（整體“1”）就有幾個這樣的分數單位。

共學：師生對話，把握本質。

師（小結）：橫向觀察分數墻發現，把一張紙條平均分成幾份，分數單位就是幾分之一，“1”中就有幾個這樣的分數單位;縱向觀察分數墻發現，只要把這個整體“1”平均分成不同的份數，還會有無數個分數單位，并且越往下平均分的份數越多，得到的分數單位就越小，也就是說，分母越大，分數單位越小。

師：在認識整數時，我國采用十進制計數單位，用“一”去量，十個一是十，再用“十”去量，十個十是一百，再用“百”去量，十個百是一千……今天我們知道了當用“一”不能度量時，可以將“一”分成更小的單位去度量，如用[12]、[14]、[18]、[116]……這樣的分數單位去度量。因此，分數單位是計數單位的一個拓展、一個延伸，它是分數的計數單位。（課件動態呈現累加和分的過程，如圖3）

在這一觀察操作活動中，教師用課件呈現分數墻的動態形成過程，從而讓學生深刻感受分數單位的意義和價值，領悟分數可以是以某個分數單位為計數單位進行累加而得到的結果，加深對分數意義的理解。最后借助直觀模型溝通整數計數單位與分數計數單位的聯系，幫助學生建構完整的計數單位體系。

四、實踐運用中提升度量意識

“量感”是需要在度量實踐中培養和發展的。在結課環節，我設計了三道練習題，重在讓學生感受任意一個分數都是由分數單位累加而成的，從而體會到“用同一個分數單位，度量次數越少得到的分數就越小，度量次數越多得到的分數就越大;整數、分數、小數都是可以度量出來的”，從而溝通了整數、分數、小數的聯系。

華羅庚先生曾經說過：“數起源于數，量起源于量。”分數是在分物、度量和計算中產生的。對于“分數的再認識（二）”這一課，教師從度量的角度展開教學，讓學生經歷度量的過程，從度量的角度感悟分數的豐富內涵，促進學生對分數意義的理解，體會度量的價值。

（責編 金 鈴）